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Grundwissen

Direkte Proportionalität

Theorie

In der Physik lässt sich der Zusammenhang zwischen zwei Größen oft durch eine Gesetzmäßigkeit beschreiben. Ein sehr einfacher Zusammenhang, der im Physik-Anfangsunterricht eine wichtige Rolle spielt, ist die direkte Proportionalität zwischen zwei Größen.

Erkennungsmerkmale der direkten Proportionalität

a) Feststellen der Proportionalität anhand einer Messtabelle (Messreihe)

Beispiel:

1. Größe (x): Masse einer Ware in g
100
200
300
400
500
600
2. Größe (y): Preis einer Ware in €
150
300
450
600
750
900
 

Festlegung:
Wenn zum Doppelten, Dreifachen, Vierfachen . . . .n-fachen der 1. Größe das Doppelte, Dreifache, Vierfache. . . .der 2. Größe gehört,
so sind die beiden Größen zueinander direkt proportional.

Man erkennt diesen Zusammenhang am einfachsten, wenn man den Quotienten zusammengehöriger Werte bildet. Ist dieser Quotient konstant, so sind die beiden Größen zueinander direkt proportional.

Man sagt:

Direkt proportionale Größen sind quotientengleich

Für das obige Beispiel ergibt sich:

1. Größe (x): Masse einer Ware in g
100
200
300
400
500
600
2. Größe (y): Preis einer Ware in €
150
300
450
600
750
900
Quotient y/x: Preis pro Masse in €/g
1,50
1,50
1,50
1,50
1,50
1,50

Schreibweise:
Sind zwei Größen x und y zueinander direkt proportional, so schreibt man:

y ~ x (sprich: y proportional x)

Wegen der Quotientengleichheit kann man auch schreiben
\[\frac{y}{x} = C \Leftrightarrow y = C \cdot x\]

Man bezeichnet C als Proportionalitätskonstante.

Gilt also y ~ x (1), so kann man durch Einführen der Proportionalitätskonstanten C sofort die Gleichung y = C × x (2) gewinnen. (2) hat gegenüber (1) den Vorteil, dass eine Gleichung vorliegt. Den Umgang mit Gleichungen beherrscht du (hoffentlich).

 

b) Feststellen der Proportionalität anhand einer graphischen Darstellung (Graph)

Stellt man die Wertepaare des Beispiels in einem x-y-Diagramm dar, so ergibt sich der nebenstehende Verlauf.

Ergibt die graphische Darstellung des Zusammenhangs zweier Größen eine Halbgerade durch den Ursprung, so sind die beiden Größen zueinander direkt proportional.

1. Hinfahrt
Auf der Fahrt in die Stadt kann Herr Weiß auf der Autobahn fahren. An der Einfahrt stellt sein Sohn Horst den Tageskilometerzähler auf Null und liest nach jeder Minute ab wie viel Kilometer sie bis dahin zurückgelegt haben:

Fahrzeit t in min

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

10

11

Fahrstrecke s in km

2,0

4,0

6,0

8,0

10

12

14

16

18

20

22

a)

Was kann man über den Zusammenhang zwischen Fahrstrecke und Fahrzeit bei diesem Beispiel anhand der Wertetabelle aussagen?

b)

Wie bezeichnet man die Proportionalitätskonstante bei diesem Zusammenhang?

c)

Berechne die Geschwindigkeit der Bewegung in km/h.

d)
Zeichne den Graphen für diesen Zusammenhang in ein t-s-Diagramm. Wähle einen geeigneten Maßstab.
 

2. Auf der Rückfahrt notiert Horst:

Fahrzeit t in min

5,0

10

15

20

25

30

35

40

Fahrstrecke s in km

6,0

11

14

15

15

17

19

21

a)

Was kann man über den Zusammenhang zwischen Fahrstrecke und Fahrzeit bei diesem Beispiel anhand der Wertetabelle aussagen?

b) Zeichne den Graphen für diesen Zusammenhang in ein t-s-Diagramm. Wähle einen geeigneten Maßstab.

3. Multiple Choice (Auswahlantworten aus "Fit in Physik")
Kreuze die zutreffenden Merkmale für einen proportionalen Zusammenhang zwischen den Größen x und y an:

x und y sind immer gleich groß.

 

Der Quotient x:y ist konstant.

 

Wenn man y über x aufträgt, erhält man die Winkelhalbierende.

 

Das Produkt von x und y ist konstant.

 

Der Quotient y:x ist konstant.

 

Wenn man y über x aufträgt, erhält man eine Parallele zur x-Achse.

 

Wenn man y über x aufträgt, erhält man eine Parallele zur y-Achse.

 

Wenn man y über x aufträgt, erhält man eine Ursprungsgerade.

 

Die Summe von x und y ist konstant.

 

Bei Verdopplung der Größe x verdoppelt sich die Größe y auch.

 

Bei Verdopplung der Größe x halbiert sich die Größe y.