Masse
m

Winkelgeschwindigkeit
?

Radius
r

 
Zentripetalkraft
FZP
       

Zur Bestimmung der Formel für den Betrag \({F_{{\rm{ZP}}}}\) der Zentripetalkraft bieten sich zwei Vorgehensweisen an:

Aus der bekannten Beziehung für die Zentripetalbeschleunigung \({a_{{\rm{ZP}}}} = {\omega ^2} \cdot r\) und der Forderung, dass das zweite NEWTONsche Gesetz, welches Sie bei der geradlinigen Bewegung kennengelernt haben, auch bei der Kreisbewegung Gültigkeit hat (ist diese Annahme erlaubt?), ergibt sich \({F_{{\rm{ZP}}}} = m \cdot {\omega ^2} \cdot r\). Man nennt dies die deduktive Form der Erkenntnisgewinnung.

Man prüft die Abhängigkeit der Zentripetalkraft von den vermuteten Einflussgrößen \(m\), \(\omega \) und \(r \) experimentell nach. Man nennt dies die induktive Form der Erkenntnisgewinnung.

Wir wollen hier auf diesen zweiten Weg näher eingehen und in mehreren Schritten erarbeiten.

Beschreibe anhand einer Strichskizze den Aufbau und die Funktionsweise des abgebildeten Versuchs.

Erläutere, welche Versuchsreihen durchgeführt werden müssen, damit man auf induktivem Wege die Formel für die Zentripetalkraft gewinnt.

Versuche, aus den einzelnen Messreihen Gesetzmäßigkeiten abzuleiten.

Fasse die Ergebnisse zusammen und führe die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) ein.

Berechne mit Hilfe der folgenden Messreihe, die bei \(m = 0,100{\rm{kg}}\) und \(r = 0,27{\rm{m}}\) aufgenommen wurde, Betrag und Einheit der Konstanten \(C\). Verwende das SI-System.

\(T\;{\rm{in}}\;{\rm{s}}\) 2 1,5 1,4 1,1 1,0
\({F_{{\rm{ZP}}}}\;{\rm{in}}\;{\rm{N}}\) 0,26 0,47 0,57 0,94 1,10

Versuchsbeschreibung:
Zwei nahezu kreisförmige Stahlfedern sind an zwei Drehlagern auf eine Achse aufgebarcht. Das untere Drehlager ist an der Achse festgeklemmt, das obere ist längs der Drehachse frei beweglich.
Dreht man die Anordnung mittels Experimentiermotor, so wandern die Stahlfedernwülste nach außen und das obere Drehlager nach unten, ähnlich wie bei der rotierenden Erde sich Äquatorwülste und Polabflachung ergeben.

Anmerkung:
Das Modell veranschaulicht zwar schön das Prinzip der Erdabflachung, ein der Wirklichkeit entsprechender rechnerischer Vergleich dieses Versuchs mit der Realität ist allerdings nicht möglich.
Siehe auch die Seite Erdabflachung

Die Universität von Iowa bietet zu diesem Versuch ein Video von 1,9 MB an, bei der die Anordnung rotiert.

 

Eine Aluminiumkugel wird an eine Schnur gebunden. Am anderen Ende der Schnur, die durch ein Rohr als Führung und Haltgriff verläuft ist ein Massestück von 500 g gebunden. Man läßt die Alumiumkugel durch kreisende Bewegungen mit der Hand rotieren. Die Höhe des Massestücks läßt sich mit der Drehfrequenz variieren. Die Zentralkraft hat hierbei einen konstanten Betrag, der durch die Gewichtskraft des Massestücks und die Reibungskraft vorgegeben ist.

Aufbau und Durchführung

Zwei Kugeln befinden sich in einer halbkreisförmig ausgebauten Glassrinne, die mit Hilfe eines Motors rotieren kann.

 

Beobachtung

Die Kugeln bewegen sich mit zunehmender Drehfrequenz immer weiter nach außen bzw. oben.

Bestimme die Höhe \(h\), in welche die Kugeln steigen, in Abhängigkeit von der Drehfrequenz \(\omega\) und vom Radius \(R\).

 


Versuchsbeschreibung:
Eine Kerze wird exzentrisch auf eine Drehscheibe gestellt und mittels Experimentiermotor zum Drehen gebracht. Damit die Kerze nicht vom Zugwind beeinflusst wird befindet sie sich unter einem unten offenen Plexiglasbecher der durch einen eingebrachten Drahrkäfig vor der Kerzenflamme geschützt ist.

Versuchsergebnis:
Bei der Drehung wird die sonst senkrecht nach oben brennenden Kerzenflamme zur Drehachse hin geneigt.

Erläuterung:
Auf die mitbewegten Gase wirken Schwerkraft, Auftriebskraft und (im mitbewegten System) die Zentrifugalkraft. Die Auftriebskraft wirkt entgegen der Resultierenden aus Gewichtskraft und Zentrifugalkraft. Die leichten (weil warmen) Verbrennungsgase wandern also zur Drehachse, die schwereren (weil kälteren) Umgebungsgase wandern zur achsenfernen Seite des Bechers.

Heimversuch
Stelle eine Kerze in einen großen Eimer, setze dich auf einen Drehstuhl, nimm diesen Eimer auf die Knie und beginne zu drehen. Die Flamme wird sich auf dich zu neigen.

Die Universität von Iowa bietet zu diesem Versuch ein Video von 2,3 MB an, bei der die Kerze auf dem nebenstehenden glasgeschützten und belüfteten Drehteller rotiert.
Zentrifuge zur Trennung von Stoffen


Versuchsbeschreibung:
In drei Reagenzgläser wird eine Emulsion aus fein geriebener Kreide und Wasser gebracht.
Ein Regenzglas wird hingestellt, die beiden anderen werden in die dargestellte Zentrifugenanordnung gebracht und mit dem Experimentiermotor schnell gedreht.

Versuchsergebnis:
Bei den schnell gedrehten Reagenzgläsern hat sich die Kreide und das Wasser schnell entmischt, die Kreide hat sich am Grund abgesetzt. Bei dem Reagenzglas im Standbehälter dauert die Entmischung wesentlich länger.

Erläuterung:
Auf die Wassermolküle und die Kreideteilchen wirken Schwerkraft, Auftriebskraft und (im mitbewegten System) die Zentrifugalkraft. Die Auftriebskraft wirkt entgegen der Resultierenden aus Gewichtskraft und Zentrifugalkraft. Die schwereren Kreideteilchen werden also mit größerer Kraft zum Reagenzglasboden gedrückt als ohne Fliehkraft.

Technische Anwendungen:
Zentrifugen werden zur mechanischen Trennung von Stoffen insbesondere auch zur Anreicherung von Isotopen in großem Umfang verwendet.
Siehe hierzu: Zentrifugen

 

In diesem Schlüsselanhänger von Herrn Kollegen Worg ist ein Euro. Er könnte in dem Schlitz leicht herausfallen, wenn dies nicht die Stahlkugeln, die in der halbkreisfömigen Rille laufen, verhindern würden.

Dreht man den Anhänger um \(180^\circ \) mit dem Schlitz nach oben, so rollen die Kugeln schön im Halbkreis zur Seite und geben den Schlitz frei. Versucht man nun den Euro durch Beschleunigen des Anhängers nach unten herauszubekommen, so sind die Kugeln schneller und versperren den Ausgang.

Erläutere, wie du trotzdem an den Euro kommen kannst.

Aufbau und Durchführung

Ein teilweise mit gefärbtem Wasser gefüllter vasenförmiger Glasbehälter wird auf die Drehachse eines Experimentiermotors gestellt und zur Rotation gebracht. Die Wasseroberfläche wird beobachtet.

 

Beobachtung

Die Oberfläche hat die Form eines Rotationsparaboloids.

Rechts das Bild einer Versuchsanordnung der University of Iowa, bei der ein flaches Wasserbecken langsam gedreht wird, so dass man schön den parabelförmigen Querschnitt erkennt.

Leite die Gleichung der Schnittparabel in Abhängigkeit von der Drehfrequenz \(\omega\) her.

  
 
  
  
  
©  W. Fendt 1999
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
1 Simulation eines Kettenkarussells

Wenn auf einen bewegten Körper keine Kraft ausgeübt wird, so bleiben bei diesem nach dem Trägheitssatz Geschwindigkeitsbetrag und Bewegungsrichtung unverändert. Anders verhält es sich bei einer Drehbewegung: In diesem Fall muss eine zur Drehachse hin gerichtete Kraft vorhanden sein, die sogenannte Zentripetalkraft. Das vereinfachte Modell eines Kettenkarussells soll diese Kraft demonstrieren.

Wählt man auf der Schaltfläche rechts oben das zweite der vier Optionsfelder, so werden bei jedem der acht Pendelkörper Vektorpfeile für die auftretenden Kräfte gezeichnet: Die Gewichtskräfte sind schwarz dargestellt, die von den Fäden ausgeübten Kräfte blau. Als Gesamtkraft ergibt sich jeweils durch Vektoraddition die nach innen gerichtete rot dargestellte Zentripetalkraft.

Alternativ zur Simulation des Kettenkarussells (mit und ohne die auftretenden Kräfte) zeigt die Simulation auf Wunsch auch eine einfache zweidimensionale Skizze der auftretenden Kräfte oder gibt wichtige Zahlenwerte an.

Um die Kraftpfeile besser zu erkennen, kann man die Drehbewegung mit dem Button "Pause / Weiter" unterbrechen oder durch Wahl der Option "Zeitlupe" um den Faktor 10 verlangsamen. Mit Hilfe der Textfelder lassen sich die Parameter in gewissen Grenzen verändern ("Enter"-Taste nicht vergessen!).

Bemerkung: Die Simulation setzt eine Drehbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit voraus; die Vorgänge beim Beschleunigen bzw. Abbremsen des Karussells werden also nicht berücksichtigt. Ebenso wird der Luftwiderstand vernachlässigt.

Wir danken Herrn Walter Fendt für die Erlaubnis, diese HTML5/Javascript-Animation auf LEIFIphysik zu nutzen.

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Im Folgenden wird der Ansatz erläutert, der dieser Simulation zugrundeliegt.

 

Auf die am Faden hängende Masse \(m\) wirken zwei Kräfte, nämlich die Gewichtskraft (nach unten gerichtet) und die vom Faden ausgeübte Zwangskraft (schräg nach oben). Die durch Vektoraddition zu bestimmende Gesamtkraft dieser beiden Kräfte ist die nach innen zur Drehachse gerichtete Zentripetalkraft. Der Skizze entnimmt man den Ansatz (\(\alpha \): Weite des Winkels zwischen dem Faden und der Senkrechten; \(F_{\rm{r}}\): Betrag der Zentripetalkraft (Radialkraft); \({F_{\rm{G}}}\): Betrag der Gewichtskraft)\[\tan \left( \alpha  \right) = \frac{{{F_{{\rm{r}}}}}}{{{F_{\rm{G}}}}}\]Durch Einsetzen der Formeln für den Betrag der Zentripetalkraft (\(r\): Radius der Kreisbewegung; \(\omega \): Winkelgeschwindigkeit)\[{F_{\rm{r}}} = m \cdot r \cdot {\omega ^2}\]und den Betrag der Gewichtskraft (\(m\): Masse; \(g\): Fallbeschleunigung)\[{F_{\rm{G}}} = m \cdot g\]erhält man\[\tan \left( \alpha  \right) = \frac{{m \cdot r \cdot {\omega ^2}}}{{m \cdot g}} = \frac{{r \cdot {\omega ^2}}}{g}\]Berücksichtigt man außerdem (siehe Zeichnung; \({r_0}\): Abstand der Fadenaufhängung von der Drehachse; \(l\): Fadenlänge)\[r = {r_0} + l \cdot \sin \left( \alpha  \right)\]so ergibt sich die Bedingung\[\tan \left( \alpha  \right) = \frac{{m \cdot r \cdot {\omega ^2}}}{{m \cdot g}} = \frac{{\left( {{r_0} + l \cdot \sin \left( \alpha  \right)} \right) \cdot {\omega ^2}}}{g}\]Aus dieser Gleichung lässt sich durch ein Näherungsverfahren (zum Beispiel eine Intervallschachtelung) die Winkelweite \(\alpha \) bestimmen.

Radius:m
Umlaufdauer:s
Masse:kg
©  W. Fendt 2007
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
1 Simulation einer Kreisbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit

Kreisbewegungen spielen in Natur und Technik eine wichtige Rolle. So bewegen sich etwa die Planeten (näherungsweise) auf Kreisbahnen um die Sonne. Entsprechendes gilt für die Rotation des Ankers in einem Elektromotor oder für die Drehung der Kurbelwelle in einem Ottomotor.

Diese Simulation zeigt eine Kreisbewegung mitkonstanter Winkelgeschwindigkeit und stellt jeweils in einem Diagramm dar, wie sich dabei die Position, die Geschwindigkeit, die Beschleunigung oder die auf den Körper wirkende Kraft zeitlich ändert. Der Schaltknopf "Zurück" ermöglicht die Einstellung von Radius, Umlaufdauer und Masse in den zugehörigen Eingabefeldern ("Enter"-Taste nicht vergessen!). Nach Betätigung des Start-Knopfs beginnt die Simulation; durch erneute Mausklicks auf denselben Button lässt sich die Bewegung stoppen und wieder in Gang setzen. Wählt man die Option "Zeitlupe", so erfolgt die Bewegung 10-mal so langsam. In den Optionsfeldern links unten wird festgelegt, welche Größe betrachtet werden soll.

Der Radiusvektor (rot) zeigt vom Mittelpunkt der Drehbewegung (vom Ursprung des Koordinatensystems) zum Körper. Der Geschwindigkeitsvektor (grün) verläuft tangential zur Kreisbahn, also senkrecht zum Radiusvektor. Der Beschleunigungsvektor (violett) ist überraschenderweise nach innen, also zum Mittelpunkt hin gerichtet. Beschleunigung bedeutet hier nicht etwa eine Erhöhung oder Erniedrigung des Geschwindigkeitsbetrags, sondern eine Richtungsänderung. Entsprechendes gilt für die Kraft (blau), die auf den Körper einwirkt. Die Fachbegriffe Zentripetalbeschleunigung und Zentripetalkraft drücken aus, dass diese Vektoren zum Mittelpunkt der Kreisbewegung gerichtet sind.

Wir danken Herrn Walter Fendt für die Erlaubnis, diese HTML5/Javascript-Animation auf LEIFIphysik zu nutzen.

Karlheinz Meier von der Universität Heidelberg stellt leicht verständliche Videos zum Physikunterricht zur Verfügung. In anderthalb Minuten wird gut fassbar in das Prinzip einer technischen Erfindung eingeführt oder ein physikalisches Phänomen vorgestellt.

In diesem Video stellt Karlheinz Meier die Fliehkraft als eine Folge der Trägheit von Massen vor. Aber zum Schluss bleiben doch Zweifel an der Richtung der Fliehkraft bestehen.

zum Video