Aufbau einer Wellenwanne

Mit einer  Wellenwanne, wie sie im nebenstehenden Bild zu sehen ist, lassen sich schnell und einfach verschiedene Wellentypen erzeugen und Phänomene an Wellen studieren.

Die Anregung der Wellen erfolgt mittels einzelner Nadeln oder Luftdruckschwankungen im Wellenerreger (im Bild zwei punktförmige Erreger), die periodische Störungen der Wasseroberfläche verursachen. Mögliche ist auch die Anregung durch einen dünnen Stab, der periodisch auf die Wasseroberfläche trifft.

Die flache, auf einer ebenen Glasplatte befindliche Wasseroberfläche (im Foto oben zu sehen) wird von oben mit Licht bestrahlt, das über einen 45° geneigten Spiegel auf eine vertikal ausgerichtete Mattscheibe (im Foto der untere Bildteil) trifft.

Bei der Beleuchtung von oben wirken die Wellenberge wie Sammellinsen, sie bündeln das Licht (helle Stellen am Schirm). Wellentäler wirken wie Zerstreuungslinsen, das durchgehende Licht wird aufgefächert (dunkle Stellen am Schirm).

Um Reflexionen an Rändern der Wellenwanne zu verhindern steigt diese zum Rand hin sanft an. Die Wassertiefe beträgt 0,5cm - 1,3 cm.

Um die Oberflächenspannung des destillierten Wassers zu reduzieren gibt man etwas Spülmittel bei.

Die Eintauchtiefe der Erreger muss so angepasst werden, dass sich ein möglichst scharfes Wellenbild am Schirm ergibt.

Der Wannenboden muss eben aufgestellt sein (Kontrolle mit einer Wasserwaage).

Typische Wellenbilder

Verschiedene Wellensysteme

Ebene Welle
Kreiswelle

Reflexion und Brechung

Brechung
Reflexion

Beugung am Spalt

Links: sehr enger Spalt (\(d < \lambda \)): Es ergibt sich eine vom Spalt ausgehende Kreiswelle, deren Intensität auch in Richtungen, die stark von der ursprünglichen Ausbreitungsrichtung abweichen, noch groß ist. Diese Erscheinung nennt man Beugung ; Mitte: enger Spalt (\(d \approx \lambda \)): Die Grenze zwischen Schattenbereich und Lichtbereich wird schärfer. Die Intensität im Schattenbereich ist wesentlich geringer als in direkter Ausbreitungsrichtung hinter dem Spalt. Beim Übergang vom Lichtraum zum Schattenraum gibt es Maxima und Minima. Diese Erscheinung nennt man Interferenz; Rechts: Breiter Spalt (\(d > \lambda \)): Verhältnisse fast wie bei der geometrischen Optik.

Beugung am Hindernis

\(d > \lambda \): merkliche Störung des Wellenfeldes
\(d \approx \lambda \): unwesentliche Störung des Wellenfeldes

Interferenzerscheinungen

DOPPLER-Effekt
Zwei-Quellen-Interferenz

Eine einfache Simulation zur Zwei-Quellen-Interferenz in einer Wellenwanne findest du hier auf der Website von OSP (open source physics).

Ziel des Versuchs ist es, an einem Gummiseil stehende Querwellen zu erzeugen und sowohl Grund- als auch Oberschwingungen darzustellen.

Aufbau und Durchführung

Ein Gummiband wird (nicht zu straff) in den Klemmplatten mit Stiel befestigt. Gut geeignet ist z.B. weißer Hosengummi der in gleichen Abständen mit Filzstift schwarz markiert wurde.

Durch die richtige Höheneinstellung des Motors wird das Seil durch den Exzenter zu Schwingungen angeregt.

Man beginnt bei niederen Frequenzen und erhöht diese sehr langsam.

Die Beleuchtung mit dem Stroboskop (wesentlich höhere Frequenz als Motorfrequenz) aus einigen Metern Entfernung im nahezu abgedunkelten Raum lässt eine gute Beobachtung der sich ausbildenden stehenden Welle zu.

Beobachtung

Bei bestimmten Anregungsfrequenzen bilden sich ausgeprägte Schwingungszustände aus:

Erklärung

Es kommt zu konstruktiver Überlagerung, wenn die Welle nach der Reflexion an A und an B (Hin- und Rücklauf) mit der vom Excenter neu angeregten Welle in Phase ist.

Hinweise

Der Begriff stehende Welle ist schlecht gewählt, da hier kein Energietransport in den Raum hinaus erfolgt.

Ein dem beschriebenen Versuch analoges Experiment lässt sich als Freihandversuch durchführen: Anstelle des Gummibandes verwendet man die lange Feder (z.B. Slinky-Feder), welche z.B. an einer Seite an der Türklinke befestigt ist oder von einer zweiten Person gehalten wird. Die Anregung erfolgt mit der Hand. Die Erzeugung der 2. Oberschwingung erfordert dabei etwas Geschick.

Aufbau und Durchführung

 

Eine sogenannte Slinky-Feder wird vertikal auf einer Länge von ca. \(2{,}0\rm{m}\) aufgehängt. Zum Befestigen der Feder eignen sich gut zwei Holzzylinder, welche jeweils eine Bohrung besitzen, wodurch die Stativstange geschoben werden kann. Die Holzzylinder sind an der Stativstange durch Schrauben befestigbar.

Im unteren Teil der Feder ist eine Nylonschnur befestigt, über die mittels Exzenter und Motor die Anregung der Feder erfolgt.

Hinweise: Die Anregung mit Hilfe der Nylonschnur soll in der Nähe des (später zu beobachtenden) Bewegungsbauches erfolgen. Die Nylonschnur darf nicht zu stark gespannt sein (Ausprobieren durch Verschieben des Excenters).

Man steigert die Drehzahl des Motors von kleinen zu großen Werten hin und beobachtet das Schwingungsverhalten der Feder.

Aufbau und Durchführung

 

Zunächst tritt die Grundschwingung der Feder bei \(f = {f_0}\) auf: ein Bewegungsbauch in der Mitte, zwei Bewegungsknoten an den Rändern;

Bei Steigerung der Frequenz findet man bei \(f = 2 \cdot {f_0}\) die 1. Oberschwingung: zwei Bewegungsbäuche und drei Bewegungsknoten

Weitere Frequenzsteigerung lässt auch die Darstellung der 2. Oberschwingung zu.

Hinweis: Das Versuchsergebnis dient dem besseren Verständnis der Eigenschwingung eines Dipols (Kollegstufe). Die Analogie mit diesem Versuch ist deshalb besonders gut, da die Eigenschwingung der Elektronen im Dipol auch eine Längsschwingung ist.

Entfernung der beiden Wellen-
zentren:cm
Wellenlänge:cm
©  W. Fendt 1999
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
1 Simulation der Interferenz zweier Kreis- oder Kugelwellen

Diese Simulation zeigt die Interferenz zweier Kreis- oder Kugelwellen (z. B. von Wasserwellen in einer Wellenwanne oder von Schallwellen). Die Wellen gehen von zwei gleichphasig schwingenden Wellenzentren aus. Für die Überlagerung der Wellen gilt der Grundsatz, dass sich die Elongationen addieren, und zwar unter Berücksichtigung des Vorzeichens.

Folgende zwei Extremfälle treten auf:

An Punkten, für die der Gangunterschied \(\Delta s\) der beiden Wellen (also die Differenz der Entfernungen von den beiden Wellenzentren) ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge \(\lambda \) ist, kommen die Wellen gleichphasig an: Wellenberge (schwarze Kreise) und Wellentäler (graue Kreise) treffen also jeweils gleichzeitig ein, sodass es zu konstruktiver Interferenz (zu maximaler Amplitude) kommt. Punkte mit dieser Eigenschaft liegen auf den violett gekennzeichneten Kurven bzw. Flächen.

Umgekehrt sind die Verhältnisse an Punkten, für die der Gangunterschied \(\Delta s\) ein halbzahliges Vielfaches der Wellenlänge \(\lambda \) ist: An solchen Punkten, die auf den grün gezeichneten Kurven bzw. Flächen liegen, kommt ein Wellenberg der einen Welle stets gleichzeitig mit einem Wellental der anderen Welle an, sodass sich die Wellen abschwächen (destruktive Interferenz, minimale Amplitude).

Der Schaltknopf "Pause / Weiter" ermöglicht es, die Simulation zu unterbrechen und wieder zu starten. Wählt man die Option "Zeitlupe", so läuft die Animation fünfmal so langsam. In den beiden Eingabefeldern kann man die Entfernung der beiden Wellenzentren und die Wellenlänge verändern ("Enter"-Taste nicht vergessen!). Am unteren Rand wird für den rot markierten Punkt der Gangunterschied \(\Delta s\) der beiden Wellen (siehe oben) angegeben. Dieser Punkt lässt sich durch Ziehen mit der Maus verschieben.

Wir danken Herrn Walter Fendt für die Erlaubnis, diese HTML5/Javascript-Animation auf LEIFIphysik zu nutzen.

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Führen Sie mit der Maus den Aufpunkt (rot) im Wellenfeld umher. Prägen Sie sich den Gangunterschied \(\Delta s\) ein, der auf den grünen und violetten Hyperbeln besteht. Formulieren Sie sodann allgemein eine Bedingung für den Gangunterschied \(\Delta s = \Delta s\left( {\lambda ,k} \right)\) bei konstruktiver und destruktiver Interferenz.

Die Zahl der Linien konstruktiver bzw. destruktiver Interferenz in der Ebene hängt von der Wahl der Parameter \(b\) und \(\lambda \) ab. Formulieren Sie diesen Zusammenhang qualitativ.

Wählen Sie nacheinander die folgenden Einstellungen und zählen Sie die Zahl der Hyperbeln konstruktiver Interferenz.

\(b\;{\rm{in}}\;{\rm{cm}}\) \(\lambda \;{\rm{in}}\;{\rm{cm}}\) Zahl der Hyperbeln mit konstruktiver Interferenz
\(10\) \(4\)  
\(10\) \(2\)  
\(10\) \(3\)  
\(5\) \(3\)  

Versuchen Sie eine allgemeine Vorhersage über die Zahl der Hyperbeln mit konstruktiver Interferenz zu machen, wenn \(b\) und \(\lambda \) vorgegeben sind. Tipp: Die Beziehung \(b \cdot \sin \left( \alpha  \right) = k \cdot \lambda \;;\;k \in {\mathbb{N}_0}\) ist hilfreich.

Rohrform
Eigenschwingung
Grundschwingung
Rohrlänge:m
Wellenlänge: m
Frequenz: Hz
©  W. Fendt 1998
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
1 Simulation von stehenden Längswellen

Diese Simulation demonstriert stehende Längswellen (Longitudinalwellen) am Beispiel der Eigenschwingungen einer Luftsäule in einem Rohr. Sie stellt dar, wie sich die Moleküle der Luft bei einer solchen Eigenschwingung bewegen. In Wirklichkeit legen diese Teilchen natürlich viel kürzere Strecken zurück, und die Bewegung erfolgt wesentlich schneller.

Im oberen der beiden Diagramme wird – in Abhängigkeit von der Ortskoordinate \(x\) – die Elongation (Auslenkung) \(\Delta x\) der Teilchen gegenüber ihrer Ruhelage dargestellt. Die Schwingungsknoten, also die Stellen, an denen sich die Teilchen überhaupt nicht bewegen, sind mit "K" bezeichnet. Entsprechend steht "B" jeweils für einen Schwingungsbauch, d.h. eine Stelle, an der die Teilchen mit maximaler Amplitude schwingen. Man beachte, dass sich an einem offenen Rohrende immer ein Schwingungsbauch befindet, an einem geschlossenen Ende dagegen stets ein Knoten!

Das untere Diagramm zeigt die Abweichung \(\Delta p\) des Drucks von seinem Mittelwert. Die Stellen, an denen diese Druckdifferenz besonders stark schwankt, also die Druckbäuche, sind mit "B" bezeichnet. Sie fallen mit den Schwingungsknoten im oberen Diagramm zusammen. Entsprechend stimmen die Druckknoten ("K") mit den Schwingungsbäuchen überein.

Die drei Radiobuttons erlauben die Auswahl zwischen einem beidseitig offenen, einem einseitig offenen und einem beidseitig geschlossenen Rohr. Mit den Schaltknöpfen "Tiefer" und "Höher" kann man jeweils zur nächsttieferen bzw. nächsthöheren Eigenschwingung umschalten. Möglich sind dabei die Grundschwingung und die fünf ersten Oberschwingungen.

Trägt man in das Eingabefeld für die Rohrlänge einen neuen Wert ein und drückt man anschließend die "Enter"-Taste, so berechnet das Applet Wellenlänge und Frequenz für die ausgewählte Eigenschwingung. Dabei wird eine Schallgeschwindigkeit von \(334,5\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) zugrundegelegt, entsprechend einer Temperatur von \(20{\rm{^\circ C}}\). Bei den Berechnungen wird der Einfluss des Rohrdurchmessers vernachlässigt.

Eine zusätzliche Möglichkeit: Klickt man mit der linken Maustaste auf einen Punkt im Inneren des Rohres, so kann man die Schwingung eines einzelnen Teilchens um seine Gleichgewichtslage genauer verfolgen.

Wir danken Herrn Walter Fendt für die Erlaubnis, diese HTML5/Javascript-Animation auf LEIFIphysik zu nutzen.

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Untersuche, wie viele Knoten und Bäuche sich bei einseitig geschlossenem Rohr bei der Grundschwingung und den ersten beiden Oberschwingungen ergeben.

Untersuche, wie viele Knoten und Bäuche sich bei beidseitig geschlossenem Rohr bei der Grundschwingung und den ersten beiden Oberschwingungen ergeben.

Untersuche, wie viele Knoten und Bäuche sich bei beidseitig offenem Rohr bei der Grundschwingung und den ersten beiden Oberschwingungen ergeben.

 

Zur Untersuchung von Wellenphänomenen benutzt man im Unterricht häufig eine Wellenmaschine, wie sie z.B. in dem nebenstehenden Bild dargestellt ist. Mit diesem sehr teuren Gerät, bei dem viele Pendel durch Federn gekoppelt sind, kann man sehr gut die Ausbreitung von Wellen studieren.

Die sehr schöne Simulation von PhET gestattet es dir, das in der Schule Gesehene in aller Ruhe noch einmal nach zu vollziehen.

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1 Beobachte, wie ein Seil in Zeitlupe schwingt. Erzeuge Wellen, indem du das Seilende manuell bewegst oder mittels eines Oszillators. Veränder die Dämpfung und die Spannung des Seils. Das Seilende kann fest, lose oder offen sein.
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Aufgabe

manuell / kein Ende: Lenke mit der Maus (linke Maustaste) das Seil einmalig aus und erzeuge einen Wellenberg. Studiere die Ausbreitung der Störung.

oszillieren / kein Ende: Schalte die harmonische Anregung ein und studiere die Ausbreitung der sinusförmigen Querwelle.

Stoppe mit der Uhr die Schwingungsdauer \(T\) einer Kugel, miss die Wellenlänge \(\lambda \) der Welle, nachdem du auf "Pause" gedrückt hast.

Führe diese Messungen bei verschiedenen Ausbreitungsgeschwindigkeiten (Spannung) durch. Bestätige nun die Beziehung \(c = \frac{\lambda }{T}\).

Untersuche, wie die Wellengeschwindigkeit von der Härte des Wellenträgers abhängt, indem du einen einzelnen Impuls über den Träger laufen lässt (relativ niedrige Dämpfung einstellen). Formuliere deine Beobachtungen in Form eines "Je ..., desto ..." - Satzes.

Schalte verschiedene Dämpfungen ein und rege den Träger harmonisch an. Variiere auch hier die Härte des Wellenträgers. Wähle "kein Ende" als Trägerende.

Schalte die Dämpfung ab und rege harmonisch an. Präge dir die Bilder der stehenden Welle ein, die sich nach einiger Zeit ausbildet, wenn das Trägerende lose bzw. fest ist.

Lösung

Eigene Lösung.

 
©  W. Fendt 2003
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
1 Simulation einer stehenden Welle

Stehende Wellen unterscheiden sich von fortschreitenden Wellen dadurch, dass sich die Teilchen jederzeit im gleichen oder im entgegengesetzten Schwingungszustand befinden. Erklären lässt sich eine stehende Welle durch Überlagerung einer einlaufenden Welle mit der zugehörigen reflektierten Welle. Dabei sind zwei Fälle zu unterscheiden:

Bei Reflexion am festen Ende erfolgt am Ort der Reflexion ein Phasensprung um \(\pi \). Der Schwingungszustand der reflektierten Welle ist dort also entgegengesetzt zum Schwingungszustand der einlaufenden Welle, sodass die gesamte Elongation (Auslenkung) an dieser Stelle immer gleich 0 ist (Schwingungsknoten).

Bei Reflexion am losen Ende entfällt der Phasensprung. Deshalb schwingen die Teilchen an der Stelle der Reflexion mit besonders großer Amplitude hin und her (Schwingungsbauch).

In dieser Simulation werden die einfallende Welle (grün), die reflektierte Welle (violett) und die durch Überlagerung entstandene stehende Welle (rot) dargestellt. Die Schaltfläche erlaubt zunächst die Auswahl zwischen Reflexion am festen Ende und Reflexion am losen Ende. Gestartet wird mit dem Schaltknopf "Start"; eine Unterbrechung der Simulation mit anschließender Fortsetzung ist jederzeit möglich, ebenso eine Zeitlupendarstellung. Mit dem Schaltknopf "Zurück" lässt sich der Anfangszustand wiederherstellen. In den Optionsfeldern weiter unten kann man zwischen einer gleichmäßigen Animation und einer Einzelschritt-Darstellung wählen, wobei auch der zeitliche Abstand der Einzelschritte einstellbar ist. In den Optionsfeldern ganz unten kann man festlegen, welche Wellen sichtbar sein sollen.

Es kann gut erkannt werden, dass der Abstand zweier benachbarter Knoten der stehenden Welle gleich der halben Wellenlänge der ursprünglichen, fortschreitenden Welle ist. Dieser Zusammenhang wird sehr häufig zur Messung der Wellenlänge verwendet.

Wir danken Herrn Walter Fendt für die Erlaubnis, diese HTML5/Javascript-Animation auf LEIFIphysik zu nutzen.