1 Gleichzeitige Projektion einer Kreisbewegung und der Schwingung eines Federpendels
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Versuchsaufbau:
Ein an einer Feder hängender Tischtennisball wird so mit Bleischrot gefüllt, dass seine Schwingungsdauer mit der Umlaufdauer des Hundertstelsekundenzeiger der großen Stoppuhr übereinstimmt.
Auf den Zeiger wird auch ein Tischtennisball geklebt. Beide Tischtennisbälle werden mit dem Licht des Tageslichtprojektors im Schattenwurf an die Wand projeziert.
Statt der Uhr kann man auch einen Getriebemotor mit einem Winkel verwenden.

Durchführung:
Man stellt die Nulllage des Federpendels auf Höhe der Achse ein, lenkt es soweit aus, dass seine Amplitude mit dem Radius des Zeigers übereinstimmt und läßt es synchron mit dem Schatten des rotierenden Tischtennisball los.

Leite aus dem Vergleich von Kreisbewegung und Federschwingung den Term der Schwingungsfunktion her.

Versuchsaufbau:

  • Man hängt an eine Schraubenfeder einen Faden und ein Gewicht. Den Faden führt man mit etwas Spannung (deshalb die Schräglage der Feder) über das Rädchen des Bewegungsaufnehmers.
  • Dieser gibt die Bewegungsdaten über das Interface "CASSY" an den Computer, wo man den zeitlichen Verlauf von Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung darstellen kann.
  • Etwa 5 bis 10 cm unterhalb des in Ruhelage befindlichen Gewichtsstücks bringt man einen Haltemagneten, der das Gewichtsstück in der Anfangslage festhält und der beim Programmstart das Gewichtsstück frei gibt.
  • Nach Start des Programms "BMW" kann man den zeitlichen Verlauf der Schwingung am Bildschirm darstellen.
Dies sind die gemessenen Orts- und Geschwindigkeitskurven über einen Zeitraum von 14 Sekunden.

 

Dieselbe Orts- und Geschwindigkeitskurve über einen Zeitraum von 1,4 Sekunden.

Bestimme aus den Versuchdaten auf zwei verschiedene Arten die Federhärte \(D\) der verwendeten Feder, wenn die Masse \(50\rm{g}\) war.

Schülerversuch zur Frequenzabhängigkeit
nach einer Idee und mit Bildern von Stefan Wentzel Bochum

Aufbau:
Es sollen Federpendel, Radpendel und Fadenpendel aufgebaut werden. An ihnen soll die Abhängigkeit der Frequenz von möglichen Einflussgrößen bestimmt werden.
Dies erfolgt am besten in Gruppenarbeit. Die unten dargestellten Fotos zeigen, wie man beim Aufbau vorgehen kann.

Federpendel
Radpendel
Fadenpendel

An der Radfelge wird ein Gewichtsstück fest angebracht.

Aufhängung erfolgt an Büroklammer, die oben in den Türrahmen eingehakt wurde, der Winkel derauslenkung wird mit Geodreieeck bestimmt.

Durchführung:
1. Schreibt die Größen auf, die die Frequenz eures Pendels prinzipiell beeinflussen können.
2. Diskutiert, welche dieser Größen vermutlich keinen Einfluss haben und begründet jeweils und überprüft es im Zweifelsfall experimentell.
3. Überlegt, wie ihr die Amplitude messen wollt. Berücksichtigt dabei, dass die Messungen genau werden sollen.
4. Die Zeitmessungen sollen jeweils beim Durchgang durch die Ruhelage stoppen und starten. Dafür müsst ihr euch die Ruhelage verlässlich markieren.
5. Die Periodendauer bestimmt ihr, in dem ihr die Zeit für mehrere Perioden (z.B. 5) messt und diese Zeit durch die Anzahl der Perioden teilt.
6. Bestimmt die Periodendauer und die Frequenz bei jeweils mindestens 5 verschiedenen Amplituden. Beginnt mit der größtmöglichen sinnvollen Amplitude.
7. Fasst die Ergebnisse in einer Tabelle zusammen.

Ergebnisse:
1. Diskutiert eure Ergebnisse in der Gruppe und legt das Ergebnis schriftlich nieder
2. Das Ergebnis eurer Gruppe wird von einem der Gruppe (Losverfahren) vorgetragen.

 
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1 Aufbau und Durchführung des Versuchs zur Untersuchung der Bewegung eines Federpendels mit Hilfe eines Smartphones und der App phyphox

Notwendiges Vorwissen

Um dieses Experiment zum Federpendel verstehen zu können solltest du ...

  • ... wissen, was man unter einer Periodischen Bewegung, der Periodendauer (oder kurz Periode) \(T\) und der Frequenz \(f\) versteht.
  • ... die Federkonstante (Federhärte) \(D\) einer Feder bestimmen können.

Hinweis: Informationen hierzu findest du über die Linkliste am Ende des Artikels.

Benötigte Materialien

  • Smartphone oder Tablet mit der App phyphox
  • eine oder mehrere Federn oder Gummibänder
  • stabiles Klebeband (Panzerband)
  • eine transparente Plastiktüte (Gefrierbeutel) als Halterung und Schutz für das Smartphone
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Aufbau und Durchführung

In dem folgenden Video stellt dir Sebastian vom phyphox-Team die wichtigsten Schritte zum Aufbau und zur Durchführung des Experiments vor. Dabei sind für dieses Experiment zum Federpendel nur die ersten 3 Minuten des Videos wichtig.

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Aufnahme der Messwerte mit phyphox

Dein Federpendel führt eine periodische Bewegung durch. Das bedeutet unter anderem, dass der Pendelkörper nach gleichlangen Zeitabschnitten (der Periodendauer \(T\)) immer wieder die gleiche Beschleunigung besitzt. Dies nutzt phyphox für das Experiment "Federpendel".

Der Beschleunigungssensor deines Smartphones misst ständig die Beschleunigung in drei Bewegungsrichtungen. Diese Beschleunigungswerte liest phyphox kontinuierlich aus (und stellt sie graphisch im Reiter "ROHDATEN" dar). Aus diesen Daten bestimmt phyphox die Zeitspanne, nach der immer wieder gleiche Beschleunigungswerte auftreten. Eine graphische Darstellung der Ergebnisse findest du im Reiter "AUTOKORRELATION". Diese Zeitspanne ist die Periodendauer \(T\), phyphox gibt diesen Wert und auch den der Frequenz \(f\) im Reiter "ERGEBNISSE" aus.

Hilfen zur Durchführung

Die Masse \(m\) des Pendelkörpers ist die Masse deines Smartphones. Du kannst sie verändern, indem du z.B. zusätzliche Massen an der Aufhängung befestigst oder aber ein anderes Smartphone mit einer anderen Masse benutzt. Wichtig ist, jeweils die Masse \(m\) mit einer Waage zu messen.

Die Federkonstante \(D\) kannst du auf verschiedene Arten verändern: Entweder du hast verschiedene Federn zur Auswahl, oder aber du hängst zwei oder mehr gleiche Federn hinter- oder nebeneinander. Wichtig ist, jeweils die Federkonstante \(D\) deiner Anordnung zu bestimmen. Einen Link dazu findest Du am Ende des Artikels. Solltest du keine Feder zur Hand haben, kannst du zur Not statt einer Feder auch ein oder besser mehrere Gummibänder benutzen.

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Aufgabe

a)Abhängigkeit von der Anfangsauslenkung \(y_0\)

Halte die Masse \(m\) und die Federkonstante \(D\) konstant und verändere die Anfangsauslenkung \(y_0\). Beobachte jeweils die Periodendauer \(T\) und formuliere deine Beobachtungen.

Halte die verschiedenen Werte von \(y_0\) und \(T\) in einer Tabelle fest und trage anschließend die Messwerte in einem \(y_0\)-\(T\)-Diagramm auf.

Lösung

Die Periodendauer \(T\) ist unabhängig von der Anfangsauslenkung \(y_0\).

Für \(m=0{,}100\rm{kg}\) und \(D = 3{,}00\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}\) erhält man möglicherweise folgende Messwerte und das nebenstehende Diagramm.

\(y_0\;{\rm{in}}\;{\rm{m}}\) \(0{,}10\) \(0{,}20\) \(0{,}30\) \(0{,}40\) \(0{,}50\)
\(T\;{\rm{in}}\;\rm{s}\) \(1{,}15\) \(1{,}15\) \(1{,}15\) \(1{,}15\) \(1{,}15\)

b)Abhängigkeit von der Masse \(m\)

Halte die Anfangsauslenkung \(y_0\) und die Federkonstante \(D\) konstant und verändere die Masse \(m\). Beobachte jeweils die Periodendauer \(T\) und formuliere deine Beobachtungen in Form eines "Je ..., desto ..."-Satzes.

Halte die verschiedenen Werte von \(m\) und \(T\) in einer Tabelle fest und trage anschließend die Messwerte in einem \(m\)-\(T\)-Diagramm auf.

Lösung

Je größer die Masse \(m\), desto größer die Periodendauer \(T\).

Für \(D = 3{,}00\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}\) erhält man möglicherweise folgende Messwerte und das nebenstehende Diagramm.

\(m\;{\rm{in}}\;{\rm{kg}}\) \(0{,}10\) \(0{,}15\) \(0{,}20\) \(0{,}25\) \(0{,}30\)
\(T\;{\rm{in}}\;\rm{s}\) \(1{,}15\) \(1{,}40\) \(1{,}62\) \(1{,}81\) \(1{,}99\)

c)Abhängigkeit von der Federkonstanten \(D\)

Halte die Anfangsauslenkung \(y_0\) und die Masse \(m\) konstant und verändere die Federkonstante \(D\). Beobachte jeweils die Periodendauer \(T\) und formuliere deine Beobachtungen in Form eines "Je ..., desto ..."-Satzes.

Halte die verschiedenen Werte von \(D\) und \(T\) in einer Tabelle fest und trage anschließend die Messwerte in einem \(D\)-\(T\)-Diagramm auf.

Lösung

Je größer die Federkonstante (Federhärte) \(D\), desto kleiner die Periodendauer \(T\).

Für \(m = 0{,}100\rm{kg}\) erhält man möglicherweise folgende Messwerte und das nebenstehende Diagramm.

\(D\;{\rm{in}}\;{\rm{\frac{N}{m}}}\) \(1{,}00\) \(2{,}00\) \(3{,}00\) \(4{,}00\) \(5{,}00\)
\(T\;{\rm{in}}\;\rm{s}\) \(1{,}99\) \(1{,}41\) \(1{,}15\) \(0{,}99\) \(0{,}89\)
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Über phyphox

Die App phyphox wird von der RWTH Aachen entwickelt und steht allen Interessierten kostenlos zur Verfügung. phyphox ermöglicht es dir, mit den Sensoren deines Smartphones zu experimentieren, Messwerte aufzunehmen und auszuwerten. 

Hier geht es zur Website des Projektes / phyphox für iOS / phyphox für Android

HTML5-Canvas nicht unterstützt!
1 Aufbau und Durchführung des Versuchs zur Untersuchung der Bewegung eines Federpendels mit Hilfe eines Smartphones und der App phyphox

Notwendiges Vorwissen

Um dieses Experiment zum Federpendel verstehen zu können solltest du ...

  • ... den Zusammenhang \(T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt {\frac{m}{D}} \) zwischen der Schwingungsdauer \(T\), der Masse \(m\) des Pendelkörpers und der Federkonstanten \(D\) eines Federpendels kennen.
  • ... die Federkonstante (Federhärte) \(D\) einer Feder bestimmen können.
  • ... Wertetabellen bzw. Graphen zu Funktionen mit \(y = \sqrt x \) und \(y = \frac{1}{{\sqrt x }}\) linearisieren können.

Hinweis: Informationen hierzu findest du über die Linkliste am Ende des Artikels.

Benötigte Materialien

  • Smartphone oder Tablet mit der App phyphox
  • eine oder mehrere Federn oder Gummibänder
  • stabiles Klebeband (Panzerband)
  • eine transparente Plastiktüte (Gefrierbeutel) als Halterung und Schutz für das Smartphone
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Aufbau und Durchführung

In dem folgenden Video stellt dir Sebastian vom phyphox-Team die wichtigsten Schritte zum Aufbau und zur Durchführung des Experiments vor. Dabei sind für dieses Experiment zum Federpendel nur die ersten 3 Minuten des Videos wichtig.

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Aufnahme der Messwerte mit phyphox

Dein Federpendel führt eine periodische Bewegung durch. Das bedeutet unter anderem, dass der Pendelkörper nach gleichlangen Zeitabschnitten (der Periodendauer \(T\)) immer wieder die gleiche Beschleunigung besitzt. Dies nutzt phyphox für das Experiment "Federpendel".

Der Beschleunigungssensor deines Smartphones misst ständig die Beschleunigung in drei Bewegungsrichtungen. Diese Beschleunigungswerte liest phyphox kontinuierlich aus (und stellt sie graphisch im Reiter "ROHDATEN" dar). Aus diesen Daten bestimmt phyphox die Zeitspanne, nach der immer wieder gleiche Beschleunigungswerte auftreten. Eine graphische Darstellung der Ergebnisse findest du im Reiter "AUTOKORRELATION". Diese Zeitspanne ist die Periodendauer \(T\), phyphox gibt diesen Wert und auch den der Frequenz \(f\) im Reiter "ERGEBNISSE" aus.

Hilfen zur Durchführung

Die Masse \(m\) des Pendelkörpers ist die Masse deines Smartphones. Du kannst sie verändern, indem du z.B. zusätzliche Massen an der Aufhängung befestigst oder aber ein anderes Smartphone mit einer anderen Masse benutzt. Wichtig ist, jeweils die Masse \(m\) mit einer Waage zu messen.

Die Federkonstante \(D\) kannst du auf verschiedene Arten verändern: Entweder du hast verschiedene Federn zur Auswahl, oder aber du hängst zwei oder mehr gleiche Federn hinter- oder nebeneinander. Wichtig ist, jeweils die Federkonstante \(D\) deiner Anordnung zu bestimmen. Solltest du keine Feder zur Hand haben, kannst du zur Not statt einer Feder auch ein oder besser mehrere Gummibänder benutzen.

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Aufgabe

a)Bestätigung des Zusammenhangs \(T \sim \sqrt m \)

Halte die Federkonstante \(D\) konstant und verändere die Masse \(m\). Halte die verschiedenen Werte von \(m\) und \(T\) in einer Tabelle fest und trage anschließend die Messwerte in einem \(m\)-\(T\)-Diagramm auf.

Linearisiere das \(m\)-\(T\)-Diagramm und bestätige mit diesem linearisierten Diagramm den Zusammenhang \(T \sim \sqrt m \).

Lösung

Für \(D = 3{,}00\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}\) erhält man möglicherweise folgende Messwerte und das nebenstehende Diagramm.

\(m\;{\rm{in}}\;{\rm{kg}}\) \(0{,}10\) \(0{,}15\) \(0{,}20\) \(0{,}25\) \(0{,}30\)
\(T\;{\rm{in}}\;\rm{s}\) \(1{,}15\) \(1{,}40\) \(1{,}62\) \(1{,}81\) \(1{,}99\)
 

Der Graph lässt sich entsprechend dem Zusammenhang \(T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt {\frac{m}{D}} = 2 \cdot \pi \cdot \frac{1}{{\sqrt D }} \cdot \sqrt m \sim \sqrt m \) linearisieren, indem man auf der horizontalen Achse statt der Größe \(m\) die Größe \(\sqrt m \) aufträgt. Man erhält so folgende Wertetabelle und das nebenstehende Diagramm.

\(m\;{\rm{in}}\;{\rm{kg}}\) \(0{,}10\) \(0{,}15\) \(0{,}20\) \(0{,}25\) \(0{,}30\)
\(\sqrt {m/{\rm{kg}}} \) \(0{,}32\) \(0{,}39\) \(0{,}45\) \(0{,}50\) \(0{,}55\)
\(T\;{\rm{in}}\;\rm{s}\) \(1{,}15\) \(1{,}40\) \(1{,}62\) \(1{,}81\) \(1{,}99\)
 

Die Wertepaare liegen mit einem Korrelationskoeffizienten nahe \(1\) auf einer Geraden; damit ist der Zusammenhang \(T \sim \sqrt m \) mit großer Genauigkeit experimentell bestätigt.

b)Bestätigung des Zusammenhangs \(T \sim \frac{1}{{\sqrt D }}\)

Halte die Masse \(m\) konstant und verändere die Federkonstante \(D\). Halte die verschiedenen Werte von \(D\) und \(T\) in einer Tabelle fest und trage anschließend die Messwerte in einem \(D\)-\(T\)-Diagramm auf.

Linearisiere das \(D\)-\(T\)-Diagramm und bestätige mit diesem linearisierten Diagramm den Zusammenhang \(T \sim \frac{1}{{\sqrt D }}\).

Lösung

Für \(m = 0{,}100\rm{kg}\) erhält man möglicherweise folgende Messwerte und das nebenstehende Diagramm.

\(D\;{\rm{in}}\;{\rm{\frac{N}{m}}}\) \(1{,}00\) \(2{,}00\) \(3{,}00\) \(4{,}00\) \(5{,}00\)
\(T\;{\rm{in}}\;\rm{s}\) \(1{,}99\) \(1{,}41\) \(1{,}15\) \(0{,}99\) \(0{,}89\)
 

Der Graph lässt sich entsprechend dem Zusammenhang \(T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt {\frac{m}{D}} = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt m \cdot \frac{1}{{\sqrt D }} \sim \frac{1}{{\sqrt D }}\) linearisieren, indem man auf der horizontalen Achse statt der Größe \(D\) die Größe \(\frac{1}{{\sqrt D }}\) aufträgt. Man erhält so folgende Wertetabelle und das nebenstehende Diagramm.

\(D\;{\rm{in}}\;{\rm{\frac{N}{m}}}\) \(1{,}00\) \(2{,}00\) \(3{,}00\) \(4{,}00\) \(5{,}00\)
\(\frac{1}{{\sqrt {D/\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}} }}\) \(1{,}00\) \(0{,}71\) \(0{,}58\) \(0{,}50\) \(0{,}45\)
\(T\;{\rm{in}}\;\rm{s}\) \(1{,}99\) \(1{,}41\) \(1{,}15\) \(0{,}99\) \(0{,}89\)
 

Die Wertepaare liegen mit einem Korrelationskoeffizienten nahe \(1\) auf einer Geraden; damit ist der Zusammenhang \(T \sim \frac{1}{{\sqrt D }}\) mit großer Genauigkeit experimentell bestätigt.

c)Bestätigung des konstanten Faktors \(2 \cdot \pi \)

Erstelle mit Hilfe aller aufgenommenen Messwerte eine \(\sqrt {\frac{m}{D}} \)-\(T\)-Tabelle sowie ein \(\sqrt {\frac{m}{D}} \)-\(T\)-Diagramm.

Bestätige mit diesem Diagramm den konstanten Faktor \(2 \cdot \pi \) im Zusammenhang \(T = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{m}{D}} \).

Lösung

Mit allen Messwerten aus den Teilaufgaben a) und b) erhält man möglicherweise folgende Wertetabelle und das nebenstehende Diagramm.

\(m\;{\rm{in}}\;{\rm{kg}}\) \(0{,}10\) \(0{,}15\) \(0{,}20\) \(0{,}25\) \(0{,}30\) \(0{,}10\) \(0{,}10\) \(0{,}10\) \(0{,}10\)
\(D\;{\rm{in}}\;{\rm{\frac{N}{m}}}\) \(3{,}00\) \(3{,}00\) \(3{,}00\) \(3{,}00\) \(3{,}00\) \(1{,}00\) \(2{,}00\) \(4{,}00\) \(5{,}00\)
\(\sqrt {\frac{m}{D}/\frac{{{\rm{kg}} \cdot {\rm{m}}}}{{\rm{N}}}} \) \(0{,}18\) \(0{,}22\) \(0{,}26\) \(0{,}29\) \(0{,}32\) \(0{,}32\) \(0{,}22\) \(0{,}16\) \(0{,}14\)
\(T\;{\rm{in}}\;\rm{s}\) \(1{,}15\) \(1{,}40\) \(1{,}62\) \(1{,}81\) \(1{,}99\) \(1{,}99\) \(1{,}41\) \(0{,}99\) \(0{,}89\)
 

Die Wertepaare liegen mit einem Korrelationskoeffizienten nahe \(1\) auf einer Geraden mit dem Steigungsfaktor \(k = 6{,}28 \approx 2 \cdot \pi \); damit ist der konstante Faktor \(2 \cdot \pi \) und schließlich der Zusammenhang \(T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt {\frac{m}{D}} \) mit großer Genauigkeit experimentell bestätigt.

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Über phyphox

Die App phyphox wird von der RWTH Aachen entwickelt und steht allen Interessierten kostenlos zur Verfügung. Phyphox ermöglicht es dir, mit den Sensoren deines Smartphones zu experimentieren, Messwerte aufzunehmen und auszuwerten. 

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Federkonstante:N/m
Masse:kg
Fallbeschleunigung:m/s²
Amplitude:m
©  W. Fendt 1998
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
1 Simulation eines Federpendels

Diese Simulation demonstriert, wie sich bei der Schwingung eines Federpendels Elongation, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft und Energie zeitlich ändern.

Der Schaltknopf "Zurück" bringt den Pendelkörper in die Ausgangsposition. Mit dem anderen Schaltknopf kann man die Simulation starten, unterbrechen und wieder fortsetzen. Wählt man die Option "Zeitlupe", so erfolgt die Bewegung verlangsamt, und zwar um den Faktor 10. Die Federkonstante, die Masse des Pendelkörpers, die Fallbeschleunigung und die Amplitude der Schwingung lassen sich mithilfe der Eingabefelder in gewissen Grenzen variieren ("Enter"-Taste nicht vergessen!). Durch einen Mausklick auf einen der fünf Radiobuttons legt man fest, welche der oben genannten Größen betrachtet werden soll.

Bemerkung: Die Reibung wird vernachlässigt.

Wir danken Herrn Walter Fendt für die Erlaubnis, diese HTML5/Javascript-Animation auf LEIFIphysik zu nutzen.

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Untersuche, wie sich die einzelnen Größen ändern, wenn man die Federkonstante verdoppelt bzw. halbiert.

Untersuche, wie sich die einzelnen Größen ändern, wenn man die Masse verdoppelt bzw. halbiert.

Untersuche, wie sich die einzelnen Größen ändern, wenn man die Fallbeschleunigung verdoppelt bzw. halbiert.

Untersuche, wie sich die einzelnen Größen ändern, wenn man die Amplitude verdoppelt bzw. halbiert.

HTML5-Canvas nicht unterstützt!
1 Aufbau und Durchführung des Versuchs zur Untersuchung der Bewegung eines Federpendels mit Hilfe eines Smartphones und der App phyphox

Notwendiges Vorwissen

Um dieses Experiment zum Federpendel verstehen zu können solltest du ...

  • ... wissen, was man unter einer Periodischen Bewegung, der Periodendauer (oder kurz Periode) \(T\) und der Frequenz \(f\) versteht.
  • ... die Federkonstante (Federhärte) \(D\) einer Feder bestimmen können.
  • ... Messwerte doppelt-logarithmisch auftragen und die entstehenden Graphen auswerten können.

Hinweis: Informationen hierzu findest du über die Linkliste am Ende des Artikels.

Benötigte Materialien

  • Smartphone oder Tablet mit der App phyphox
  • eine oder mehrere Federn oder Gummibänder
  • stabiles Klebeband (Panzerband)
  • eine transparente Plastiktüte (Gefrierbeutel) als Halterung und Schutz für das Smartphone
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Aufbau und Durchführung

In dem folgenden Video stellt dir Sebastian vom phyphox-Team die wichtigsten Schritte zum Aufbau und zur Durchführung des Experiments vor. Dabei sind für dieses Experiment zum Federpendel nur die ersten 3 Minuten des Videos wichtig.

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Aufnahme der Messwerte mit phyphox

Dein Federpendel führt eine periodische Bewegung durch. Das bedeutet unter anderem, dass der Pendelkörper nach gleichlangen Zeitabschnitten (der Periodendauer \(T\)) immer wieder die gleiche Beschleunigung besitzt. Dies nutzt phyphox für das Experiment "Federpendel".

Der Beschleunigungssensor deines Smartphones misst ständig die Beschleunigung in drei Bewegungsrichtungen. Diese Beschleunigungswerte liest phyphox kontinuierlich aus (und stellt sie graphisch im Reiter "ROHDATEN" dar). Aus diesen Daten bestimmt phyphox die Zeitspanne, nach der immer wieder gleiche Beschleunigungswerte auftreten. Eine graphische Darstellung der Ergebnisse findest du im Reiter "AUTOKORRELATION". Diese Zeitspanne ist die Periodendauer \(T\), phyphox gibt diesen Wert und auch den der Frequenz \(f\) im Reiter "ERGEBNISSE" aus.

Hilfen zur Durchführung

Die Masse \(m\) des Pendelkörpers ist die Masse deines Smartphones. Du kannst sie verändern, indem du z.B. zusätzliche Massen an der Aufhängung befestigst oder aber ein anderes Smartphone mit einer anderen Masse benutzt. Wichtig ist, jeweils die Masse \(m\) mit einer Waage zu messen.

Die Federkonstante \(D\) kannst du auf verschiedene Arten verändern: Entweder du hast verschiedene Federn zur Auswahl, oder aber du hängst zwei oder mehr gleiche Federn hinter- oder nebeneinander. Wichtig ist, jeweils die Federkonstante \(D\) deiner Anordnung zu bestimmen. Solltest du keine Feder zur Hand haben, kannst du zur Not statt einer Feder auch ein oder besser mehrere Gummibänder benutzen.

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Aufgabe

Abhängigkeit von der Masse \(m\)

Halte die Federkonstante \(D\) konstant und verändere die Masse \(m\).

Halte die verschiedenen Werte von \(m\) und \(T\) in einer Tabelle fest und trage anschließend die Messwerte in einem \(m\)-\(T\)-Diagramm auf.

Wir wollen nun annehmen, dass die Wertepaare auf dem Graphen einer Potenzfunktion liegen. Trage die Werte von \(m\) und \(T\) doppelt logarithmisch auf, bestimme den Exponenten dieser Potenzfunktion und gib den Zusammenhang zwischen \(T\) und \(m\) an.

Lösung

Für \(D = 3,00\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}\) erhält man möglicherweise folgende Messwerte und das nebenstehende Diagramm.

\(m\;{\rm{in}}\;{\rm{kg}}\) \(0{,}10\) \(0{,}15\) \(0{,}20\) \(0{,}25\) \(0{,}30\)
\(T\;{\rm{in}}\;\rm{s}\) \(1{,}15\) \(1{,}40\) \(1{,}62\) \(1{,}81\) \(1{,}99\)
 

Die Wertepaare könnten auf dem Graphen einer Funktion mit \(T \sim {m^\alpha}\) und \(0 < \alpha < 1\) liegen. Unter dieser Annahme kann man den Exponenten \(\alpha \) bestimmen, indem man die Messwerte doppelt logarithmisch aufträgt und die Steigung der entstehenden Geraden bestimmt. Man erhält so folgende Wertetabelle und das nebenstehende Diagramm.

\(\ln \left( {m/{\rm{kg}}} \right)\) \(-2{,}30\) \(-1{,}90\) \(-1{,}61\) \(-1{,}39\) \(-1{,}20\)
\(\ln \left( {T/{\rm{s}}} \right)\) \(0{,}14\) \(0{,}34\) \(0{,}48\) \(0{,}60\) \(0{,}69\)
 

Die Wertepaare liegen mit einem Korrelationskoeffizienten nahe \(1\) auf einer Geraden mit der Steigung \(\alpha=0{,}50\); der Zusammenhang zwischen \(T\) und \(m\) ist damit mit großer Genauigkeit \(T \sim {m^{\frac{1}{2}}}\) bzw. \(T \sim \sqrt m \).

Abhängigkeit von der Federkonstanten \(D\)

Halte die Anfangsauslenkung \(y_0\) und die Masse \(m\) konstant und verändere die Federkonstante \(D\).

Halte die verschiedenen Werte von \(D\) und \(T\) in einer Tabelle fest und trage anschließend die Messwerte in einem \(D\)-\(T\)-Diagramm auf.

Wir wollen nun annehmen, dass die Wertepaare auf dem Graphen einer Potenzfunktion liegen. Trage die Werte von \(D\) und \(T\) doppelt logarithmisch auf, bestimme den Exponenten dieser Potenzfunktion und gib den Zusammenhang zwischen \(T\) und \(D\) an.

Lösung

Für \(m = 0,100\rm{kg}\) erhält man möglicherweise folgende Messwerte und das nebenstehende Diagramm.

\(D\;{\rm{in}}\;{\rm{\frac{N}{m}}}\) \(1{,}00\) \(2{,}00\) \(3{,}00\) \(4{,}00\) \(5{,}00\)
\(T\;{\rm{in}}\;\rm{s}\) \(1{,}99\) \(1{,}41\) \(1{,}15\) \(0{,}99\) \(0{,}89\)
 

Die Wertepaare könnten auf dem Graphen einer Funktion mit \(T \sim {m^\alpha}\) und \(\alpha < 0\) liegen. Unter dieser Annahme kann man den Exponenten \(\alpha \) bestimmen, indem man die Messwerte doppelt logarithmisch aufträgt und die Steigung der entstehenden Geraden bestimmt. Man erhält so folgende Wertetabelle und das nebenstehende Diagramm.

\(\ln \left( {D/{\rm{\frac{N}{m}}}} \right)\) \(0{,}00\) \(0{,}69\) \(1{,}10\) \(1{,}39\) \(1{,}61\)
\(\ln \left( {T/{\rm{s}}} \right)\) \(0{,}69\) \(0{,}34\) \(0{,}14\) \(-0{,}01\) \(-0{,}12\)
 

Die Wertepaare liegen mit einem Korrelationskoeffizienten nahe \(1\) auf einer Geraden mit der Steigung \(\alpha=-0{,}50\); der Zusammenhang zwischen \(D\) und \(m\) ist damit mit großer Genauigkeit \(T \sim {D^{-\frac{1}{2}}}\) bzw. \(T \sim \frac{1}{\sqrt D} \).

Bestimmung des konstanten Faktors

Erstelle mit Hilfe aller aufgenommenen Messwerte eine \(\sqrt {\frac{m}{D}} \)-\(T\)-Tabelle sowie ein \(\sqrt {\frac{m}{D}} \)-\(T\)-Diagramm.

Bestimme mit diesem Diagramm den konstanten Faktor im Zusammenhang zwischen \(T\), \(m\) und \(D\).

Lösung

Mit allen Messwerten aus den ersten beiden Teilaufgaben erhält man möglicherweise folgende Wertetabelle und das nebenstehende Diagramm.

\(m\;{\rm{in}}\;{\rm{kg}}\) \(0{,}10\) \(0{,}15\) \(0{,}20\) \(0{,}25\) \(0{,}30\) \(0{,}10\) \(0{,}10\) \(0{,}10\) \(0{,}10\)
\(D\;{\rm{in}}\;{\rm{\frac{N}{m}}}\) \(3{,}00\) \(3{,}00\) \(3{,}00\) \(3{,}00\) \(3{,}00\) \(1{,}00\) \(2{,}00\) \(4{,}00\) \(5{,}00\)
\(\sqrt {\frac{m}{D}/\frac{{{\rm{kg}} \cdot {\rm{m}}}}{{\rm{N}}}} \) \(0{,}18\) \(0{,}22\) \(0{,}26\) \(0{,}29\) \(0{,}32\) \(0{,}32\) \(0{,}22\) \(0{,}16\) \(0{,}14\)
\(T\;{\rm{in}}\;\rm{s}\) \(1{,}15\) \(1{,}40\) \(1{,}62\) \(1{,}81\) \(1{,}99\) \(1{,}99\) \(1{,}41\) \(0{,}99\) \(0{,}89\)
 

Die Wertepaare liegen mit einem Korrelationskoeffizienten nahe \(1\) auf einer Geraden mit dem Steigungsfaktor \(k = 6{,}28 \approx 2 \cdot \pi \); damit beträgt der konstante Faktor \(2 \cdot \pi \) und der gesuchte Zusammenhang lautet \(T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt {\frac{m}{D}} \).

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Über phyphox

Die App phyphox wird von der RWTH Aachen entwickelt und steht allen Interessierten kostenlos zur Verfügung. Phyphox ermöglicht es dir, mit den Sensoren deines Smartphones zu experimentieren, Messwerte aufzunehmen und auszuwerten. 

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Aufbau:
Ein rechteckiger Pendelkörper wird bifilar (an zwei Fäden) aufgehängt. Im Nulldurchgang wird eine Lichtschranke angebracht und an die Torsteuerung mit angkoppeltem Zähler angeschlossen. Der Uhrenstart beginnt mit dem 1. Impuls (Hell-Dunkel-Übergang), der Uhrenstop erfolgt mit dem 10. Impuls (Hell-Dunkel-Übergang). Dadurch wird genau die Zeit von fünf Schwingungen gemessen.
Durchführung:
Man bestimmt die Abhängigkeit der Schwingungsdauer von
a) der Masse des Pendelkörpers, dazu verwendet man gleiche Eisen- und einen Alukörper.
b) der größe der Auslenkung

Ergebnisse:
Bei einer Pendellänge von l = 68 cm

 
Zeit für 5 Vollschwingungen in s
 
Geringe Auslenkung
große Auslenkung
Eisenkörper (schwer)
8,33
8,42
Alukörper (leicht)
8,29
8,43


Erkenntnisse:
1. Die Schwingungsdauer ist von der Masse unabhängig.
2. Die Schwingungsdauer T nimmt bei großer Auslenkung etwas zu.
3. Für kleine Auslenkungen stimmen die Werte gut mit dem theoretischen Wert \(T = 2\pi  \cdot \sqrt {\frac{l}{g}} \) überein.

1 Spiele mit einem oder zwei Pendeln und erforsche, wie die Periode eines einfachen Pendels von der Länge der Schnur, der Masse des Pendels und der Amplitude abhängt.
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1 Aufbau und Durchführung des Versuchs zur Untersuchung der Bewegung eines Fadenpendels mit Hilfe eines Smartphones und der App phyphox

Notwendiges Vorwissen

Um dieses Experiment zum Fadenpendel verstehen zu können solltest du wissen ...

  • ... was man unter einer Periodischen Bewegung, der Periodendauer (oder kurz Periode) \(T\) und der Frequenz \(f\) versteht.

Hinweis: Informationen hierzu findest du über die Linkliste am Ende des Artikels.

Benötigte Materialien

  • Smartphone oder Tablet mit der App phyphox
  • zwei ca. \(3\rm{m}\) lange stabile Fäden
  • stabiles Klebeband (Panzerband) oder Gummiband
  • ein Stück Papprolle (z.B. von einer Toilettenpapierrolle) als Halterung für das Smartphone
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Aufbau und Durchführung

In dem folgenden Video stellt dir Sebastian vom phyphox-Team die wichtigsten Schritte zum Aufbau und zur Durchführung des Experiments vor. Dabei sind für dieses Experiment zum Fadenpendel besonders die Informationen ab Minute 2:00 des Videos wichtig.

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Aufnahme der Messwerte mit phyphox

Dein Fadenpendel führt eine periodische Bewegung durch. Das bedeutet unter anderem, dass der Pendelkörper nach gleichlangen Zeitabschnitten (der Periodendauer \(T\)) immer wieder die gleiche Winkelgeschwindigkeit besitzt. Dies nutzt phyphox für das Experiment "Fadenpendel".

Das sogenannte Gyroskop deines Smartphones misst ständig die Winkelgeschwindigkeit in drei Bewegungsrichtungen. Diese Werte liest phyphox kontinuierlich aus (und stellt sie graphisch im Reiter "ROHDATEN" dar). Aus diesen Daten bestimmt phyphox die Zeitspanne, nach der immer wieder gleiche Werte auftreten. Eine graphische Darstellung der Ergebnisse findest du im Reiter "AUTOKORRELATION". Diese Zeitspanne ist die Periodendauer \(T\), phyphox gibt diesen Wert und auch den der Frequenz \(f\) im Reiter "LÄNGE" aus.

Hilfen zur Durchführung

Fadenpendel bewegen sich nur dann "harmonisch" (wir werden diesen Begriff später genauer erklären), wenn die Anfangsauslenkung \(x_0\) nicht zu groß ist. Dies ist für Anfangswinkel kleiner als \(20^\circ \) der Fall. Bei einem Pendel mit der Fadenlänge \(l = 1{,}00{\rm{m}}\) darf die Anfangsauslenkung ungefähr \({x_0} = 0{,}30{\rm{m}}\) betragen, für kleinere Fadenlängen entsprechend weniger.

Die Masse \(m\) ist die Masse deines Smartphones. Du kannst sie verändern, indem du z.B. zusätzliche Massen an der Aufhängung befestigst oder aber ein anderes Smartphone mit einer anderen Masse benutzt. Wichtig ist, jeweils die Masse \(m\) mit einer Waage zu messen.

Wichtig ist auch, jeweils die Fadenlänge \(l\) deiner Anordnung zu bestimmen. Diese Fadenlänge \(l\) ist der Abstand des oberen Drehpunktes zur Mitte der Aufhängung deines Smartphones. Die wirklichen Fäden sind ein kleines Stück länger. Miss also am besten mit einem Maßband den genauen Abstand.

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Aufgabe

a)Abhängigkeit von der Anfangsauslenkung \(x_0\)

Halte die Masse \(m\) und die Fadenlänge \(l\) konstant und verändere die Anfangsauslenkung \(x_0\) (in den oben genannten Grenzen). Beobachte jeweils die Periodendauer \(T\) und formuliere deine Beobachtungen.

Halte die verschiedenen Werte von \(x_0\) und \(T\) in einer Tabelle fest und trage die Messwerte in einem \(x_0\)-\(T\)-Diagramm auf.

Lösung

Die Periodendauer \(T\) ist unabhängig von der Anfangsauslenkung \(x_0\).

Für \(m=0,100\rm{kg}\) und \(l = 1,00\rm{m}\) erhält man möglicherweise folgende Messwerte und das nebenstehende Diagramm.

\(x_0\;{\rm{in}}\;{\rm{m}}\) \(0{,}05\) \(0{,}10\) \(0{,}15\) \(0{,}20\) \(0{,}25\)
\(T\;{\rm{in}}\;\rm{s}\) \(2{,}01\) \(2{,}01\) \(2{,}01\) \(2{,}01\) \(2{,}01\)

b)Abhängigkeit von der Masse \(m\)

Halte die Anfangsauslenkung \(x_0\) und die Fadenlänge \(l\) konstant und verändere die Masse \(m\). Beobachte jeweils die Periodendauer \(T\) und formuliere deine Beobachtungen.

Halte die verschiedenen Werte von \(m\) und \(T\) in einer Tabelle fest und trage anschließend die Messwerte in einem \(m\)-\(T\)-Diagramm auf.

Lösung

Die Periodendauer \(T\) ist unabhängig von der Masse \(m\).

Für \(l = 1,00\rm{m}\) erhält man möglicherweise folgende Messwerte und das nebenstehende Diagramm.

\(m\;{\rm{in}}\;{\rm{kg}}\) \(0{,}10\) \(0{,}15\) \(0{,}20\) \(0{,}25\) \(0{,}30\)
\(T\;{\rm{in}}\;\rm{s}\) \(2{,}01\) \(2{,}01\) \(2{,}01\) \(2{,}01\) \(2{,}01\)

c)Abhängigkeit von der Fadenlänge \(l\)

Halte die Anfangsauslenkung \(x_0\) und die Masse \(m\) konstant und verändere die Fadenlänge \(l\). Beobachte jeweils die Periodendauer \(T\) und formuliere deine Beobachtungen in Form eines "Je ..., desto ..."-Satzes.

Halte die verschiedenen Werte von \(l\) und \(T\) in einer Tabelle fest und trage anschließend die Messwerte in einem \(l\)-\(T\)-Diagramm auf.

Lösung

Je größer die Fadenlänge \(l\), desto größer die Periodendauer \(T\).

Man erhält möglicherweise folgende Messwerte und das nebenstehende Diagramm.

\(l\;{\rm{in}}\;\rm{m}\) \(0{,}20\) \(0{,}40\) \(0{,}60\) \(0{,}80\) \(1{,}00\)
\(T\;{\rm{in}}\;\rm{s}\) \(0{,}90\) \(1{,}27\) \(1{,}55\) \(1{,}79\) \(2{,}01\)
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Über phyphox

Die App phyphox wird von der RWTH Aachen entwickelt und steht allen Interessierten kostenlos zur Verfügung. phyphox ermöglicht es dir, mit den Sensoren deines Smartphones zu experimentieren, Messwerte aufzunehmen und auszuwerten. 

Hier geht es zur Website des Projektes / phyphox für iOS / phyphox für Android

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1 Aufbau und Durchführung des Versuchs zur Untersuchung der Bewegung eines Fadenpendels mit Hilfe eines Smartphones und der App phyphox

Notwendiges Vorwissen

Um dieses Experiment zum Fadenpendel verstehen zu können solltest du ...

  • ... den Zusammenhang \(T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt {\frac{l}{g}} \) zwischen der Schwingungsdauer \(T\), der Fadenlänge \(l\) und dem Ortsfaktor \(g\) kennen.
  • ... Wertetabellen bzw. Graphen zu Funktionen mit \(y = \sqrt x \) linearisieren können.

Hinweis: Informationen hierzu findest du über die Linkliste am Ende des Artikels.

Benötigte Materialien

  • Smartphone oder Tablet mit der App phyphox
  • zwei ca. \(3\rm{m}\) lange stabile Fäden
  • stabiles Klebeband (Panzerband) oder Gummiband
  • ein Stück Papprolle (z.B. von einer Toilettenpapierrolle) als Halterung für das Smartphone
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Aufbau und Durchführung

In dem folgenden Video stellt dir Sebastian vom phyphox-Team die wichtigsten Schritte zum Aufbau und zur Durchführung des Experiments vor. Dabei sind für dieses Experiment zum Fadenpendel besonders die Informationen ab Minute 2:00 des Videos wichtig.

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Aufnahme der Messwerte mit phyphox

Dein Fadenpendel führt eine periodische Bewegung durch. Das bedeutet unter anderem, dass der Pendelkörper nach gleichlangen Zeitabschnitten (der Periodendauer \(T\)) immer wieder die gleiche Winkelgeschwindigkeit besitzt. Dies nutzt phyphox für das Experiment "Fadenpendel".

Das sogenannte Gyroskop deines Smartphones misst ständig die Winkelgeschwindigkeit in drei Bewegungsrichtungen. Diese Werte liest phyphox kontinuierlich aus (und stellt sie graphisch im Reiter "ROHDATEN" dar). Aus diesen Daten bestimmt phyphox die Zeitspanne, nach der immer wieder gleiche Werte auftreten. Eine graphische Darstellung der Ergebnisse findest du im Reiter "AUTOKORRELATION". Diese Zeitspanne ist die Periodendauer \(T\), phyphox gibt diesen Wert und auch den der Frequenz \(f\) im Reiter "LÄNGE" aus.

Hilfen zur Durchführung

Fadenpendel bewegen sich nur dann "harmonisch" (wir werden diesen Begriff später genauer erklären), wenn die Anfangsauslenkung \(x_0\) nicht zu groß ist. Dies ist für Anfangswinkel kleiner als \(20^\circ \) der Fall. Bei einem Pendel mit der Fadenlänge \(l = 1{,}00{\rm{m}}\) darf die Anfangsauslenkung ungefähr \({x_0} = 0{,}30{\rm{m}}\) betragen, für kleinere Fadenlängen entsprechend weniger.

Wichtig ist auch, jeweils die Fadenlänge \(l\) deiner Anordnung zu bestimmen. Diese Fadenlänge \(l\) ist der Abstand des oberen Drehpunktes zur Mitte der Aufhängung deines Smartphones. Die wirklichen Fäden sind ein kleines Stück länger. Miss also am besten mit einem Maßband den genauen Abstand.

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Aufgabe

a)Bestätigung des Zusammenhangs \(T \sim \sqrt l \)

Halte die Anfangsauslenkung \(y_0\) jeweils im erlaubten Bereich und verändere die Fadenlänge \(l\). Halte die verschiedenen Werte von \(l\) und \(T\) in einer Tabelle fest und trage anschließend die Messwerte in einem \(l\)-\(T\)-Diagramm auf.

Linearisiere das \(l\)-\(T\)-Diagramm und bestätige mit diesem linearisierten Diagramm den Zusammenhang \(T \sim \sqrt l \).

Lösung

Man erhält möglicherweise folgende Messwerte und das nebenstehende Diagramm.

\(l\;{\rm{in}}\;\rm{m}\) \(0{,}20\) \(0{,}40\) \(0{,}60\) \(0{,}80\) \(1{,}00\)
\(T\;{\rm{in}}\;\rm{s}\) \(0{,}90\) \(1{,}27\) \(1{,}55\) \(1{,}79\) \(2{,}01\)
 

Der Graph lässt sich entsprechend dem Zusammenhang \(T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt {\frac{l}{g}} = 2 \cdot \pi \cdot \frac{1}{{\sqrt g }} \cdot \sqrt l \sim \sqrt l \) linearisieren, indem man auf der horizontalen Achse statt der Größe \(l\) die Größe \(\sqrt l \) aufträgt. Man erhält so folgende Wertetabelle und das nebenstehende Diagramm.

\(l\;{\rm{in}}\;\rm{m}\) \(0{,}20\) \(0{,}40\) \(0{,}60\) \(0{,}80\) \(1{,}00\)
\(\sqrt {l/\rm{m}}\) \(0{,}45\) \(0{,}63\) \(0{,}77\) \(0{,}89\) \(1{,}00\)
\(T\;{\rm{in}}\;\rm{s}\) \(0{,}90\) \(1{,}27\) \(1{,}55\) \(1{,}79\) \(2{,}01\)
 

Die Wertepaare liegen mit einem Korrelationskoeffizienten nahe \(1\) auf einer Geraden; damit ist der Zusammenhang \(T \sim \sqrt l \) mit großer Genauigkeit experimentell bestätigt.

b)Heuristische Bestätigung des Zusammenhangs \(T \sim \frac {1}{\sqrt g} \)

In der Praxis können wir den Ortsfaktor \(g\) nicht verändern und deshalb den Zusammenhang \(T \sim \frac {1}{\sqrt g} \) auch nicht durch Veränderung von \(g\) experimentell überprüfen. Wenn wollen aber annehmen, dass die Schwingungsdauer \(T\) nur von der Fadenlänge \(l\) und dem Ortsfaktor \(g\) abhängt.

Bestätige durch eine Einheitenrechnung, dass der Zusammenhang \(T \sim \sqrt {\frac {l}{g} }\) möglich ist.

Lösung

Mit \(\left[ T \right] = 1{\rm{s}}\), \(\left[ l \right] = 1{\rm{m}}\) und \(\left[ g \right] = 1\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} = 1\frac{{{\rm{kg}} \cdot {\rm{m}}}}{{{{\rm{s}}^2} \cdot {\rm{kg}}}} = 1\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}}\) ergibt sich\[\left[ {\sqrt {\frac{l}{g}} } \right] = \sqrt {\frac{{1{\rm{m}}}}{{1\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}}}}} = \sqrt {\frac{{1{\rm{m}} \cdot {{\rm{s}}^2}}}{{1{\rm{m}}}}} = \sqrt {1{{\rm{s}}^2}} = 1{\rm{s}} = \left[ T \right]\]

c)Bestätigung des konstanten Faktors \(2 \cdot \pi \)

Erstelle mit Hilfe aller aufgenommenen Messwerte eine \(\sqrt {\frac{l}{g}} \)-\(T\)-Tabelle sowie ein \(\sqrt {\frac{l}{g}} \)-\(T\)-Diagramm.

Bestätige mit diesem Diagramm den konstanten Faktor \(2 \cdot \pi \) im Zusammenhang \(T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt {\frac{l}{g}} \).

Lösung

Mit allen Messwerten aus Teilaufgabe a) und dem Wert \(g = 9{,}81\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}}\) erhält man möglicherweise folgende Wertetabelle und das nebenstehende Diagramm.

\(l\;{\rm{in}}\;{\rm{m}}\) \(0{,}20\) \(0{,}40\) \(0{,}60\) \(0{,}80\) \(1{,}00\)
\(g\;{\rm{in}}\;{\rm{\frac{N}{kg}}}\) \(9{,}81\) \(9{,}81\) \(9{,}81\) \(9{,}81\) \(9{,}81\)
\(\sqrt {\frac{l}{g}/\frac{{{\rm{m}} \cdot {\rm{kg}}}}{{\rm{N}}}} \) \(0{,}14\) \(0{,}20\) \(0{,}25\) \(0{,}29\) \(0{,}32\)
\(T\;{\rm{in}}\;\rm{s}\) \(0{,}90\) \(1{,}27\) \(1{,}55\) \(1{,}79\) \(2{,}01\)
 

Die Wertepaare liegen mit einem Korrelationskoeffizienten nahe \(1\) auf einer Geraden mit dem Steigungsfaktor \(k = 6{,}28 \approx 2 \cdot \pi \); damit ist der konstante Faktor \(2 \cdot \pi \) und schließlich der Zusammenhang \(T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt {\frac{l}{g}} \) mit großer Genauigkeit experimentell bestätigt.

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Über phyphox

Die App phyphox wird von der RWTH Aachen entwickelt und steht allen Interessierten kostenlos zur Verfügung. Phyphox ermöglicht es dir, mit den Sensoren deines Smartphones zu experimentieren, Messwerte aufzunehmen und auszuwerten. 

Hier geht es zur Website des Projektes / phyphox für iOS / phyphox für Android

HTML5-Canvas nicht unterstützt!
1 Aufbau und Durchführung des Versuchs zur Untersuchung der Bewegung eines Fadenpendels mit Hilfe eines Smartphones und der App phyphox

Notwendiges Vorwissen

Um dieses Experiment zum Fadenpendel verstehen zu können solltest du ...

  • ... wissen, was man unter einer Periodischen Bewegung, der Periodendauer (oder kurz Periode) \(T\) und der Frequenz \(f\) versteht.
  • ... Messwerte doppellogarithmisch auftragen und die entstehenden Graphen auswerten können.

Hinweis: Informationen hierzu findest du über die Linkliste am Ende des Artikels.

Benötigte Materialien

  • Smartphone oder Tablet mit der App phyphox
  • zwei ca. \(3\rm{m}\) lange stabile Fäden
  • stabiles Klebeband (Panzerband) oder Gummiband
  • ein Stück Papprolle (z.B. von einer Toilettenpapierrolle) als Halterung für das Smartphone
,

Aufbau und Durchführung

In dem folgenden Video stellt dir Sebastian vom phyphox-Team die wichtigsten Schritte zum Aufbau und zur Durchführung des Experiments vor. Dabei sind für dieses Experiment zum Fadenpendel besonders die Informationen ab Minute 2:00 des Videos wichtig.

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Aufnahme der Messwerte mit phyphox

Dein Fadenpendel führt eine periodische Bewegung durch. Das bedeutet unter anderem, dass der Pendelkörper nach gleichlangen Zeitabschnitten (der Periodendauer \(T\)) immer wieder die gleiche Winkelgeschwindigkeit besitzt. Dies nutzt phyphox für das Experiment "Fadenpendel".

Das sogenannte Gyroskop deines Smartphones misst ständig die Winkelgeschwindigkeit in drei Bewegungsrichtungen. Diese Werte liest phyphox kontinuierlich aus (und stellt sie graphisch im Reiter "ROHDATEN" dar). Aus diesen Daten bestimmt phyphox die Zeitspanne, nach der immer wieder gleiche Werte auftreten. Eine graphische Darstellung der Ergebnisse findest du im Reiter "AUTOKORRELATION". Diese Zeitspanne ist die Periodendauer \(T\), phyphox gibt diesen Wert und auch den der Frequenz \(f\) im Reiter "LÄNGE" aus.

Hilfen zur Durchführung

Fadenpendel bewegen sich nur dann "harmonisch" (wir werden diesen Begriff später genauer erklären), wenn die Anfangsauslenkung \(x_0\) nicht zu groß ist. Dies ist für Anfangswinkel kleiner als \(20^\circ \) der Fall. Bei einem Pendel mit der Fadenlänge \(l = 1{,}00{\rm{m}}\) darf die Anfangsauslenkung ungefähr \({x_0} = 0{,}30{\rm{m}}\) betragen, für kleinere Fadenlängen entsprechend weniger.

Wichtig ist auch, jeweils die Fadenlänge \(l\) deiner Anordnung zu bestimmen. Diese Fadenlänge \(l\) ist der Abstand des oberen Drehpunktes zur Mitte der Aufhängung deines Smartphones. Die wirklichen Fäden sind ein kleines Stück länger. Miss also am besten mit einem Maßband den genauen Abstand.

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Aufgabe

Abhängigkeit von der Fadenlänge \(l\)

Halte die Anfangsauslenkung \(y_0\) jeweils im erlaubten Bereich und verändere die Fadenlänge \(l\). Halte die verschiedenen Werte von \(l\) und \(T\) in einer Tabelle fest und trage anschließend die Messwerte in einem \(l\)-\(T\)-Diagramm auf.

Wir wollen nun annehmen, dass die Wertepaare auf dem Graphen einer Potenzfunktion liegen. Trage die Werte von \(l\) und \(T\) doppelt logarithmisch auf, bestimme den Exponenten dieser Potenzfunktion und gib den Zusammenhang zwischen \(T\) und \(l\) an.

Lösung

Man erhält möglicherweise folgende Messwerte und das nebenstehende Diagramm.

\(l\;{\rm{in}}\;\rm{m}\) \(0{,}20\) \(0{,}40\) \(0{,}60\) \(0{,}80\) \(1{,}00\)
\(T\;{\rm{in}}\;\rm{s}\) \(0{,}90\) \(1{,}27\) \(1{,}55\) \(1{,}79\) \(2{,}01\)
 

Die Wertepaare könnten auf dem Graphen einer Funktion mit \(T \sim {l^\alpha}\) und \(0 < \alpha < 1\) liegen. Unter dieser Annahme kann man den Exponenten \(\alpha \) bestimmen, indem man die Messwerte doppelt logarithmisch aufträgt und die Steigung der entstehenden Geraden bestimmt. Man erhält so folgende Wertetabelle und das nebenstehende Diagramm.

\(\ln \left( {l/{\rm{m}}} \right)\) \(-1{,}61\) \(-0{,}92\) \(-0{,}51\) \(-0{,}22\) \(0{,}00\)
\(\ln \left( {T/{\rm{s}}} \right)\) \(-0{,}11\) \(0{,}24\) \(0{,}44\) \(0{,}58\) \(0{,}70\)
 

Die Wertepaare liegen mit einem Korrelationskoeffizienten nahe \(1\) auf einer Geraden mit der Steigung \(\alpha=0{,}50\); der Zusammenhang zwischen \(T\) und \(l\) ist damit mit großer Genauigkeit \(T \sim {l^{\frac{1}{2}}}\) bzw. \(T \sim \sqrt l \).

Abhängigkeit vom Ortsfaktor \(g\)

In der Praxis können wir den Ortsfaktor \(g\) nicht verändern und deshalb den Zusammenhang \(T \sim \frac {1}{\sqrt g} \) auch nicht durch Veränderung von \(g\) experimentell entwickeln. Wir wollen aber annehmen, dass die Schwingungsdauer \(T\) nur von der Fadenlänge \(l\) und dem Ortsfaktor \(g\) abhängt.

Bestätige durch eine Einheitenrechnung, dass der Zusammenhang \(T \sim {g^{ - \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt g }}\) möglich ist.

Lösung

Mit \(\left[ T \right] = 1{\rm{s}}\), \(\left[ l \right] = 1{\rm{m}}\), \(\left[ g \right] = 1\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} = 1\frac{{{\rm{kg}} \cdot {\rm{m}}}}{{{{\rm{s}}^2} \cdot {\rm{kg}}}} = 1\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}}\) und dem bekannten Zusammenhang \(T \sim \sqrt l \) ergibt sich\[\left[ {\sqrt l  \cdot \frac{1}{{\sqrt g }}} \right] = \sqrt {1{\rm{m}}}  \cdot \frac{1}{{\sqrt {1\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}}} }} = \frac{{\sqrt {1{\rm{m}}} }}{{\sqrt {1\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}}} }} = \sqrt {\frac{{1{\rm{m}}}}{{1\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}}}}}  = \sqrt {\frac{{1{\rm{m}} \cdot {{\rm{s}}^2}}}{{1{\rm{m}}}}}  = \sqrt {1{{\rm{s}}^2}}  = 1{\rm{s}} = \left[ T \right]\]

Bestimmung des konstanten Faktors

Erstelle mit Hilfe aller aufgenommenen Messwerte eine \(\sqrt {\frac{l}{g}} \)-\(T\)-Tabelle sowie ein \(\sqrt {\frac{l}{g}} \)-\(T\)-Diagramm.

Bestimme mit diesem Diagramm den konstanten Faktor im Zusammenhang zwischen \(T\), \(l\) und \(g\).

Lösung

Mit allen Messwerten aus Teilaufgabe a) und dem Wert \(g = 9{,}81\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}}\) erhält man möglicherweise folgende Wertetabelle und das nebenstehende Diagramm.

\(l\;{\rm{in}}\;{\rm{m}}\) \(0{,}20\) \(0{,}40\) \(0{,}60\) \(0{,}80\) \(1{,}00\)
\(g\;{\rm{in}}\;{\rm{\frac{N}{kg}}}\) \(9{,}81\) \(9{,}81\) \(9{,}81\) \(9{,}81\) \(9{,}81\)
\(\sqrt {\frac{l}{g}/\frac{{{\rm{m}} \cdot {\rm{kg}}}}{{\rm{N}}}} \) \(0{,}14\) \(0{,}20\) \(0{,}25\) \(0{,}29\) \(0{,}32\)
\(T\;{\rm{in}}\;\rm{s}\) \(0{,}90\) \(1{,}27\) \(1{,}55\) \(1{,}79\) \(2{,}01\)
 

Die Wertepaare liegen mit einem Korrelationskoeffizienten nahe \(1\) auf einer Geraden mit dem Steigungsfaktor \(k = 6{,}28 \approx 2 \cdot \pi \); damit beträgt der konstante Faktor \(2 \cdot \pi \) und der gesuchte Zusammenhang lautet \(T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt {\frac{l}{g}} \).

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Über phyphox

Die App phyphox wird von der RWTH Aachen entwickelt und steht allen Interessierten kostenlos zur Verfügung. Phyphox ermöglicht es dir, mit den Sensoren deines Smartphones zu experimentieren, Messwerte aufzunehmen und auszuwerten. 

Hier geht es zur Website des Projektes / phyphox für iOS / phyphox für Android

Pendellänge:m
Fallbeschleunigung:m/s²
Masse:kg
Amplitude:°
©  W. Fendt 1998
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1 Simulation eines Fadenpendels

Diese Simulation demonstriert, wie sich bei der Schwingung eines Fadenpendels Elongation, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft und Energie zeitlich ändern.

Der Schaltknopf "Zurück" bringt den Pendelkörper in die Ausgangsposition. Mit dem anderen Schaltknopf kann man die Simulation starten, unterbrechen und wieder fortsetzen. Wählt man die Option "Zeitlupe", so erfolgt die Bewegung verlangsamt, und zwar um den Faktor 10. Die Pendellänge, die Fallbeschleunigung, die Masse des Pendelkörpers und die Amplitude der Schwingung (Auslenkungswinkel in Grad) lassen sich mithilfe der Eingabefelder in gewissen Grenzen variieren ("Enter"-Taste nicht vergessen!). Durch einen Mausklick auf einen der fünf Radiobuttons legt man fest, welche der oben genannten Größen betrachtet werden soll.

Bemerkung: Die Reibung wird vernachlässigt, ebenso die Abhängigkeit der Schwingungsdauer von der Amplitude.

Wir danken Herrn Walter Fendt für die Erlaubnis, diese HTML5/Javascript-Animation auf LEIFIphysik zu nutzen.

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Untersuche, wie sich die einzelnen Größen ändern, wenn man die Pendellänge verdoppelt bzw. halbiert.

Untersuche, wie sich die einzelnen Größen ändern, wenn man die Fallbeschleunigung verdoppelt bzw. halbiert.

Untersuche, wie sich die einzelnen Größen ändern, wenn man die Masse verdoppelt bzw. halbiert.

Untersuche, wie sich die einzelnen Größen ändern, wenn man die Amplitude verdoppelt bzw. halbiert.

Fadenpendel  

Versuchsziel
Untersuche, von welchen Größen die Periodendauer T (Zeit für das vollständige Hin- und Herschwingen) eines Fadenpendels abhängt.

Versuchsdurchführung:

  • Stelle ein geeignetes Fadenpendel her:
    • Pendelkörper schwer im Vergleich zum Faden;
    • Luftreibung des Pendelkörpers nicht zu hoch;
    • Wohldefinierter Aufhängepunkt des Pendels;

      Vorschlag:

      Leihe dir von der Mutter eine Garnrolle aus. Klebe an den Faden mit Tesa oder Leukoplast ein oder mehrere 50-Cent- oder 2-€-Stücke. Klemme den Faden in die meist vorhandene Kerbe am Rand der Garnrolle, um einen definierten Drehpunkt für das Pendel zu erhalten.
  • Probiere nun für verschiedene Pendel, wovon die Periodendauer des Pendels abhängt bzw. nicht abhängt.
  • Zur Feststellung der Periodendauer T ist es sinnvoll z.B. 10 oder 20 Vollschwingungen zu messen und daraus T zu berechnen (warum?).

Versuchsergebnis (qualitativ):
Formuliere die von Dir beobachtete Abhängigkeit der Schwingungsdauer in Form einer Je-Desto-Beziehungen und gib an, von welchen Größen die Schwingungsdauer unabhängig ist.

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Versuchsergebnis (quantitativ):
Untersuche die gefundene Abhängigkeit genauer. Erstelle dazu über mehrere Experimente eine Wertetabelle aus Werten der voneinander abhängigen Größen und fertige aus der Tabelle ein Diagramm!

Achte dabei auf die Einheiten!

         
         

Messung der rücktreibenden Kraft beim Fadenpendel  mit dem Smartphone

Dr. Michael Plomer bietet auf seiner Internetseite Materialien und Hinweise an, mit denen es möglich ist, im Schülerexperiment mit Hilfe eines Smartphones "die rücktreibende Kraft als Ursache der Pendelbewegung sowie deren Proportionalität innerhalb eines gewissen Bereichs als Kriterium für die Beschreibung als harmonische Schwingung zu begreifen. Dieser Ansatz basiert auf der eigentlichen Definition der harmonischen Schwingung, welche aufgrund von messtechnischen Schwierigkeiten für das Fadenpendel oft vernachlässigt und nur die Periodendauer im Experiment untersucht wird. Die Messung der rücktreibenden Kraft erfolgt dabei über die entsprechende Beschleunigung, welche mit einem Smartphone gemessen wird. Moderne Geräte besitzen Beschleunigungssensoren, deren Messdaten über verschiedene Programme als 3D Beschleunigungsvektoren ausgelesen werden können."

zu den Materialien

Wasserpendel

Material:
Joghurtbecher, Bindfäden, 2 Latten, Badewanne, Zeitung, Bohrer oder heißer Nagel

Versuchsziel:
Untersuchung des zeitlichen Verlaufs einer Pendelschwingung.

Versuchsvorbereitung:

1. Nimm einen Plastikjogurtbecher und bohre mit einem Bohrer oder mit einem über einer Kerzenflamme heiß gemachten dünnen Nagel oder einer Stricknadel drei Löcher hinein. Ein Loch in der Mitte des Bodens und zwei Löcher kurz unter dem oberen Rand direkt gegenüber.

2. Probiere aus, ob der Jogurtbecher, wenn er mit Wasser gefüllt wird, einen feinen kontinuierlichen Wasserstrahl von sich gibt. Ausflussloch eventuell verbessern.
3. Nimm etwas Bindfaden und zwei Latten und hänge den Jogurtbecher, wie in der Zeichnung zu sehen, in der Badewanne auf, so dass er quer zur Badewanne hin und her pendeln kann.

Versuchsdurchführung:

  • Fülle nun den Pappbecher mit Wasser und lass ihn pendeln. Lege eine alte Zeitung unter das Pendel.
Zeichne nebenstehend ein, welche Spur der Wasserstrahl auf der Zeitung hinterlässt.  
  • Trockne kurz die Badewanne aus. Fülle den Pappbecher erneut mit Wasser und lasse ihn pendeln. Nimm nun erneut eine alte Zeitung und zieh sieh langsam und gleichmäßig in Badewannenlängsrichtung unter dem pendelnden Wasserstrahl hindurch. Zeichne die Figur des Wasserstrahls, die sich auf der Zeitung ergeben hat möglichst genau ab. Was ändert sich, wenn du die Zeitung etwas schneller durchziehst?
Zeichne nebenstehend ein, welche Spur der Wasserstrahl auf der Zeitung hinterlässt.  


Versuchsergebnis (qualitativ):
Formuliere das Ergebnis deiner Beobachtungen in Worten (qualitatives Ergebnis).

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