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Grundwissen

Genauigkeitsangaben

 

Jede Messung einer physikalischen Größe ist mit einem Fehler behaftet. Der Messfehler kann durch die Angabe eines Fehlerbereiches charakterisiert werden. Da diese Darstellung etwas umständlich ist, drückt man die Genauigkeit einer Größe durch die Zahl der gültigen Ziffern (kurz: g. Z.) aus. Der Rundungsbereich der Zahl stimmt dann mit dem Fehlerbereich überein.

Beispiel: Angabe einer Länge \(l\)

Angabe des Fehlerbereiches Angabe durch die Zahl der gültigen Ziffern
\(l = 100\,{\rm{cm }} \pm 0{,}5\,{\rm{cm}}\) (Fehlerbereich: \(1\,\rm{cm}\)) \(l = 100\,{\rm{cm}}\)
\(l = 100\,{\rm{cm }} \pm 0{,}05\,{\rm{cm}}\) (Fehlerbereich: \(1\,\rm{mm}\)) \(l = 100{,}0\,{\rm{cm}}\)
\(l = 100\,{\rm{cm }} \pm 0{,}005\,{\rm{cm}}\) (Fehlerbereich: \(0{,}1\,\rm{mm}\)) \(l = 100{,}00\,{\rm{cm}}\)

 

Feststellung der Zahl der gültigen Ziffern

Die Zahl der gültigen Ziffern ergibt sich durch Zählung der Stellen ab der höchstwertigen von Null verschiedenen Ziffer nach rechts.

Beispiele

  • \(12\,{\rm{m}}\): 2 g.Z.
  • \(12{,}0\,{\rm{m}}\): 3 g.Z.
  • \(0{,}0170\,{\rm{m}}\): 3 g.Z.
  • \(0{,}17\,{\rm{m}}\): 2 g.Z.
  • \(0{,}017\,{\rm{m}}\): 2 g.Z.

Rechnen mit fehlerbehafteten Größen

 

Beispiel: Berechnung des Flächeninhalts eines Rechtecks \(A\) aus Länge \(l=17\,\rm{cm}\) und Breite \(b=5\,\rm{cm}\).

Würde man diese Zahlen - ohne viel nachzudenken - in die Formel \(A = l \cdot b\) einsetzen, so ergäbe sich\[A = 17\,\rm{cm} \cdot 5\,\rm{cm} = 85\,\rm{cm}^2\]Nach dem oben gesagten würde die Fläche im Bereich\[84{,}5\,\rm{cm}^2 \le A < 85{,}5\,\rm{cm}^2 \quad (1)\]liegen.

Betrachten wir nun die Flächenberechnung etwas genauer. Für die Seitenlängen gelten folgende Bereiche: \(16{,}5\,{\rm{cm}} \le l < 17{,}5\,{\rm{cm}}\) und \(4{,}5\,{\rm{cm}} \le b < 5{,}5\,{\rm{cm}}\). Somit ergibt sich als minimaler Flächeninhalt\[{A_{\min}} = 16{,}5\,{\rm{cm}} \cdot 4{,}5\,{\rm{cm}} = 74{,}25\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2} \approx 74\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\]und als maximaler Flächeninhalt\[{A_{\max}} = 17{,}5\,{\rm{cm}} \cdot 5{,}5\,{\rm{cm}} = 96{,}25\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2} \approx 96\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\]Die genauere Betrachtung zeigt also\[74\,\rm{cm}^2 \le A < 96\,\rm{cm}^2 \quad(2)\]Der Fehlerbereich, den wir bei der sehr einfachen Rechnung \((1)\) ermittelt haben, ist viel zu eng. Es wird bei der ersten Berechnung eine viel zu hohe Genauigkeit vorgetäuscht. Andererseits ist die Ermittlung des Fehlerbereiches \((2)\) zu aufwändig. Als Kompromiss vereinbaren wir daher die folgende Faustregel:

Hat die ungenaueste mehrerer physikalischer Größen n gültige Stellen, so haben Quotient oder Produkt dieser Größen höchstens n gültige Stellen.

Angewandt auf unser Beispiel heißt das\[A = 5 \cdot 17\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2} = 9 \cdot {10^1}\rm{cm}^2\]Das Endergebnis hat nur eine gültige Ziffer (die Zehn oder evtl. andere Zehnerpotenzen zählen nicht mit!), da \(b\) nur eine gültige Ziffer besitzt. Für den Fehlerbereich ergibt sich\[8{,}5 \cdot {10^1}\,\rm{cm}^2 \le A < 9{,}5 \cdot {10^1}\,\rm{cm}^2 \quad(3)\]Man sieht, dass der Rundebereich \((3)\) besser als der Bereich \((1)\) mit dem genau ermittelten Fehlerbereich \((2)\) übereinstimmt.

Hinweis: Oft ist bei der Berücksichtigung der Zahl der gültigen Ziffern die Schreibweise mit Zehnerpotenzen sehr hilfreich:\[1 = {10^0}\;;\;10 = {10^{1\;}}\;;\;100 = {10^2}\;;\;1000 = {10^3}\;{\rm{usw.}}\]\[0,1 = \frac{1}{{10}} = {10^{ - 1\;;\;}}0,01 = \frac{1}{{100}} = {10^{ - 2}}\;;\;0,001 = \frac{1}{{1000}} = {10^{ - 3}}\;{\rm{usw}}{\rm{.}}\]Eine genauere Information über die Potenzschreibweise erhältst du auf der entsprechenden Grundwissensseite.

Musterbeispiele:

1. Feststellung der Zahl der gültigen Ziffern

  • 375 dm → 3 g. Z.;
  • 0,0375 km → 3 g. Z. ;
  • 0,03750 km → 4 g. Z.
  • 3,000 A → 4 g. Z.

2. Einfache Umwandlung von Einheiten

Wandle unter Beibehaltung der gültigen Ziffern in die angegebene Einheit um:

a) 100 cm = ? m; richtig: 100 cm = 1,00 m (3 g.Z.);      falsch wäre: 100 cm (3 g.Z.) = 1 m(1 g.Z.)

b) 100 cm = ? km; richtig: 100 cm = 0,00100 km oder 100 cm = 1,00·10-3km;

c) 0,10 cm = ? m; richtig: 0,10 cm = 0,0010 m; oder 0,10 cm = 1,0·10-3m;

d) 100 μV = ? V; richtig: 100 μV = 100·10-6 V; oder 1,00·10-4 V;

e) 0,10 MΩ = ? Ω; richtig: 0,10 MΩ = 0,10·106 Ω; oder 1,0·105Ω;