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Grundwissen

Indirekte Proportionalität

In der Physik lässt sich der Zusammenhang zwischen zwei Größen oft durch eine Gesetzmäßigkeit beschreiben. Neben der direkten Proportionalität spielt auch die indirekte oder umgekehrte Proportionalität eine wichtige Rolle. Wie erkennt man nun eine indirekte Proportionalität zwischen zwei Größen?

a) Feststellen der indirekten Proportionalität anhand einer Wertetabelle (Messreihe)

Beispiel

1. Größe (x):

Zahl der notwendigen Arbeiter

1

2

4

5

10

20

2. Größe (y):

Zeit (in Tagen), die für die Erledigung einer Arbeit benötigt wird

20

10

5

4

2

1

Wenn zum Doppelten, Dreifachen, Vierfachen,
. . .
n-fachen der 1. Größe, die
  Hälfte, ein Drittel, ein Viertel,
. . .
1/n-tel der 2. Größe gehört,
  so sind die beiden Größen zueinander indirekt (umgekehrt) proportional.
Man erkennt diesen Zusammenhang am einfachsten, wenn man das Produkt zusammengehöriger Werte bildet. Ist der Produktwert konstant, so sind die beiden Größen zueinander indirekt proportional. Man sagt auch, die Größen sind produktgleich.

Beispiel

1. Größe (x):

Zahl der notwendigen Arbeiter

1
2
4
5
10
20
2. Größe (y): Zeit (in Tagen), die für die Erledigung einer Arbeit benötigt wird
20
10
5
4
2
1
Produkt x · y Arbeiter · Zahl der Arbeitstage
20
20
20
20
20
20

Schreibweisen

  • Sind zwei Größen zueinander indirekt Proportional, so schreibt man: \(y \sim \frac{1}{x}\) (sprich: "y proportional 1 durch x")
  • Wegen der Produktgleichheit kann man auch schreiben \(x \cdot y = C\) oder \(y = \frac{C}{x}\).
  • Man bezeichnet C als Proportionalitätskonstante.

 

b) Feststellen der indirekten Proportionalität anhand einer graphischen Darstellung

Stellt man die Wertepaare des Beispiels in einem x-y-Diagramm dar, so ergibt sich der nebenstehende Verlauf. Man nennt diesen Graph eine Hyperbel. Aus dem Verlauf des Graphen kann man auf den ersten Blick nicht feststellen, ob eine indirekte Proportionalität vorliegt, da auch der Graph eines nicht indirekt proportionalen Zusammenhanges hyperbelähnliches Aussehen haben kann.
Trägt man dagegen auf der Rechtswertachse den reziproken Wert von x, also 1/x ab, so ergibt sich eine Ursprungsgerade, die leicht nachzuprüfen ist.
Ergibt die graphische Darstellung des Zusammenhanges zwischen y und 1/x eine Ursprungsgerade, so sind die beiden Größen zueinander indirekt oder umgekehrt proportional.

Stelle den graphischen Zusammenhang zwischen x und y, x und z, x und u in einem Diagramm dar. Gib an, welcher Zusammenhang eine direkte, indirekte oder gar keine Proportionalität darstellt und begründe deine Entscheidung.

x 1 2 3 4 5 6 7 8
y 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
z 10 5,0 3,33 2,5 2,0 1,67 1,43 1,25
u 15 3,8 1,66 0,94 0,6