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Grundwissen

Direkte Proportionalität

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Bei zwei zueinander direkt proportionalen Größen gehört zum Doppelten, Dreifachen, . . . n-fachen der Größe \(x\) das Doppelte, Dreifache, . . .n-fache der Größe \(y\).
  • Zwei zueinander direkt proportionale Größen sind quotientengleich. Den Quotienten \(\frac{y}{x}\) nennt man die Proportionalitätskonstante (bzw. den Proportionalitätsfaktor).
  • Sind zwei Größen zueinander direkt proportional, so ergibt ihre Darstellung in einem Diagramm eine Halbgerade durch den Ursprung.

Zusammenhang zwischen zwei Größen

Im Alltag und auch in der Mathematik und der Physik ist oft der Zusammenhang zwischen zwei Größen von Interesse. Ein besonders einfacher Fall findest du beim Einkaufen. Wenn du für \(100\,\rm{g}\) Käse \(1{,}50\) € bezahlen musst, dann musst du für doppelt so viel Käse, auch doppelt so viel bezahlen. Wenn du dreimal so viel Käse kaufen willst, musst du dreimal so viel bezahlen (siehe Abb. 1). Diese einfache Gesetzmäßigkeit wird direkte Proportionalität zwischen zwei Größen genannt.

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Abb. 1 Messwerttabelle einer proportionalen Zuordnung

Direkte Proportionalität zweier Größen

Wenn wie in Abb. 2 zum Doppelten, Dreifachen, Vierfachen, ..., n-fachen der Größe \(x\) das Doppelte, Dreifache, Vierfache, ..., n-fache der Größe \(y\) gehört, so sind die beiden Größen zueinander direkt proportional zueinander.

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Abb. 2 Nachweis einer proportionalen Zuordnung in der Messwerttabelle

Sind zwei Größen \(x\) und \(y\) zueinander direkt proportional, so schreibt man:\[y\sim x\quad\quad\text{sprich: y proportional x}\]

Erkennungsmerkmale der direkten Proportionalität

Bei zwei direkt zueinander proportionalen Größen muss das Wertepaar \(\left( 0|0\right)\) immer inhaltlich Sinn ergeben. Nur dann kann eine direkte Proportionalität vorliegen (muss aber nicht!). Bezogen auf das Beispiel: Wenn du keinen Käse, also \(0\,\rm{g}\) Käse kaust, so musst du dafür auch nichts, also \(0\,\)€ bezahlen - macht Sinn.
Um genau zu erkennen, ob zwei Größen direkt proportional zueinander sind, gibt es verschiedene Möglichkeiten. Dabei unterscheidest du, ob die Größen in einer Messreihe bzw. Messwerttabelle gegeben sind oder ob die Werte in einem Diagramm eingetragen sind (Graph). 

Feststellen der Proportionalität anhand einer Messreihe bzw. Messwerttabelle

Du erkennst den proportionalen Zusammenhang zweier Größen \(x\) und \(y\) am einfachsten, wenn du den Quotienten \(\frac{y}{x}\)  zusammengehörender Werte bildest. Sind die beiden Größen direkt proportional zueinander, so sind alle Quotienten gleich groß (vgl. Abb. 3). Den Wert des Quotienten nennt man die Proportionalitätskonstante (bzw. den Proportionalitätsfaktor).

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Abb. 3 Nachweis der direkten Proportionalität mittels Quotientengleichheit
Quotientengleichheit bei direkter Proportionalität

Bei zwei zueinander direkt proportionalen Größen \(x\) und \(y\)  ist der Wert des Quotienten \(\frac{y}{x}\) zusammengehöriger Wertepaare immer gleich groß.

Zwei zueinander direkt proportionale Größen sind quotientengleich.

Hinweis: Messwerte aus physikalischen Experimenten sind immer mit Fehlern behaftet. Daher sind die Quotienten bei einer Messwerttabelle aus einem realen Experiment meist nicht exakt gleich sondern nur sehr ähnlich. Auch hier kannst du davon ausgehen, dass die beiden Größen direkt proportional zueinander sind.

Feststellen der Proportionalität anhand einer grafischen Darstellung
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Abb. 4 Direkt proportionale Größen ergeben im Diagramm eine Halbgerade durch den Ursprung

Stellst du die Wertepaare des Beispiels in einem \(x\)-\(y\)-Diagramm dar, so ergibt sich der in Abb. 4 dargestellte Verlauf. Die Wertepaare liegen alle auf einer Halbgeraden durch den Ursprung.

Dieser Verlauf ist typisch für Graphen, in denen zwei zueinander direkt proportionale Größen gegeneinander aufgetragen sind (bei jeweils linearer Skalierung der Achsen). Siehst du also einen Funktionsgraphen, der eine Halbgerade durch den Ursprung darstellt, kannst du sagen, dass die beiden Größen direkt proportional zueinander sind.

In der grafischen Darstellung entspricht die Steigung der Geraden, die du z.B. mit einem Steigungsdreieck an beliebiger Stelle bestimmen kannst, der Proportionalitätskonstanten (bzw. dem Proportionalitätsfaktor).

Direkte Proportionalität im Graphen

Sind zwei Größen zueinander direkt proportional, so ergibt ihre Darstellung in einem Diagramm eine Halbgerade durch den Ursprung.

Typische direkt proportionale Größen in der Physik

Im Physikunterricht werden dir eine ganze Reihe von Größen begegnen, die direkt proportional zueinander sind. Hier einige Beispiele:

  • Das Volumen \(V\) eines Körpers ist direkt proportional zu seiner Masse \(m\) (siehe Abb. 5.1).
  • Bei einer gleichbleibenden Bewegung: Die zurückgelegte Strecke \(s\) ist direkt proportional zur vergangenen Zeit \(t\) (siehe Abb. 5.2).
  • Die angelegte Spannung \(U\) ist bei einem Ohmschen Widerstand direkt proportional zur Stromstärke \(I\) (siehe Abb. 5.3).

Proportionalitätskonstante mathematisch

Sind zwei Größen zueinander direkt proportional so gilt \[y \sim x\quad (1)\]Nun führt man die Proportionalitätskonstante bzw. den Proportionalitätsfaktor ein, die man häufig mit \(C\) bezeichnet. Damit kannst du den Ausdruck \(\left( 1\right)\) sofort in die Gleichung \[\frac{y}{x} = C \quad\text{bzw.}\quad y = C \cdot x\quad (2)\] verwandeln. Diese Gleichung hat gegenüber dem Ausdruck \(\left( 1\right)\) den Vorteil, dass du damit z.B. einfach weitere Wertepaare ausrechnen kannst.

Im Einführungsbeispiel ist die Proportionalitätskonstante \(C=0{,}015\,\rm{\frac{Euro}{g}}\). Um den Preis beim Kauf von \(x=250\,\rm{g}\) Käse zu ermitteln musst du diesen Wert nur in \(\left( 2\right)\) einsetzen:\[y=0{,}015\,\rm{\frac{Euro}{g}}\cdot 250\,\rm{g}=3{,}75\,\text{Euro}\]

Bedeutung der Proportionalitätskonstanten

Die Proportionalitätskonstante bzw. der Proportionalitätsfaktor zwischen zwei proportionalen Größen hat oft eine besondere Bedeutung. In unserem Anfangsbeispiel gibt der Proportionalitätsfaktor den Preis pro Gramm Käse an. Bei den physikalischen Beispielen ist die Proportionalitätskonstante folgende Bedeutungen:

  • Beim Zusammenhang von Volumens \(V\) eines Körpers und seiner Masse \(m\) ist die Proportionalitätskonstante die sog. Dichte \(\rho\): \[\frac{m}{V}=\rho\]
  • Beim Zusammenhang von zurückgelegter Strecke und der dafür benötigten Zeit ist die Proportionalitätskonstante die Geschwindigkeit \(v\): \[\frac{s}{\Delta t}=v\]
  • Beim Zusammenhang von angelegter Spannung und sich ergebender Stromstärke am ohmschen Widerstand ist die Proportionalitätskonstante der Widerstand \(R\): \[\frac{U}{I}=R\]
Verständnisaufgabe
Aufgabe

Kreuze alle zutreffenden Merkmale für einen direkt proportionalen Zusammenhang zwischen den Größen \(x\) und \(y\) an.

Lösungsvorschläge

Lösung

Richtig sind die Antworten b), d), f) und h).