Warum Modellbildung?
Im Physikunterricht zeigt sich immer wieder, dass die Anwendung physikalischer Ideen ziemliche mathematische Probleme aufwirft. Die folgenden Beispiele sollen zeigen, wie man mit Hilfe von Modellbildungsprogrammen diese mathematischen Probleme umgehen kann. Zur Behandlung der Bewegung von Körpern muss man nur die auftretenden Kräfte angeben können. Die Berechnung von Ortskoordinaten, Geschwindigkeiten, … wird dann von dem Programm übernommen.
Die Wirkung von Kräften wird durch das 2. NEWTONsche Gesetz (\(F = m \cdot a\)) beschrieben. Daher muss zuerst dieses Gesetz in ein Modell umgesetzt werden. Das nebenstehende Standardmodell für eindimensionale Bewegungen zeigt diese Umsetzung.
Hinweis: Alle Bilder zeigen Darstellungen von Modellen in einer von uns erdachten Darstellung. Bei den verschiedenen Computerprogrammen können diese Darstellungen etwas anders ausschauen.
Mit diesem Modell können alle Bewegungen unter Krafteinwirkung behandelt werden. Die Pfeile zeigen die Einwirkungen der physikalischen Größen aufeinander.
Um dieses Modell nun an die speziellen Verhältnisse anzupassen, müssen die Anfangswerte für \(x\) und \(v_x\) sowie der Wert der Masse und die Beziehung für die Kraft eingegeben werden. Dies zeigen die Beispiele für die lineare Bewegung.
Beispiele für die Modellbildung bei linearen Bewegungen
Freier Fall
Einen ausführlichen Artikel zur Modellbildung und zur Simulation des freien Falls einschließlich des zugehörigen Tabellenblatts findest du in der Linkliste am Ende dieses Artikels.
Senkrechter Wurf
Auch beim senkrechten Wurf wirkt nur die Gewichtskraft (\(F = - m \cdot g\)).
Bei \(F\) wird die Beziehung für die Gewichtskraft eingefügt. Außerdem müssen noch die Werte für die Masse und die Anfangswerte für \(x\) und \(v_x\) eingesetzt werden. Der Anfangswert der Geschwindigkeit ist ungleich Null. Alle anderen Werte entsprechen dem freien Fall.
Damit ist das Standardmodell an den senkrechten Wurf angepasst.
Nach dem Start des Modellbildungsprogramms erhält man das erwartete Diagramm für die Zeit-Ort-Funktion.
Freier Fall mit Luftreibung
Hier wirkt zusätzlich zur Gewichtskraft der Luftwiderstand.
Die fehlenden Größen wie \(c_W\)-Wert, Dichte der Luft, … werden als Konstante eingetragen und mit der Kraft verbunden. Da der Luftwiderstand von der Geschwindigkeit abhängt, muss auch ein Wirkungspfeil von der Geschwindigkeit zur Kraft eingezeichnet werden.
Damit ist das Standardmodell an den freuien Fall mit Luftreibung angepasst.
Das zugehörige Zeit-Ort-Diagramm stellt nur am Anfang eine Parabel dar. Nach einer gewissen Zeit wird es zu einer Geraden.
Federpendel horizontal oder vertikal
Ausführliche Artikel zur Modellbildung und zur Simulation des horizontalen und des vertikalen Federpendels einschließlich der zugehörigen Tabellenblätter findest du in der Linkliste am Ende dieses Artikels.
Harmonische Schwingung mit Reibung
Nun soll zusätzlich eine Reibungskraft wirken. Hierbei ist zu beachten, dass die Reibungskraft immer entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung wirkt. Daher muss ein Wirkungspfeil von der Geschwindigkeit zur Kraft eingezeichnet werden und die Reibungskraft mit sign(vx) multipliziert werden.
Das Zeit-Ort-Diagramm zeigt nun die Abnahme der Amplitude, bedingt durch die Reibung.
Beispiele für die Modellbildung bei ebenen Bewegungen
Standardmodell der ebenen Bewegung
Das Standardmodell der ebenen Bewegung besteht aus zwei Standardmodellen für die lineare Bewegung. Man benötigt eines für die x- und eines für die y-Koordinate der Bewegung.
Wurfbewegung
Hier wirkt nur die Gewichtskraft. Diese weist in y-Richtung. Daher wird bei \(F_x\) der Wert null eingetragen. Das Ergebnis des Modells zeigt als Bahnkurve die Wurfparabel.
Kreisbewegung
Bei der Kreisbewegung steht die Kraft immer senkrecht zur Bewegungsrichtung \(\vec v\). Mit Hilfe ähnlicher Dreiecke ergibt sich \[\frac{{ - {F_x}}}{F} = \frac{{{v_y}}}{v} \Leftrightarrow {F_x} = - F \cdot \frac{{{v_y}}}{v}\]und \[\frac{{{F_y}}}{F} = \frac{{{v_x}}}{v} \Leftrightarrow {F_y} = F \cdot \frac{{{v_x}}}{v}\](Das Minuszeichen in der ersten Formel ergibt sich, da \(F_x\) negativ und \(v_y\) positiv ist). Die konstante Kraft \(\vec F\) steht immer senkrecht zur Bewegungsrichtung. Die oben entwickelten Formeln für \(F_x\) und \(F_y\) wurden in das Modell eingetragen. Der Körper startet auf der \(x\)-Achse nach oben. Es ist auch jeder andere Startpunkt und jede andere Startrichtung möglich.
Das Ergebnis des Modells zeigt den Kreis als Bahnkurve.
Bewegung unter Gravitationseinfluss
Bei der Bewegung unter Gravitationseinfluss ist die Kraft immer auf einen festen Punkt gerichtet. Dies ist das Zentralgestirn im Koordinatenursprung. Mit Hilfe ähnlicher Dreiecke ergibt sich\[\frac{{ - {F_x}}}{F} = \frac{{{x_P}}}{r} \Leftrightarrow {F_x} = - F \cdot \frac{{{x_P}}}{r}\]und\[\frac{{ - {F_y}}}{F} = \frac{{{y_P}}}{r} \Leftrightarrow {F_y} = F \cdot \frac{{{y_P}}}{r}\]Hier wirkt nur die Gravitationskraft \(\vec F\). Sie ist immer zum Stern hin gerichtet, der in diesem Beispiel im Koordinatenursprung sitzt. Für \(F_x\) und \(F_y\) wurden die oben hergeleiteten Formeln eingesetzt. Für die Gravitationskonstante \(G\), die Masse \(m\) und die Masse des Sterns wurden fiktive Werte verwendet.
Das Ergebnis des Modells zeigt eine Ellipse als Bahnkurve.