Einfache Produktgleichungen
Oft tauchen in der Physik Gleichungen des Typs\[a = b \cdot c\]auf. So gilt z.B. für den Zusammenhang zwischen dem zurückgelegten Weg \(s\), der Geschwindigkeit \(v\) und der verstrichenen Zeit \(t\) bei der gleichförmigen Bewegung die Beziehung\[s = v \cdot t\]Gleichungen des obigen Typs sind eine besonders einfache Form einer linearen Gleichung, wir bezeichnen sie als einfache Produktgleichung.
Meist sind bei der obigen Gleichung zwei der drei Größen bekannt (z.B. \(b\) und \(c\)) und die dritte Größe (z.B. \(a\)) ist gesucht. Bei Rechenaufgaben musst du sicher nach der gesuchten Größe auflösen können. Das Auswendiglernen von Lösungsformeln solltest du gar nicht erst versuchen. Bei der folgenden Lösung gehen wir davon aus, dass keine der drei Größen den Wert Null annimmt.
In der Animation in Abb. 1 ist das schrittweise Auflösen einer Produktgleichung der Form \(a = b \cdot c\) nach den drei in der Gleichung auftretenden Größen dargestellt.
Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[\color{Red}{{b}} \cdot {{c}} = {{a}}\]
\[\frac{\color{Red}{{b}} \cdot {{c}}}{{{c}}} = \frac{{{a}}}{{{c}}}\]
Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{{b}} \cdot \color{Red}{{c}} = {{a}}\]
\[\frac{{{b}} \cdot \color{Red}{{c}}}{{{b}}} = \frac{{{a}}}{{{b}}}\]
Hinweis: Gelegentlich wird ein "Lösungsdreieck" vorgeschlagen, mit dem man ganz ohne Algebrakenntnisse das Auflösen nach einer Größe bewältigen kann. Die Animation in Abb. 2 soll dir die Vorgehensweise illustrieren.
Rat: Präge dir die obige, algebraische Vorgehensweise ein. Sie ist in jeder Lage anwendbar. Die "Dreiecksmethode" führt sofort zu falschen Lösungen, wenn die Größen im Dreieck nicht richtig angeordnet sind.
Einfache Quotientengleichungen
Bei der Definition verschiedener Größen in der Physik tauchen weiter Gleichungen des Typs\[a = \frac{b}{c}\]auf. So wird z.B. die Dichte \(\rho\) von Stoffen als Quotient aus der Masse \(m\) und dem Volumen \(V\) eines Körpers aus diesem Stoff durch die Beziehung\[\rho = \frac{m}{V}\] bestimmt. Gleichungen des obigen Typs sind eine besonders einfache Form einer Bruchgleichung, wir bezeichnen sie als einfache Quotientengleichung.
Meist sind bei der obigen Gleichung zwei der drei Größen bekannt (z.B. \(b\) und \(c\)) und die dritte Größe (z.B. \(a\)) ist gesucht. Bei Rechenaufgaben musst du sicher nach der gesuchten Größe auflösen können. Das Auswendiglernen von Lösungsformeln solltest du gar nicht erst versuchen. Bei der folgenden Lösung gehen wir davon aus, dass keine der drei Größen den Wert Null annimmt.
In der Animation in Abb. 3 ist das schrittweise Auflösen einer Quotientengleichung der Form \(a = \frac{b}{c}\) nach den drei in der Gleichung auftretenden Größen dargestellt.
Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[\frac{\color{Red}{{b}}}{{{c}}} = {{a}}\]
Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[\frac{{{b}}}{\color{Red}{{c}}} = {{a}}\]