Allgemeines und Hilfsmittel

Übergreifend

Allgemeines und Hilfsmittel

  • Wie rundet man in der Physik eigentlich korrekt?
  • Wie wertet man eine Messreihe korrekt aus?
  • Wie stellt man eine Formel nach einer unbekannten Größe um?
  • Was ist eigentlich die wissenschaftliche Schreibweise?

Methode der kleinen Schritte

Neben der gleichförmigen Bewegung (v = const. a = 0), bei der die auf einen Körper wirkende resultierende Kraft Null ist, können Sie inzwischen auch Bewegungen behandeln, bei denen die wirkende Kraft konstant ist (a = const.). Die daraus resultierenden Bewegungsgleichungen wurden bereits in der 9. Jahrgangsstufe behandelt.

Bei realen Bewegungen ist es jedoch eher die Ausnahme, dass die Beschleunigung Null oder einen konstanter Wert hat. Um solche Bewegungen in den Griff zu bekommen, müsste man als mathematisches Hilfsmittel das Integrieren beherrschen, welches Sie erst in der Oberstufe zur Verfügung haben werden. Mit der Methode der kleinen Schritte, die man besonders bequem mit einem Computer anwenden kann lassen sich aber auch mit beschränktem mathematischen Aufwand komplexere Bewegungstypen behandeln.

Im Folgenden wird zunächst das Prinzip dieser Methode erläutert. Dann testen wir diese Methode an dem uns bereits bekannten Beispiel der konstant beschleunigten Bewegung (vertrauensbildende Maßnahme). Schließlich sind Sie dann in der Lage, diese Methode auf schwierigere Bewegungen (z.B. freier Fall mit Luftreibung) anzuwenden.

Prinzip

Bei sehr vielen Bewegungsabläufen ist die resultierende Kraft, die auf einen Körper einwirkt, zeitlich nicht konstant. Denken Sie z.B. an das Anfahren eines Autos. Wie man für eine solchen Bewegungsvorgang z.B. den in der Beschleunigungsphase zurückgelegten Weg ermitteln kann soll hier prinzipiell erläutert werden.

1 Auch bei einer ungleichmäßig beschleunigten Bewegung ist die Beschleunigung in kleinen Zeitintervallen näherunsweise konstant
Näherungsweise Berechnung der Geschwindigkeit am Ende des Intervalls

Wie die Animation in Abb. 1 nahe legt, kann man bei genügend kleinem betrachteten Zeitintervall \(\Delta t\) näherungsweise von einer konstanten Beschleunigung \(a\) ausgehen. Ist die Geschwindigkeit des Körpers zu Beginn des betrachteten Zeitintervalls \(v(t)\), so kann man aus der Beziehung\[ a = \frac{v(t + \Delta t) - v(t)}{\Delta t} \]die Geschwindigkeit \(v(t + \Delta t)\) am Ende des betrachteten Zeitintervalls bestimmen:\[ v(t + \Delta t) = v(t) + a \cdot \Delta t \quad (1) \]

2 Verfahren zur Bestimmung der Ortsänderung bei bekannter Geschwindigkeit
Näherungsweise Berechnung des Ortes am Ende des Intervalls

Ist der Körper zu Beginn des Zeitintervalls am Ort \(x(t)\), so kann man mit Hilfe der mittleren Geschwindigkeit \( \overline{v} \) den Ort \(x(t + \Delta t)\) am Ende des Zeitintervalls näherungsweise berechnen:\[ \overline{v} = \frac{x(t + \Delta t) - x(t) }{\Delta t} \Rightarrow x(t + \Delta t) = x(t) + \overline{v} \cdot \Delta t \quad (2) \]Bei einer konstant beschleunigten Bewegung (die wir im Zeitintervall \(\Delta t\) näherungsweise annehmen) liegt ein lineares Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz vor. In diesem Fall ist die mittlere Geschwindigkeit \( \overline{v} \) im Intervall gleich der Momentangeschwindigkeit in der Intervallmitte:\[ \overline{v} = v \left( t + \frac{\Delta t}{2} \right) = v(t) + a \cdot \frac{\Delta t}{2} \]Die mittlere Geschwindigkeit im neuen Zeitintervall kann aus der mittleren Geschwindigkeit des vorangegangenen (alten) Zeitintervalls durch die folgende Beziehung bestimmt werden:\[ \overline{v}_{neu} = \overline{v}_{alt} + a \cdot \Delta t \]

Methode der kleinen Schritte am Beispiel der gleichmäßig beschleunigten Bewegung

Einführung

Für eine konstant beschleunigte, geradlinige Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit und Anfangsort haben wir nach einer Reihe nicht ganz einfacher Überlegungen die Beziehung\[ x(t) = x_0 + v_{0,x} \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 \]als Lösung erarbeitet. Als Graphen ergaben sich im t-x-Diagramm eine Parabel und im t-v-Diagramm eine Gerade.

Steht ein Rechner zur Verfügung, so kann man mit sehr einfachen Überlegungen schrittweise den t-x-Graphen ermitteln. Man nennt diese Vorgehensweise die Methode der kleinen Schritte. Diese Methode hat den Vorteil, dass man sie auch auf kompliziertere Bewegungsvorgänge anwenden kann, für die wir in der 10. Klasse sonst keine Lösung finden würden. Die Grundidee dieses Verfahrens wurde oben erläutert.

Zunächst soll das Beispiel einer Bewegung bei der eine konstante resultierende Kraft \(F_{res}\) auf einen Körper mit konstanter Masse einwirkt behandelt werden. Für dieses Problem bräuchten wir die Methode der kleinen Schritte eigentlich nicht, da wir die Lösung mit den Bewegungsgleichungen für die konstant beschleunigte Bewegung finden können. Wir wollen aber - sozusagen als vertrauensbildende Maßnahme - zeigen, dass die Methode der kleinen Schritte eine gute Näherungslösung des Problems - dessen Lösung wir schon kennen - erbringt.

Beispiel
Ein Klotz der Masse \(m = 20 \rm{kg}\) wird durch die konstante resultierende Kraft \( F_{res} = 100\rm{N}\) beschleunigt. Zu Beginn der Bewegung war der Klotz bereits am Ort \({x_0} = 2,0{\rm{m}}\) und hatte dort eine Anfangsgeschwindigkeit in Richtung der positiven x-Achse von \( v_0 = 4,0 \rm{\frac{m}{s}} \). Berechnen Sie die Geschwindigkeiten und die Positionen des Klotzes alle \(0,20 \rm{s} \) bis zur Zeit \(t = 2,00 \rm{s} \).

Bestimmung der Beschleunigung \(a\):\[ F_{res} = m \cdot a \quad \Rightarrow \quad a = \frac{F_{res}}{m} \quad \Rightarrow \quad a = \frac{100}{20} \mathrm{\frac{N}{kg}} = 5,0 \mathrm{\frac{m}{s^2}} \]

Bestimmung von Geschwindigkeit und Ort mit Hilfe der Bewegungsgleichungen

t in s
a in m/s2
v(t) = v0 + a·t
in m/s
x(t) = x0 + v0 · t + ½ ·a · t2
in m
0,00
5,0
4,0
2,0
0,20
5,0
4,0 + 5,0·0,20 = 5,0
2,0 + 4,0·0,20 + 0,5·5,0·(0,20)2 = 2,9
0,40
5,0
4,0 + 5,0·0,40 = 6,0
2,0 + 4,0·0,40 + 0,5·5,0·(0,40)2 = 4,0
0,60
5,0
4,0 + 5,0·0,60 = 7,0
2,0 + 4,0·0,60 + 0,5·5,0·(0,60)2 = 5,3
0,80
5,0
4,0 + 5,0·0,80 = 8,0
2,0 + 4,0·0,80 + 0,5·5,0·(0,80)2 = 6,8
1,0
5,0
4,0 + 5,0·1,0 = 9,0
2,0 + 4,0·1,0 + 0,5·5,0·(1,0)2 = 8,5
1,2
5,0
4,0 + 5,0·1,2 = 10
2,0 + 4,0·1,2 + 0,5·5,0·(1,2)2 = 10,4 ≈ 10
1,4
5,0
4,0 + 5,0·1,4 = 11
2,0 + 4,0·1,4 + 0,5·5,0·(1,4)2 = 12,5≈ 13
1,6
5,0
4,0 + 5,0·1,6 = 12
2,0 + 4,0·1,6 + 0,5·5,0·(1,6)2 = 14,8 ≈ 15
1,8
5,0
4,0 + 5,0·1,8 = 13
2,0 + 4,0·1,8 + 0,5·5,0·(1,8)2 = 17,3 ≈ 17
2,0
5,0
4,0 + 5,0·2,0 = 14
2,0 + 4,0·2,0 + 0,5·5,0·(2,0)2 = 20

Bestimmung von Geschwindigkeit und Ort mit Hilfe der Methode der kleinen Schritte

t in s
a in m/s2
v(t+Δt) = v(t) + a·Δt
in m/s
\({\bar v_{neu}} = {\bar v_{alt}} + a \cdot \Delta t\)
in m/s
\(x(t + \Delta t) = x(t) + \bar v \cdot \Delta t\)
in m
0,00
5,0
4,0
 
2,0
 
 
 
4,0 + 5,0·0,10 = 4,5
 
0,20
5,0
4,0 + 5,0·0,20 =5,0
 
2,0+ 4,5·0,20 = 2,9
     
4,5 + 5,0·0,20 = 5,5
 
0,40
5,0
5,0 + 5,0·0,20 = 6,0
 
2,9+ 5,5·0,20 = 4,0
     
5,5 + 5,0·0,20 = 6,5
 
0,60
5,0
6,0 + 5,0·0,20 = 7,0
 
4,0+ 6,5·0,20 = 5,3
     
6,5 + 5,0·0,20 = 7,5
 
0,80
5,0
7,0 + 5,0·0,20 = 8,0
 
5,3+ 7,5·0,20 = 6,8
     
7,5 + 5,0·0,20 = 8,5
 
1,0
5,0
8,0 + 5,0·0,20 = 9,0
 
6,8+ 8,5·0,20 = 8,5
     
9,0 + 5,0·0,20 = 9,5
 
1,2
5,0
9,0 + 5,0·0,20 = 10
 
8,5+ 9,5·0,20 = 10,4 ≈ 10
     
9,5 + 5,0·0,20 = 10,5
 
1,4
5,0
10 + 5,0·0,20 = 11
 
10,4 + 10,5·0,20 = 12,5 ≈ 13
     
10,5 + 5,0·0,20 = 11,5
 
1,6
5,0
11 + 5,0·0,20 = 12
 
12,5 + 11,5·0,20 = 14,8 ≈ 15
     
11,5 + 5,0·0,20 = 12,5
 
1,8
5,0
12 + 5,0·0,20 = 13
 
14,8 + 12,5·0,20 = 17,3 ≈ 17
      
12,5 + 5,0·0,20 = 13,5
 
2,0
5,0
13 + 5,0·0,20 = 14
  
17,3 + 13,5·0,20 = 20

Der Rechenaufwand für die Tabellenerstellung ist relativ groß. Allerdings sind stets die gleichen Rechenschritte durchzuführen. Dies ist ein ideales Einsatzfeld für einen Computer. Im nächsten Abschnitt zeigen wir dir, wie dies mit einer Tabellenkalkulation nach kurzer Einarbeitungszeit gemacht wird.

Einsatz einer Tabellenkalkulation

Hinweis: Für das Verständnis der folgenden Seite wäre es sehr günstig, wenn Sie gewisse Vorkenntnisse auf dem Informatik-Unterricht oder aus dem Studium eines Handbuchs über Tabellenkalkulationsprogramme besitzen würden.

Die folgenden Erläuterungen beziehen sich auf das Programm Excel von Microsoft.

  • Dokumentation der Anfangsbedingungen
    In einem ersten Schritt erhält das Excel-Dokument eine Überschrift. In der gelb unterlegten Tabelle sind die Anfangswerte der konstant beschleunigten Bewegung zusammengestellt. Dabei ist es recht günstig, wenn man diesen Anfangswerten eine Variable zuweist. Bei Veränderung der Anfangsbedingungen braucht man dann nicht direkt in das später folgende Rechenblatt eingreifen.

So wird dem Anfangsort x0 = 2,0 m die Variable x, der Anfangsgeschwindigkeit die Variable v und dem Zeitschritt Δt die Variable Dt zugeordnet. Der Variablenname wird in das Namensfeld (links oben) eingetragen.

  • Anlage des Rechenblatts
    Im Rechenblatt sollen die Zeit t, die Geschwindigkeit v(t + Δt) am Ende eines Intervalls, die Geschwindigkeit v(t + Δt/2) in der Mitte des betrachteten Intervalls, und der Ort am Ende des Intervalls dargestellt werden. In die Kopfzeilen des Rechenblatts sind zur Erinnerung jeweils noch die Rechenvorschriften, welche auf der "Prinzip-Seite" erläutert wurden, eingetragen.
    • Da wir zur Zeit t = 0,00 s starten, tragen wir in die Zelle D11 0,00 ein.
    • In die Zelle E11 tragen wir den Wert 5,0 für die Beschleunigung a ein. Wir gehen mit dem Cursor auf die Zelle E11 und tragen in das Eingabefeld "=a" (anschließend Return-Taste drücken) ein. Damit erscheint in E11 die Zahl 5,0. Diese Vorgehensweise hat den Vorteil, dass für ein anderes Beispiel mit anderer Beschleunigung nicht das Rechenblatt (lila Kopfzeile) umgeschrieben werden muss, sondern nur das gelbe Feld mit dem Anfangswert für a. Analog verfahren wir mit der Zelle F11 für die Anfangsgeschwindigkeit (=v und Return-Taste). Dem Anfangsort wird über "=x"und Return-Taste in die Zelle H11 der Wert 2,0 zugewiesen.
    • Nun geht es an die Berechnung der Geschwindigkeit in der Mitte des ersten Intervalls (Zelle G11). Dazu klicken wir die Zelle G11 an und tragen in das Eingabefeld: "=F11+a*Dt/2" und Return-Taste.

    • Entwicklung der Folgezeilen im Rechenblatt
      • D12: Inhalt von D11 vermehrt um Δt; Eintrag in das Eingabefeld: "D11+Dt"
      • F12: Inhalt von F11 vermehrt um a·Δt; Eintrag in das Eingabefeld: "F11+a*Dt"
      • G12: Inhalt von G11 vermehrt um a·Δt; Eintrag in das Eingabefeld: "G11+a*Dt"
      • H12: Inhalt von H11 vermehrt um das Produkt aus dem Inhalt von G11(Geschwindigkeit in Intervallmitte) mal Δt; Eintrag in das Eingabefeld: "H11+G11*Dt"

    • Kopiervorgang für die Folgezeilen
      Es wäre nun recht mühsam sämtliche Zellen per Hand mit den richtigen Einträgen zu versehen. Wesentlich schneller geht dies jedoch mit dem allen Tabellenkalkulations-Programmen eigenen Kopiervorgang:
      Klickt man z.B. die Zelle D12 an, so legt sich ein dickes Rechteck um diese Zelle. Fasst man nun mit der gedrückten Maustaste den rechten unteren Rand des Rechtecks an und zieht diesen nach unten, so werden in die darunter liegenden Zellen die richtigen Bezüge geschrieben. So steht dann z.B. in Zelle D13: "D12+Dt"
      Entsprechende Kopiervorgänge werden auf die Zellen E11, F12, G11 und H12 angewandt und fertig ist das Rechenblatt.
       
  • Darstellung der Größen in einem Diagramm
    Man wählt in der Menü-Zeile den Button Diagramm (vgl. auch oberes Bild) aus. Dann erscheint das folgende Fenster:
     

In diesem Fenster wählt man die Diagrammart "Punkt (XY)". Nach einigen Formatierungsoperationen gelangt man dann zu einem Diagramm wie es unten dargestellt ist (hier wurde nur das t-x-Diagramm ausgewählt).

     

    • Eingabe anderer Anfangswerte
      Will man die Ergebnisse für andere Anfangsbedingungen sehen, so braucht man nun nur noch die Zahlen in den gelben Feldern (Anfangswerte) entsprechend abändern. Ganz automatisch wird dann das Rechenblatt und die Graphik angepasst.

    Hinweise

    • Wenn Excel oder ein vergleichbares Tabellenkalkulationsprogramm auf ihrem Rechner installiert ist, können Sie die oben angesprochene Kalkulation direkt mithilfe dieser Excel-Datei ausprobieren.
    • Der Vorteil der Methode der kleinen Schritte kommt erst richtig zum Tragen, wenn ein komplizierteres Kraftgesetz vorliegt (z.B. beim Freien Fall mit Luftreibung) oder wenn sich die Masse des beschleunigten Körpers während des Bewegungsvorgangs ändert (z.B. beim Start einer Rakete).
    • Bei der oben diskutierten Bewegung mit konstanter Beschleunigung war selbst bei relativ großen Zeitschritten eine vollständige Übereinstimmung zwischen den Ergebnissen, welche durch Lösung der Bewegungsgleichung bzw. durch die Methode der kleinen Schritte erzielt wurden, festzustellen. Dies ist bei komplizierteren Problemen in der Regel nicht der Fall. Hier kommt die für uns mögliche Lösung mit der Kleinschritt-Methode einer geschlossenen Lösung (die entweder uns mathematisch hier noch nicht oder aber auch oft prinzipiell gar nicht möglich ist) nur dann sehr nahe, wenn die Zeitschritte sehr klein gewählt werden, was natürlich den Rechenaufwand deutlich erhöht. Im Zeitalter der schnellen Computer ist das aber kein Problem mehr.

    Modellbildung für Unterrichtende

    Hinweis: Die folgenden Seiten wurden uns dankenswerterweise von Herrn Werner Müller (Medienpädagogisch informationstechnischer Berater beim MB Schwaben und Lehrer am Gymnasium in Wertingen) zur Verfügung gestellt.

    Was ist Modellbildung?

    Die Modellbildung ist eine der grundlegenden Techniken in vielen Wissenschaftsdisziplinen. Da die natürlichen Phänomene meist sehr komplex sind, entziehen sie sich einer wissenschaftlichen Behandlung. Erst das Arbeiten und Denken in Modellen durch eine Reduzierung der Komplexität macht sie theoretischer Behandlung zugänglich.

    Nach der Erzeugung des Modells wird das Modellverhalten untersucht und mit dem realen Verhalten des Systems verglichen. Damit lässt sich die Güte des Modells bewerten und gegebenenfalls auch verbessern.

    Was ist Modellbildungssoftware?

    In der Physik werden meist mathematische Modelle eingesetzt. Die Diskussion dieser Modelle setzt damit gewisse mathematische Fertigkeiten voraus. Dadurch treten sehr oft die physikalischen Ideen hinter den mathematischen Problemen zurück. Durch entsprechende Computerprogramme kann diese Problematik vereinfacht werden. Hierzu werden Näherungsverfahren nach der Methode der kleinen Schritte wie EULER-CAUCHY- oder RUNGE-KUTTA-Verfahren angewendet. Im einfachsten Fall gilt\[{\rm{Zustand}}\left( {t + \Delta t} \right) = {\rm{Zustand}}\left( t \right) + {\rm{Änderungsrate}}\left( t \right) \cdot \Delta t\]Die Werte der Zustandsgrößen werden iterativ berechnet. Es ist also nicht möglich den Zustand zum Zeitpunkt \(t\) direkt anzugeben, sondern es muss die Iteration, beginnend beim Zeitpunkt \(t=0\) bis zum gesuchten Zeitpunkt durchgeführt werden.

    Solche Berechnungen lassen sich mit jeder Tabellenkalkulation durchführen, jedoch müssen die Berechnungsformeln in das Rechenblatt eingebaut werden. Spezielle Modellbildungsprogramme haben diese Näherungsverfahren bereits implementiert, so dass die mathematischen Probleme weitgehend von dem Programm übernommen werden und man sich auf die physikalischen Anforderungen konzentrieren kann.

    In grafischen Modellbildungsprogramm werden Modelle durch so genannte Wirkungsdiagramme dargestellt, d.h. die Pfeile zwischen den Größen zeigen wie sich die Größen gegenseitig beeinflussen.

     

    Beispiel: Federschwingung

    Das Bild zeigt das grafische Modell einer Federschwingung. Man erkennt dass der Kraftbetrag \({F}\) von der Auslenkung \(x\) und der Federkonstante \(D\) abhängt.

    Die Beschleunigung \({a}\) hängt von \({F}\) und \(m\) ab.

    Bei den einzelnen Größen müssen die entsprechenden Beziehungen eingetragen werden, wie z.B. \({F} =  - D \cdot x\) oder \({a} = {F}/m\) …

    Alles andere übernimmt das Modellbildungsprogramm.

     

    Warum Modellbildungsprogramme?

    Wie oben bereits angeführt, treten die mathematischen Probleme in den Hintergrund und die physikalischen Konzepte werden deutlicher. Außerdem kann die Leistungsfähigkeit physikalischer Konzepte besser aufgezeigt werden. Dies soll am Beispiel des 2. NEWTONschen Gesetzes (\(F = m \cdot a\)) verdeutlicht werden.

    Beispiel: Standardmodell

    Dieses Modell setzt das 2. NEWTONsche Gesetz um und kann als Standardmodell für alle Bewegungen unter Krafteinfluss verwendet werden. Die Beziehung für die Kraft muss bei \(F_x\) eingetragen werden. Dadurch unterscheiden sich dann die einzelnen Modelle.

     

    Beispiel: Freier Fall

    Hier hängt die Kraft von der Masse und der Fallbeschleunigung ab. Daher die beiden Wirkungspfeile. Alle anderen Dinge entsprechen dem Standardmodell. Das Modell für den senkrechten Wurf ist genau gleich. Nur der Anfangswert der Geschwindigkeit ist ungleich null.

     

    Auf diese Weise erkennt man die Mächtigkeit der NEWTONschen Mechanik. Mit konventionellen Methoden würde man bei der harmonischen Schwingung bei einer Differentialgleichung landen, was für den Schüler ein völlig anders Konzept darstellt als die Berechnung des freien Falls. Noch deutlicher wird es beim Vergleich des freien Falls mit dem senkrechten Wurf. Die unterschiedlichen mathematischen Methoden vernebeln hier das immer gleiche physikalische Prinzip. Mit Modellbildungsprogrammen können somit realistischere Bewegungen behandelt werden, ohne in mathematischen Problemen unterzugehen.

    Insgesamt gilt: Modellbildungsprogramme machen die Physik deutlicher.

    Modellbildung für Lernende

    Warum Modellbildung?

    Im Physikunterricht zeigt sich immer wieder, dass die Anwendung physikalischer Ideen ziemliche mathematische Probleme aufwirft. Die folgenden Beispiele sollen zeigen, wie man mit Hilfe von Modellbildungsprogrammen diese mathematischen Probleme umgehen kann. Zur Behandlung der Bewegung von Körpern muss man nur die auftretenden Kräfte angeben können. Die Berechnung von Ortskoordinaten, Geschwindigkeiten, … wird dann von dem Programm übernommen.

    Die Wirkung von Kräften wird durch das 2. NEWTONsche Gesetz (\(F = m \cdot a\)) beschrieben. Daher muss zuerst dieses Gesetz in ein Modell umgesetzt werden. Das nebenstehende Standardmodell für eindimensionale Bewegungen zeigt diese Umsetzung.

    Hinweis: Alle Bilder zeigen Darstellungen von Modellen in einer von uns erdachten Darstellung. Bei den verschiedenen Computerprogrammen können diese Darstellungen etwas anders ausschauen.

    Mit diesem Modell können alle Bewegungen unter Krafteinwirkung behandelt werden. Die Pfeile zeigen die Einwirkungen der physikalischen Größen aufeinander.

    Um dieses Modell nun an die speziellen Verhältnisse anzupassen, müssen die Anfangswerte für \(x\) und \(v_x\) sowie der Wert der Masse und die Beziehung für die Kraft eingegeben werden. Dies zeigen die Beispiele für die lineare Bewegung.

     

    Beispiele für die Modellbildung bei linearen Bewegungen

    Freier Fall

    Einen ausführlichen Artikel zur Modellbildung und zur Simulation des freien Falls einschließlich des zugehörigen Tabellenblatts findest du in der Linkliste am Ende dieses Artikels.

     

    Senkrechter Wurf

    Auch beim senkrechten Wurf wirkt nur die Gewichtskraft (\(F = - m \cdot g\)).

    Bei \(F\) wird die Beziehung für die Gewichtskraft eingefügt. Außerdem müssen noch die Werte für die Masse und die Anfangswerte für \(x\) und \(v_x\) eingesetzt werden. Der Anfangswert der Geschwindigkeit ist ungleich Null. Alle anderen Werte entsprechen dem freien Fall.

    Damit ist das Standardmodell an den senkrechten Wurf angepasst.

     

    Nach dem Start des Modellbildungsprogramms erhält man das erwartete Diagramm für die Zeit-Ort-Funktion.

     

    Freier Fall mit Luftreibung

    Hier wirkt zusätzlich zur Gewichtskraft der Luftwiderstand.

    Die fehlenden Größen wie \(c_W\)-Wert, Dichte der Luft, … werden als Konstante eingetragen und mit der Kraft verbunden. Da der Luftwiderstand von der Geschwindigkeit abhängt, muss auch ein Wirkungspfeil von der Geschwindigkeit zur Kraft eingezeichnet werden.

    Damit ist das Standardmodell an den freuien Fall mit Luftreibung angepasst.

     

    Das zugehörige Zeit-Ort-Diagramm stellt nur am Anfang eine Parabel dar. Nach einer gewissen Zeit wird es zu einer Geraden.

     

    Federpendel horizontal oder vertikal

     

    Ausführliche Artikel zur Modellbildung und zur Simulation des horizontalen und des vertikalen Federpendels einschließlich der zugehörigen Tabellenblätter findest du in der Linkliste am Ende dieses Artikels.

     

    Harmonische Schwingung mit Reibung

    Nun soll zusätzlich eine Reibungskraft wirken. Hierbei ist zu beachten, dass die Reibungskraft immer entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung wirkt. Daher muss ein Wirkungspfeil von der Geschwindigkeit zur Kraft eingezeichnet werden und die Reibungskraft mit sign(vx) multipliziert werden.

     

    Das Zeit-Ort-Diagramm zeigt nun die Abnahme der Amplitude, bedingt durch die Reibung.

     

    Beispiele für die Modellbildung bei ebenen Bewegungen

    Standardmodell der ebenen Bewegung

    Das Standardmodell der ebenen Bewegung besteht aus zwei Standardmodellen für die lineare Bewegung. Man benötigt eines für die x- und eines für die y-Koordinate der Bewegung.

     

    Wurfbewegung

    Hier wirkt nur die Gewichtskraft. Diese weist in y-Richtung. Daher wird bei \(F_x\) der Wert null eingetragen. Das Ergebnis des Modells zeigt als Bahnkurve die Wurfparabel.

     
     

    Kreisbewegung

    Bei der Kreisbewegung steht die Kraft immer senkrecht zur Bewegungsrichtung \(\vec v\). Mit Hilfe ähnlicher Dreiecke ergibt sich \[\frac{{ - {F_x}}}{F} = \frac{{{v_y}}}{v} \Leftrightarrow {F_x} = - F \cdot \frac{{{v_y}}}{v}\]und \[\frac{{{F_y}}}{F} = \frac{{{v_x}}}{v} \Leftrightarrow {F_y} = F \cdot \frac{{{v_x}}}{v}\](Das Minuszeichen in der ersten Formel ergibt sich, da \(F_x\) negativ und \(v_y\) positiv ist). Die konstante Kraft \(\vec F\) steht immer senkrecht zur Bewegungsrichtung. Die oben entwickelten Formeln für \(F_x\) und \(F_y\) wurden in das Modell eingetragen. Der Körper startet auf der \(x\)-Achse nach oben. Es ist auch jeder andere Startpunkt und jede andere Startrichtung möglich.

     

    Das Ergebnis des Modells zeigt den Kreis als Bahnkurve.

     

    Bewegung unter Gravitationseinfluss

    Bei der Bewegung unter Gravitationseinfluss ist die Kraft immer auf einen festen Punkt gerichtet. Dies ist das Zentralgestirn im Koordinatenursprung. Mit Hilfe ähnlicher Dreiecke ergibt sich\[\frac{{ - {F_x}}}{F} = \frac{{{x_P}}}{r} \Leftrightarrow {F_x} = - F \cdot \frac{{{x_P}}}{r}\]und\[\frac{{ - {F_y}}}{F} = \frac{{{y_P}}}{r} \Leftrightarrow {F_y} = F \cdot \frac{{{y_P}}}{r}\]Hier wirkt nur die Gravitationskraft \(\vec F\). Sie ist immer zum Stern hin gerichtet, der in diesem Beispiel im Koordinatenursprung sitzt. Für \(F_x\) und \(F_y\) wurden die oben hergeleiteten Formeln eingesetzt. Für die Gravitationskonstante \(G\), die Masse \(m\) und die Masse des Sterns wurden fiktive Werte verwendet.

     

    Das Ergebnis des Modells zeigt eine Ellipse als Bahnkurve.

    Druckversion