Die Demonstration der Beschleunigung und Ablenkung von Elektronen im Elektrischen Feld, der Versuch mit der sogenannten Elektronenstrahlablenkröhre ist einer der zentralen Versuche in der Oberstufe. Wir stellen hier den Aufbau des Realexperimentes vor, bieten eine Simulation an und führen anhand gezielter Aufgabenstellungen durch die Auswertung des Versuches.

 

,

Durchführung

Regele zuerst die an der Glühkathode K anliegende Heizspannung \(U_{\rm{H}}\) hoch, bis du deren Leuchten erkennst. Regele anschließend die zwischen Kathode K und Anode A anliegende Beschleunigungsspannung \(U_{\rm{B}}\) hoch, bis du auf dem Fluoreszenzschirm das Auftreffen des Elektronenstrahls in Form eines blauen Leuchtens siehst. Regele schließlich die an den Kondensatorplatten liegende Spannung \(U_{\rm{K}}\) hoch. Beobachte die Abhängigkeit der Querablenkung des Elektronenstrahls von der Beschleunigungs- bzw. Kondensatorspannung.

,
Heizspannung
UH
Beschleunigungsspannung
UB
Kondensatorspannung
UK
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
7 Elektronenstrahlablenkröhre
,

Beobachtung

,
Aufgabe

Stelle eine Vermutung auf, um welche Art von Bahnkurve es sich bei dem Elektronenstrahl handeln könnte.

Untersuche die Abhängigkeit der Querablenkung des Elektronenstrahls von der Beschleunigungs- bzw. Kondensatorspannung und formuliere deine Beobachtungen in Form von "je ..., desto ..."-Sätzen.

Lösung

Der Elektronenstrahl hat allem Anschein nach die Form einer Parabel.

Je größer die Beschleunigungsspannung, desto kleiner die Ablenkung des Elektronenstrahls, d.h. desto weiter ist die Parabel geöffnet.

Je größer die Kondensatorspannung, desto größer die Ablenkung des Elektronenstrahls, d.h. desto enger ist die Parabel geöffnet.

,

Auswertung

Die Idee des Versuches ist es nun

zuerst durch theoretische Überlegungen einen Term herzuleiten, der den Verlauf des Elektronenstrahls in Abhängigkeit von den im Versuch relevanten Größen beschreibt; dies sind sicherlich die Spannungen \(U_{\rm{B}}\) und \(U_{\rm{K}}\) sowie wahrscheinlich die Masse \(m_e\) sowie die Ladung \(e\) der Elektronen und

anschließend durch Ausmessen des Elektronenstrahls möglicherweise einen Wert für die Masse \(m_e\) der Elektronen zu gewinnen - die beiden Spannungen können leicht gemessen werden und die Ladung \(e\) ist ja bereits durch den MILLIKAN-Versuch bekannt.

Wie du leicht beobachten kannst treten erst dann Elektronen aus der Elektronenkanone aus, wenn die Beschleunigungsspannung \(U_{\rm{B}}\) anliegt. Sie bringt die Elektronen auf die Geschwindigkeit \(v_{\rm{x,0}}\), mit der sie dann aus der Elektronenkanone aus- und horizontal in den Kondensator eintreten. Gleichzeitig beeinflusst die Beschleunigungsspannung \(U_{\rm{B}}\) auch die Bahn der Elektronen im Innern des Kondensators. Deshalb müssen wir zuerst die Beschleunigung der Elektronen durch die Beschleunigungsspannung \(U_{\rm{B}}\) genauer untersuchen.

,
Aufgabe

Leite mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes den Term \({v_{\rm{x,0}}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot e \cdot {U_B}}}{{{m_e}}}} \) für die Geschwindigkeit \(v_{\rm{x,0}}\) der Elektronen beim Austritt aus der Elektronenkanone, d.h. nach Durchlaufen der Beschleunigungsspannung \(U_{\rm{B}}\) her.

Berechne – unter der Annahme, die Masse eines Elektrons mit \({m_e} = 9,1 \cdot {10^{ - 31}}{\rm{kg}}\) bereits zu kennen – die Geschwindigkeit der Elektronen beim Austritt aus der Elektronenkanone für \({U_{\rm{B}}} = 2,5{\rm{kV}}\) und gib diese Geschwindigkeit in Prozent der Lichtgeschwindigkeit an.

Lösung

Auf ihrem Weg von der Kathode zur Anode wird die potenzielle Energie \({E_{{\rm{pot,K}}}} = e \cdot {U_{\rm{B}}}\) der Elektronen an der Kathode in kinetische Energie \({E_{{\rm{kin,A}}}} = \frac{1}{2} \cdot {m_e} \cdot {v_{{\rm{x,0}}}}^2\) umgewandelt. Damit ergibt sich
\[{E_{{\rm{pot,K}}}} = {E_{{\rm{kin,A}}}} \Leftrightarrow e \cdot {U_{\rm{B}}} = \frac{1}{2} \cdot {m_e} \cdot {v_{{\rm{x,0}}}}^2 \Leftrightarrow {v_{{\rm{x,0}}}}^2 = \frac{{2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}}}{{{m_e}}} \Rightarrow {v_{{\rm{x,0}}}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}}}{{{m_e}}}} \]

Mit \(e = 1,602 \cdot {10^{ - 19}}{\rm{As}}\) ergibt Einsetzen der gegebenen Werte
\[{v_{{\rm{x,0}}}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot 1,602 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{A}} \cdot {\rm{s}} \cdot 2500{\rm{V}}}}{{9,1 \cdot {{10}^{ - 31}}{\rm{kg}}}}}  = 3,0 \cdot {10^7}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 10\%  \cdot 3,0 \cdot {10^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 10\%  \cdot c\]

,

Die Ablenkung der Elektronen im Innern des Kondensators geschieht nun durch die elektrische Kraft, die dort vertikal auf die Elektronen wirkt. Deshalb müssen wir weiter die Kräfte auf die Elektronen infolge der Kondensatorspannung \(U_{\rm{K}}\) untersuchen.

,
Aufgabe

Leite z.B. mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes (andere Wege sind aber auch möglich) den Term \({F_{{\rm{el}}}} = e \cdot \frac{U_{\rm{K}}}{d}\) für die elektrische Kraft auf ein Elektronen im Innern des Kondensators her.  Dabei ist \(d\) der Abstand der beiden Kondensatorplatten. Beachte hierzu, dass im Innern des Kondensators ein homogenes Elektrisches Feld herrscht.

Berechne die elektrische Kraft auf ein Elektron für \({U_{\rm{K}}} = 1,1{\rm{kV}}\) und \(d=5,4\rm{cm}\).

Vergleiche – unter der Annahme, die Masse eines Elektrons mit \({m_e} = 9,1 \cdot {10^{ - 31}}{\rm{kg}}\) bereits zu kennen – die elektrische Kraft mit der Gewichtskraft auf ein Elektron und begründe, warum die Gewichtskraft gegenüber der elektrischen Kraft in diesem Experiment vernachlässigt werden kann.

Lösung

Die an einem Elektron beim Transport von der positiv zur negativ geladenen Platte des Kondensators verrichtete Arbeit ist wegen des homogenen elektrischen Feldes einfach \({W_{{\rm{el}}}} = {F_{{\rm{el}}}} \cdot d\). Diese verrichtete Arbeit besitzt das Elektron in Form von potenzieller Energie \({E_{{\rm{pot}}}} = e \cdot {U_{\rm{K}}}\) (vgl. dazu die Definition der Spannung). Damit ergibt sich
\[{W_{{\rm{el}}}} = {E_{{\rm{pot}}}} \Leftrightarrow {F_{{\rm{el}}}} \cdot d = e \cdot {U_{\rm{K}}} \Leftrightarrow {F_{{\rm{el}}}} = e \cdot \frac{U_{\rm{K}}}{d}\]

\[{F_{{\rm{el}}}} = 1,6 \cdot {10^{ - 19}}{\rm{A}} \cdot {\rm{s}} \cdot \frac{{1100{\rm{V}}}}{{0,054{\rm{m}}}} = 3,3 \cdot {10^{ - 15}}{\rm{N}}\]

\[{F_{\rm{G}}} = {m_e} \cdot g \Rightarrow {F_{\rm{G}}} = 9,1 \cdot {10^{ - 31}}{\rm{kg}} \cdot 9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} = 8,9 \cdot {10^{ - 30}}{\rm{N}}\]
Die elektrische Kraft ist also rund \(10^{15}\) mal so groß wie die Gewichtskraft, die somit vernachlässigt werden kann.

,

Betrachten wir unsere bisherigen Ergebnisse, so fallen Parallelen zu einem Versuch aus der Mechanik auf: dem waagerechten (oder horizontalen) Wurf. Wir haben nämlich auch hier ein Objekt, das sich horizontal mit einer vorgegebenen Geschwindigkeit bewegt und dann durch eine konstante vertikale Kraft abgelenkt wird. Analog zu unserem damaligen Vorgehen können wir also nun den Term \(y(x)\) für die Bahnkurve der Elektronen herleiten.

,
Aufgabe

Stelle die Zeit-Orts-Terme \(x(t)\) und \(y(t)\) für die Bewegung eines Elektrons in \(x\)- und in \(y\)-Richtung auf, leite hieraus durch Elimination der Zeit \(t\) den Funktionsterm \(y(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{F_{el}}}}{{{m_e}}} \cdot \frac{1}{{{v_{\rm{x,0}}}^2}} \cdot {x^2}\) der Bahnkurve her und nenne den Typ dieser Bahnkurve.

Forme durch Einsetzen der Ergebnisse aus den bisherigen Aufgabenteilen in den Funktionsterm \(y(x)\) diesen in die Form \(y(x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{{{U_{\rm{K}}}}}{{{U_{\rm{B}}} \cdot d}} \cdot {x^2}\) um und begründe, warum diese Umformung sinnvoll ist.

Berechne die Ablenkung eines Elektrons auf einer horizontalen Strecke von \(10\rm{cm}\) für die Werte \({U_{\rm{B}}} = 2,5{\rm{kV}}\), \({U_{\rm{K}}} = 1,1{\rm{kV}}\) und \(d=5,4\rm{cm}\) und überprüfe dein Ergebnis mit Hilfe der Simulation.

Lösung

\[\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{x(t) = {v_{x,0}} \cdot t \Leftrightarrow t = \frac{x}{{{v_{x,0}}}}}\\{y(t) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot {t^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{F_{{\rm{el}}}}}}{{{m_e}}} \cdot {t^2}}\end{array}} \right\} \Rightarrow y(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{F_{{\rm{el}}}}}}{{{m_e}}} \cdot {\left( {\frac{x}{{{v_{x,0}}}}} \right)^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{F_{{\rm{el}}}}}}{{{m_e}}} \cdot \frac{1}{{{v_{x,0}}^2}} \cdot {x^2}\]
Es handelt sich bei der Bahnkurve der Elektronen also - wie bereits vermutet - um eine Parabel.

\[y(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{F_{{\rm{el}}}}}}{{{m_e}}} \cdot \frac{1}{{{v_{x,0}}^2}} \cdot {x^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{e \cdot \frac{{{U_{\rm{K}}}}}{d}}}{{{m_e}}} \cdot \frac{1}{{{{\sqrt {\frac{{2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}}}{{{m_e}}}} }^2}}} \cdot {x^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{e \cdot \frac{{{U_{\rm{K}}}}}{d}}}{{{m_e}}} \cdot \frac{1}{{\frac{{2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}}}{{{m_e}}}}} \cdot {x^2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{{{U_{\rm{K}}}}}{{d \cdot {U_{\rm{B}}}}} \cdot {x^2}\]
Diese Umformungen sind sinnvoll, weil in dem Term für die Bahnkurve jetzt nur noch messbare Größen auftauchen.

\[y(10{\rm{cm}}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{{1100{\rm{V}}}}{{5,4{\rm{cm}} \cdot 2500{\rm{V}}}} \cdot {\left( {10{\rm{cm}}} \right)^2} = 2,0{\rm{cm}}\]
Das berechnete Ergebnis stimmt gut mit dem aus der Simulation ersichtlichen Wert überein.

,

Zum Abschluss wollen wir noch einmal zurückblicken und sehen, welches Ziel unser Versuch ursprünglich hatte: wir wollten durch Ausmessen des Elektronenstrahls Informationen über die Masse \(m_e\) der Elektronen gewinnen.

,
Aufgabe

Begründe, warum sich durch Ausmessen des Elektronenstrahls, z.B. die experimentelle Bestimmung der Ablenkung eines Elektrons beim Austritt aus dem Kondensator die Masse \(m_e\) eines Elektrons mit dem gezeigten Versuch nicht bestimmen lässt.

Lösung

Da in dem Term \(y(x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{{{U_{\rm{K}}}}}{{d \cdot {U_{\rm{B}}}}} \cdot {x^2}\), insbesondere in dem Faktor \(\frac{1}{4} \cdot \frac{{{U_{\rm{K}}}}}{{d \cdot {U_{\rm{B}}}}}\) die Elektronenmasse \(m_e\) nicht auftritt, beeinflusst diese die Öffnung der Parabel und somit die Ablenkung der Elektronen überhaupt nicht (übrigens genau so wenig wie die Ladung \(e\) der Elektronen die Ablenkung beeinflusst). Somit kann mit diesem Versuch die Elektronenmasse \(m_e\) nicht bestimmt werden.

Die Demonstration der Beschleunigung und Ablenkung von Elektronen im Magnetischen Feld, der Versuch mit dem sogenannten Fadenstrahlrohr, ist ein weiterer zentraler Versuch in der Oberstufe. Wir stellen hier den Aufbau des Realexperimentes vor, bieten eine Simulation an und führen anhand gezielter Aufgabenstellungen durch die Auswertung des Versuches.

Aufbau

 

In einem Glasgefäß mit einer Wasserstoffatmosphäre von niedrigem Druck wird ein Elektronenstrahl erzeugt. Einzelne Elektronen des Strahls treffen auf Wasserstoffatome und regen diese zum Leuchten an. Dadurch wird der Elektronenstrahl sichtbar. Vor und hinter dem Glasgefäß befindet sich ein HELMHOLTZ-Spulenpaar (\(N=130\), \(R=15{,}0\,\rm{cm}\)), das bei Einschalten des Spulenstromes ein in die Zeichenebene (Mittelebene der HELMHOLTZ-Spulen) gerichtetes Magnetfeld erzeugt, dass in der gesamten Mittelebene weitestgehend den gleichen Betrag hat.

Durchführung

Regele zuerst die an der Glühkathode K anliegende Heizspannung \(U_{\rm{H}}\) hoch, bis du das Leuchten der Glühwendel erkennst. Regele anschließend die zwischen Kathode K und Anode A anliegende Beschleunigungsspannung \(U_{\rm{B}}\) hoch, bis du den Verlauf des Elektronenstrahls anhand des Leuchtens des Gases in der Röhre erkennen kannst. Regele schließlich den durch die HELMHOLTZ-Spulen fließenden Strom \(I_{\rm{S}}\) hoch. Beobachte die Abhängigkeit der Ablenkung des Elektronenstrahls von der Beschleunigungsspannung bzw. dem Spulenstrom.

,
Heizspannung
UH
Beschleunigungsspannung
UB
Spulenstrom
IS
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
6 Fadenstrahlrohr
,

Beobachtung

,
Aufgabe

Stelle eine Vermutung auf, um welche Art von Bahnkurve es sich bei dem Elektronenstrahl handeln könnte.

Untersuche die Abhängigkeit der Ablenkung des Elektronenstrahls von der Beschleunigungsspannung bzw. dem Spulenstrom und formuliere deine Beobachtungen in Form von "je ..., desto ..."-Sätzen.

Lösung

Der Elektronenstrahl hat allem Anschein nach die Form eines Kreises.

Je größer die Beschleunigungsspannung, desto kleiner die Ablenkung des Elektronenstrahls, d.h. desto größer ist der Kreis.

Je größer die Stromstärke, desto größer die Ablenkung des Elektronenstrahls, d.h. desto kleiner ist der Kreis.

,

Auswertung

Die Idee des Versuches ist es nun

zuerst durch theoretische Überlegungen einen Term herzuleiten, der den Verlauf des Elektronenstrahls in Abhängigkeit von den im Versuch relevanten Größen beschreibt; dies sind sicherlich die Spannung \(U_{\rm{B}}\), die Stromstärke \(I_{\rm{S}}\) sowie wahrscheinlich die Masse \(m_e\) sowie die Ladung \(e\) der Elektronen und

anschließend durch Ausmessen des Elektronenstrahls möglicherweise einen Wert für die Masse \(m_e\) der Elektronen zu gewinnen - die Spannung und die Stromstärke können leicht gemessen werden und die Ladung \(e\) ist ja bereits durch den MILLIKAN-Versuch bekannt.

Wie du leicht beobachten kannst treten erst dann Elektronen aus der Elektronenkanone aus, wenn die Beschleunigungsspannung \(U_{\rm{B}}\) anliegt. Sie bringt die Elektronen auf die Geschwindigkeit \(v_0\), mit der sie dann aus der Elektronenkanone austreten. Gleichzeitig beeinflusst die Beschleunigungsspannung \(U_{\rm{B}}\) auch die weitere Bahn der Elektronen. Deshalb müssen wir zuerst die Beschleunigung der Elektronen durch die Beschleunigungsspannung \(U_{\rm{B}}\) genauer untersuchen.

,
Aufgabe

Leite mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes den Term \(v_0 = \sqrt {\frac{{2 \cdot e \cdot {U_B}}}{{{m_e}}}} \) für die Geschwindigkeit \(v_0\) der Elektronen beim Austritt aus der Elektronenkanone, d.h. nach Durchlaufen der Beschleunigungsspannung \(U_{\rm{B}}\) her.

Berechne – unter der Annahme, die Masse eines Elektrons mit \({m_e} = 9,1 \cdot {10^{ - 31}}{\rm{kg}}\) bereits zu kennen – die Geschwindigkeit der Elektronen beim Austritt aus der Elektronenkanone für \({U_{\rm{B}}} = 200{\rm{V}}\) und gib diese Geschwindigkeit in Prozent der Lichtgeschwindigkeit an.

Lösung

Auf ihrem Weg von der Kathode zur Anode wird die potenzielle Energie \({E_{{\rm{pot,K}}}} = e \cdot {U_{\rm{B}}}\) der Elektronen an der Kathode in kinetische Energie \({E_{{\rm{kin,A}}}} = \frac{1}{2} \cdot {m_e} \cdot {v_0}^2\) umgewandelt. Damit ergibt sich\[{E_{{\rm{pot,K}}}} = {E_{{\rm{kin,A}}}} \Leftrightarrow e \cdot {U_{\rm{B}}} = \frac{1}{2} \cdot {m_e} \cdot {v_0}^2 \Leftrightarrow {v_0}^2 = \frac{{2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}}}{{{m_e}}} \Rightarrow {v_0} = \sqrt {\frac{{2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}}}{{{m_e}}}} \]

Mit \(e = 1,602 \cdot {10^{ - 19}}{\rm{As}}\) ergibt Einsetzen der gegebenen Werte\[{v_0} = \sqrt {\frac{{2 \cdot 1,602 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{A}} \cdot {\rm{s}} \cdot 200{\rm{V}}}}{{9,1 \cdot {{10}^{ - 31}}{\rm{kg}}}}}  = 8,4 \cdot {10^6}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 2,8\%  \cdot 3,0 \cdot {10^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 2,8\%  \cdot c\]

,

Die Ablenkung der Elektronen im Innern der Röhre geschieht nun durch die LORENTZ-Kraft, die dort auf die Elektronen wirkt. Wir wollen zuerst argumentieren, warum sich die Elektronen durch die LORENTZ-Kraft auf einer Kreisbahn bewegen.

,
Aufgabe

Erläutere, warum die LORENTZ-Kraft \({{\vec F}_{\rm{L}}}\) und auch die Bahn der Elektronen stets in der Mittelebene der HELMHOLTZ-Spulen liegen.

Erläutere dann, warum die LORENTZ-Kraft keine Arbeit an den Elektronen verrichtet und deshalb der Betrag \(v_0\) der Geschwindigkeit der Elektronen konstant bleibt.

Erläutere schließlich, dass der Betrag \({F_{\rm{L}}}\) der LORENTZ-Kraft konstant bleibt und sich somit die Elektronen auf einer Kreisbahn bewegen.

Lösung

Bekanntlich ist die Richtung der LORENTZ-Kraft \({{\vec F}_{\rm{L}}}\) stets senkrecht zur Richtung der Geschwindigkeit \({\vec v}\) des geladenen Teilchens und senkrecht zu den Feldlinien des Magnetfeldes \({\vec B}\) (mathematisch kurz \({{\vec F}_{\rm{L}}} = q \cdot \vec v \times \vec B\)). Da in diesem Versuch das Magnetfeld \({\vec B}\) senkrecht zur Mittelebene der HELMHOLTZ-Spulen gerichtet ist, muss die LORENTZ-Kraft \({{\vec F}_{\rm{L}}}\) parallel zu dieser Mittelebene gerichtet sein. Da nun die Elektronen mit der Geschwindigkeit \({\vec v}_0\) ebenfalls parallel zur Mittelebene eingeschossen werden, erfahren sie zu keinem Zeitpunkt eine Kraft, die sie aus dieser Mittelebene herausbewegen könnte, sie bleiben also in dieser Mittelebene.

An einem Körper kann durch eine Kraft nur dann Arbeit verrichtet werden, wenn die Kraft einen Anteil in Bewegungsrichtung des Körpers hat. Die Richtung der LORENTZ-Kraft \({{\vec F}_{\rm{L}}}\) steht aber - wie oben bereits gesagt - stets senkrecht zur Richtung der Geschwindigkeit \({\vec v}\) der geladenen Teilchen; somit verrichtet die LORENTZ-Kraft keine Arbeit an den Elektronen. Damit kann sich aber die kinetische Energie und damit der Betrag \(v_0\) der Geschwindigkeit der Elektronen nicht verändern.

Bekanntlich ist der Betrag \({F_{\rm{L}}}\) der LORENTZ-Kraft stets proportional zu den Beträgen \(v\) und \(B\) von Geschwindigkeit des geladenen Teilchens und Magnetfeld. Da nun im vorliegenden Versuch sowohl der Betrag \(v_0\) der Geschwindigkeit der Elektronen als auch der Betrag  \(B\) des (homogenen!) Magnetfelds in der Mitteleben der HELMHOLTZ-Spulen konstant bleiben, bleibt auch der Betrag \({F_{\rm{L}}}\) der LORENTZ-Kraft konstant. Damit wirkt also auf die Elektronen eine stets in einer Ebene liegende, senkrecht zu deren Bewegungsrichtung wirkende konstante Kraft; wie wir aus der Mechanik wissen, führt dies zu einer gleichförmigen Kreisbewegung der Elektronen.

,

Wie wir gesehen haben ist der Betrag \({F_{\rm{L}}}\) der LORENTZ-Kraft u.a. proportional zum Betrag \(B\) des Magnetischen Feldes. Obwohl wir die Werte der beiden Beträge im weiteren Verlauf des Versuchs gar nicht mehr explizit benötigen, ist es doch interessant und lehrreich, diese genauer zu untersuchen.

,
Aufgabe

Der Betrag \(B\) der Magnetischen Feldstärke in der Mittelebene einer HELMHOLTZ-Spule berechnet sich durch \(B = \mu _0 \cdot \frac{8}{{{{\sqrt 5 }^3}}} \cdot \frac{N}{R} \cdot I_{\rm{S}}\). Berechne den Betrag \(B\) der Magnetischen Feldstärke für \(N=130\), \(R=15,0\rm{cm}\) und \({I_{\rm{S}}} = 1,53{\rm{A}}\).

Berechne mit diesem Wert für \(B\) den Betrag \(F_{\rm{L}}\) der LORENTZ-Kraft auf ein Elektron mit der Geschwindigkeit \(v_0 = 8,4 \cdot {10^6}\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\).

Vergleiche – unter der Annahme, die Masse eines Elektrons mit \({m_e} = 9,1 \cdot {10^{ - 31}}{\rm{kg}}\) bereits zu kennen – die LORENTZ-Kraft mit der Gewichtskraft auf ein Elektron und begründe, warum die Gewichtskraft gegenüber der LORENTZ-Kraft in diesem Experiment vernachlässigt werden kann.

Lösung

\[B = {\mu _0} \cdot \frac{8}{{{{\sqrt 5 }^3}}} \cdot \frac{N}{R} \cdot {I_{\rm{S}}} \Rightarrow B = 4\pi  \cdot {10^{ - 7}}\frac{{{\rm{Vs}}}}{{{\rm{Am}}}} \cdot \frac{8}{{{{\sqrt 5 }^3}}} \cdot \frac{{130}}{{0,150{\rm{m}}}} \cdot 1,53{\rm{A}} = 1,2 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{T}}\]

\[{F_{\rm{L}}} = e \cdot {v_0} \cdot B \Rightarrow {F_{\rm{L}}} = 1,60 \cdot {10^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot 8,4 \cdot {10^6}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 1,2 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{T}} = 1,6 \cdot {10^{ - 15}}{\rm{N}}\]

\[{F_{\rm{G}}} = {m_e} \cdot g \Rightarrow {F_{\rm{G}}} = 9,1 \cdot {10^{ - 31}}{\rm{kg}} \cdot 9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} = 8,9 \cdot {10^{ - 30}}{\rm{N}}\]Die LORENTZ-Kraft ist also rund \(10^{15}\) mal so groß wie die Gewichtskraft, die somit vernachlässigt werden kann.

,

Wir haben erarbeitet, dass sich die Elektronen im Versuch auf einer Kreisbahn bewegen und dabei die LORENTZ-Kraft als Zentripetalkraft wirkt. Mit dem bis hier gewonnenen Wissen können wir nun der Radius dieser Kreisbahn bestimmen.

,
Aufgabe

Leite durch den Ansatz, dass die LORENTZ-Kraft als Zentripetalkraft der Kreisbewegung der Elektronen wirkt, den Term \(r = \frac{{{m_e} \cdot {v_0}}}{{e \cdot B}}\) her.

Setze in den Term für \(r\) die Terme für \(v_0\) und \(B\) aus den bisherigen Aufgabenteilen ein, forme dann in die Form \(r = \frac{{\sqrt 2  \cdot }}{{\sqrt {\frac{e}{{{m_e}}}}  \cdot {\mu _0} \cdot \frac{8}{{{{\sqrt 5 }^3}}} \cdot \frac{N}{R}}} \cdot \frac{{\sqrt {{U_{\rm{B}}}} }}{{{I_{\rm{S}}}}}\) um und begründe, warum diese Umformung sinnvoll ist.

Berechne – unter der Annahme, die Masse eines Elektrons mit \({m_e} = 9,1 \cdot {10^{ - 31}}{\rm{kg}}\) bereits zu kennen – den Radius \(r\) des Elektronenstrahls für die Werte \({U_{\rm{B}}} = 200{\rm{V}}\), \({I_{\rm{S}}} = 1,53{\rm{A}}\), \(N=130\) und  \(R=15,0\rm{cm}\) und überprüfe dein Ergebnis mit Hilfe der Simulation.

Lösung

\[{F_{{\rm{ZP}}}} = {F_{\rm{L}}} \Leftrightarrow {m_e} \cdot \frac{{{v_0}^2}}{r} = e \cdot {v_0} \cdot B \Leftrightarrow r = \frac{{{m_e} \cdot {v_0}}}{{e \cdot B}}\]\[r = \frac{{{m_e} \cdot {v_0}}}{{e \cdot B}} = \frac{{{m_e} \cdot \sqrt {\frac{{2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}}}{{{m_e}}}} }}{{e \cdot {\mu _0} \cdot \frac{8}{{{{\sqrt 5 }^3}}} \cdot \frac{N}{R} \cdot {I_{\rm{S}}}}} = \frac{{\sqrt {\frac{{2 \cdot {m_e}^2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}}}{{{e^2} \cdot {m_e}}}} }}{{{\mu _0} \cdot \frac{8}{{{{\sqrt 5 }^3}}} \cdot \frac{N}{R} \cdot {I_{\rm{S}}}}} = \frac{{\sqrt {\frac{{{m_e}}}{e}}  \cdot \sqrt {2 \cdot {U_{\rm{B}}}} }}{{{\mu _0} \cdot \frac{8}{{{{\sqrt 5 }^3}}} \cdot \frac{N}{R} \cdot {I_{\rm{S}}}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt {\frac{e}{{{m_e}}}}  \cdot {\mu _0} \cdot \frac{8}{{{{\sqrt 5 }^3}}} \cdot \frac{N}{R}}} \cdot \frac{{\sqrt {{U_{\rm{B}}}} }}{{{I_{\rm{S}}}}}\]
Diese Umformungen sind sinnvoll, weil in dem Term für den Bahnradius \(r\) jetzt nur noch messbare Größen und Naturkonstanten aufttreten.\[r = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt {\frac{{1,602 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}}}}{{9,10 \cdot {{10}^{ - 31}}{\rm{kg}}}}}  \cdot 4\pi  \cdot {{10}^{ - 7}}\frac{{{\rm{Vs}}}}{{{\rm{Am}}}} \cdot \frac{8}{{{{\sqrt 5 }^3}}} \cdot \frac{{130}}{{0,150{\rm{m}}}}}} \cdot \frac{{\sqrt {200{\rm{V}}} }}{{1,53{\rm{A}}}} = 0,040{\rm{m}} = 4,0{\rm{cm}}\]Das berechnete Ergebnis stimmt gut mit dem aus der Simulation ersichtlichen Wert überein.

,

Zum Abschluss wollen wir noch einmal zurückblicken und sehen, welches Ziel unser Versuch ursprünglich hatte: wir wollten durch Ausmessen des Elektronenstrahls Informationen über die Masse \(m_e\) der Elektronen gewinnen.

,
Aufgabe

Forme die Gleichung \(r = \frac{{\sqrt 2  \cdot }}{{\sqrt {\frac{e}{{{m_e}}}}  \cdot {\mu _0} \cdot \frac{8}{{{{\sqrt 5 }^3}}} \cdot \frac{N}{R}}} \cdot \frac{{\sqrt {{U_{\rm{B}}}} }}{{{I_{\rm{S}}}}}\) nach \(\frac{e}{{{m_e}}}\) um.

Berechne mit \({U_{\rm{B}}} = 200{\rm{V}}\), \({I_{\rm{S}}} = 1,53{\rm{A}}\), \(N=130\), \(R=15,0\rm{cm}\) und \(r=4,0\rm{cm}\) die sogenannte spezifische Ladung \(\frac{e}{{{m_e}}}\) des Elektrons.

Berechne schließlich mit \(e = 1,602 \cdot {10^{ - 19}}{\rm{As}}\) die Masse \(m_e\) des Elektrons.

Lösung

\[\begin{eqnarray}r &=& \frac{{\sqrt 2  \cdot }}{{\sqrt {\frac{e}{{{m_e}}}}  \cdot {\mu _0} \cdot \frac{8}{{{{\sqrt 5 }^3}}} \cdot \frac{N}{R}}} \cdot \frac{{\sqrt {{U_{\rm{B}}}} }}{{{I_{\rm{S}}}}}\;| \cdot \sqrt {\frac{e}{{{m_e}}}} |:r\\\sqrt {\frac{e}{{{m_e}}}}  &=& \frac{{\sqrt 2  \cdot }}{{{\mu _0} \cdot \frac{8}{{{{\sqrt 5 }^3}}} \cdot \frac{N}{R}}} \cdot \frac{{\sqrt {{U_{\rm{B}}}} }}{{r \cdot {I_{\rm{S}}}}}|{\rm{quadrieren}}\\\frac{e}{{{m_e}}} &=& \frac{1}{{{\mu _0}^2 \cdot \frac{{32}}{{125}} \cdot \frac{{{N^2}}}{{{R^2}}}}} \cdot \frac{{{U_{\rm{B}}}}}{{{r^2} \cdot {I_{\rm{S}}}^2}}\end{eqnarray}\]\[\frac{e}{{{m_e}}} = \frac{1}{{{{\left( {4\pi  \cdot {{10}^{ - 7}}\frac{{{\rm{Vs}}}}{{{\rm{Am}}}}} \right)}^2} \cdot \frac{{32}}{{125}} \cdot \frac{{{{130}^2}}}{{{{\left( {0,150{\rm{m}}} \right)}^2}}}}} \cdot \frac{{200{\rm{V}}}}{{{{\left( {0,040{\rm{m}}} \right)}^2} \cdot {{\left( {1,53{\rm{A}}} \right)}^2}}} = 1,76 \cdot {10^{11}}\frac{{{\rm{As}}}}{{{\rm{kg}}}}\]\[{m_e} = \frac{e}{{1,76 \cdot {{10}^{11}}\frac{{{\rm{As}}}}{{{\rm{kg}}}}}} = \frac{{1,602 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}}}}{{1,76 \cdot {{10}^{11}}\frac{{{\rm{As}}}}{{{\rm{kg}}}}}} = 9,10 \cdot {10^{ - 31}}{\rm{kg}}\]

Prof. Lesch erklärt im Rahmen der Sendereihe Alpha Centauri die Entstehung der Nordlichter und geht dabei auch auf die Entstehung des Erdmagnetfelds ein.

zum Video

Wilhelm WIEN (1864 - 1928)
unbekannter Autor [Public domain], via Wikimedia Commons

Von Wilhelm WIEN (1864 - 1928) stammt der Vorschlag für ein Geschwindigkeitsfilter, welches nur geladene Teilchen einer bestimmten Geschwindigkeit passieren lässt.

Die unten gezeigte Simulation entspricht dem folgenden Versuchsaufbau: Elektronen treten nach der Beschleunigung durch eine Beschleunigungsspannung \({{U_{\rm{B}}}}\) in einer "Elektronenkanone" mit der Geschwindigkeit \(v_0 = \sqrt {\frac{{2 \cdot e \cdot {U_{\rm{B}}}}}{{{m_e}}}} \) in einen Bereich ein, in dem sowohl ein homogenes Elektrisches Feld eines Plattenkondensators mit dem Plattenabstand \(d\), an dem eine Spannung \({{U_{\rm{K}}}}\) anliegt, als auch ein homogenes Magnetisches Feld in der Mittelebene eines HELMHOLTZ-Spulenpaares mit dem Spulenradius \(R\) und der Windungszahl \(N\), durch das ein Strom der Stärke \({{I_{\rm{S}}}}\) fließt, wirken. Dabei stehen die Feldlinien dieser beiden Felder in diesem Bereich senkrecht zueinander und die Elektronen treten so in diesen Bereich ein, dass ihr Geschwindigkeitsvektor beim Eintritt sowohl senkrecht zu den Elektrischen als auch zu den Magnetischen Feldlinien steht.

Die entsprechende Schaltung von Elektronenkanone, Ablenkkondensator, HELMHOLTZ-Spulenpaar, Elektrischen Quellen und Messgeräten sieht folgendermaßen aus:

,
Heizspannung
UH
Beschleunigungsspannung
UB
Kondensatorspannung
UK
Spulenstrom
IS
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
3

Die Parabelmethode von Thomson ist eine der ersten genaueren Methoden mit denen es gelang die spezifische Ladung von geladenen Teilchen zu bestimmen (1912).

Durch eine elektrische Entladung gelang es sogenannte "Kanalstrahlen" zu erzeugen. Dies sind positive Ionen, die durch ein Loch in der Kathode der Ionenquelle in das Vakuum gelangen. Dort treffen Sie in eine Anordnung, bei der das elektrische und das magnetische Feld parallel bzw. antiparallel sind. Durch eine Rechnung (vgl. entsprechende Musteraufgabe) kann nachgewiesen werden, dass Ionen mit gleicher spezifischer Ladung am Auffängerschirm auf einem Parabelast landen.

In diesem Applet von Peter Kraus kann man mit den Schiebern folgendes festlegen:
Stärke des Magnetfeldes (B)
Stärke des elektrischen Feldes (E)
Massendifferenz zweier Teilchen
Geschwindigkeitsintervall der Teilchen
Ein Zufallsgenerator erzeugt zu zwei verschiedenen Massen jeweils 30 Teilchen unterschiedlicher Geschwindigkeit. Diese werden durch die Felder in x und y-Richtung abgelenkt und treffen auf den Schirm. Die Flugbahnen erscheinen für kurze Zeit auf dem Monitor. Die Auftreffpunkte in der Ebene rechts werden registriert. Durch den Button "Schirm" kann diese Ebene unverzerrt betrachtet werden. Die Auftreffpunkte liegen auf Parabeln.
Beachten Sie, dass bei diesem Applet das Magnetfeld und das elektrische Feld - Gegensatz zur obigen Zeichnung - gleichgerichtet sind.

Das Applet von Fu Kwun Hwang (Taiwan) enthält zunächst eine instruktive Herleitung. In der Simulation werden die Geschwindigkeitskomponenten der beschleunigten Teilchen und die Teilchenbahn in Abhängigkeit von der Frequenz der Wechselspannungsquelle dargestellt.

Testen Sie verschiedene Frequenzen und beobachten Sie, welche Ergebnisse sich einstellen!

Beim Applet von Peter Krahmer (nach W. Christians) kann das elektrische Feld zwischen den Duanden (und somit die Beschleunigungsspannung) und das Magnetfeld im Zyklotron verändert werden. Dargestellt wird die Teilchenbahn und die Zunahme der kinetischen Energie der Teilchen mit der Zeit.

Testen Sie welchen Einfluss Feldänderung auf die kinetische Energie und die Bahn der Teilchen haben!

Aufbau und Durchführung

Benötigte Geräte

  • Elektromagnet mit Polschuhen

  • dazu Netzgerät (10A_) und Amperemeter (10A_)

  • Hallapparat (Silberblech) von Leybold

  • Querstrom-Netzgerät (30A)

  • Amperemeter mit 30A-Shunt

  • Messverstärker mit Voltmeter oder digitales Mikrovoltmeter

 

Aufgrund der Hysterese des Elektromagneten ist die folgende Vorgehensweise anzuraten (vgl. hierzu die Reihenfolge in der Übersicht):

  • Bestimmung der Abhängigkeit der Flussdichte B im Luftspalt vom Spulenstrom Ispule

  • Justieren der Abgriffe für die Hallspannung

  • Bestimmung des Zusammenhangs zwischen Uh und B

  • Bestimmung des Zusammenhangs zwischen Uh und Iquer

  • Zusammenfassende Theorie

Vorversuch: Aufnahme der Kalibrierkurve

Um die Abhängigkeit der HALL-Spannung von der magnetischen Flussdichte zu bestimmen, müsste man diese während des Versuchs messen. Dies ist aber ohne Herausnehmen der HALL-Apparatur nicht möglich. Deshalb stellt man eine "Kalibrierkurve" auf, die das Magnetfeld in Abhängigkeit vom Spulenstrom darstellt.

Hinweis: Die Aufnahme der Kalibrierkurve setzt das Verständnis der elektromagnetischen Induktion voraus. Dazu misst man mittels einer kleinen Induktionsspule (vgl. Versuch "Magnetfeldbestimmung mittels Spannungsstößen") bekannter Windungszahl und bekannter Fläche den Spannungsstoß am vorher kalibrierten Spiegelgalvanometer (siehe Kalibrierung).

Der Eisenkern des Elektromagnet hat bei abgeschaltetem Strom noch einen recht beachtlichen Restmagnetismus. Diesen muss man zu Versuchsbeginn beseitigen. Würde man dies nicht tun, so wäre einerseits die Zuordnung Flussdichte zu Spulenstrom nicht eindeutig, außerdem könnte man beim Silberplättchen wegen des stets vorhandenen Magnetfeld die Anschlüsse für die Hallspannung nicht sauber auf gleiches Anfangspotential einstellen. Den Restmagnetismus (Remanenz) entfernt man, indem man kurz einen geringen Strom durch den Magneten in Gegenrichtung durchschickt. Den Erfolg dieser Aktion überprüft man mittels der Induktionsspulen. Nach einigen Fehlversuchen findet man bald, wie hoch der Gegenstrom sein muss, um den Restmagnetismus zu entfernen.

Die eigentliche Messreihe (Beispiel mit Ni = 10; Ai = 2cm2 cut = 1,25·10-4 Vs/Skt)

ISp in A
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
α in Skt
2,0
4,0
5,8
7,4
8,6
9,5
10,5
11
B in Vs/m²
0,13
0,25
0,36
0,46
0,54
0,59
0,66
0,69

ISp in A
zurück
6
4
2
1
0
um-
polen
-1
-1,5
-2
α in Skt
9,6
7,7
4,5
3,2
1,8
0,2
-2,5
-3,5
B in Vs/m²
0,60
0,48
0,28
0,20
0,11
0,01
-0,16
-0,22

Zeichne das zugehörige Diagramm ISp-B-Diagramm für die obige Messreihe.

Justieren der Abgriffe für die HALL-Spannung

Anschlüsse am Hallgerät der Firma Leybold.

An die Punkte 3 und 4 wird eine Spannung von ca. 30V gelegt, damit der Querstrom Iquer fließt. Dadurch entsteht im Hallplättchen von links nach rechts ein von der Stärke des Querstroms abhängiges Potentialgefälle. Damit man zwischen den beiden Abgriffen 1 und 2 die Hallspannung und nicht das Potentialgefälle misst, müssen sie auf einer Äquipotentialfläche (grün) angebracht sein.

Dies erreicht man, indem man zunächst ohne Strom und Magnetfeld den Nullpunkt des spannungsempfindlichen Messverstärkers justiert, dann noch ohne Magnetfeld den Querstrom hochregelt. Meist stellt man jetzt schon am Messverstärker eine Spannung fest, obwohl noch gar kein Halleffekt auftreten kann, da B = 0 ist. Man kompensiert die nachgewiesene Spannung durch das bei 1 angebrachte Potentiometer, an dem man so lange dreht, bis am Messverstärker die Spannung Null angezeigt wird.

Abhängigkeit der HALL-Spannung von der Flussdichte des Magnetfeldes

Man lässt den Querstrom Iquer während des gesamten Teilversuchs konstant durch das Silberplättchen fließen und erhöht langsam in Schritten von 1 A den Spulenstrom und damit das Magnetfeld. Dabei ist darauf zu achten, dass zu Beginn der Restmagnetismus abgebaut wurde und dass man während des Versuchs den Strom nur steigern, nicht mindern darf. Für Iquer = 15,0A erhält man

ISp in A
1,0
2,0
3,0
4,0
6,0
8,0
B in Vs/m²
0,13
0,25
0,36
0,46
0,59
0,69
Uh in 10-6V
2,2
4,8
7,5
9,0
11,9
13,6

Fertige ein B - Uh -Diagramm an und werte dieses aus.

Abhängigkeit der HALL-Spannung vom Querstrom

Man lässt den Spulenstrom und damit das Magnetfeld während des gesamten Teilversuchs konstant und variiert den Querstrom Iquer.

Iquer in A
4,0
8,0
12,0
16,0
Uh in 10-6 V
4,4
9,0
12,6
16,4

 

Fertige ein Uh - Iquer - Diagramm an und werte dieses aus.

Da der Quotient Uh /Iquer nahezu konstant ist, folgt: Uh ~ Iquer

Theorie

Annahmen

1. Es gibt nur eine Sorte von beweglichen Ladungsträgern (z.B. Elektronen) die zum Strom beitragen.

2. Alle Ladungsträger queren mit der gleichen Geschwindigkeit \(v\) das Silberband.

Durch das Magnetfeld wirkt eine Lorentzkraft vom Betrag \({F_{\rm{L}}} = q \cdot v \cdot B\), welche die Ladungsträger nach oben zum Anschluss 1 verschiebt. Diese Verschiebungsrichtung zum Anschluss 1 wäre für positive und negative Ladungsträger dieselbe.

Die Verschiebung geht so lange, bis das durch die Ladungsverschiebung aufgebaute elektrische Feld eine der Lorentzkraft entgegengesetzt gerichtete und betraglich gleichgroße elektrische Kraft mit dem Betrag \({F_{{\rm{el}}}} = q \cdot \frac{{{U_{\rm{H}}}}}{b}\) bewirkt:
\[{F_{\rm{L}}} = {F_{{\rm{el}}}} \Leftrightarrow {\kern 1pt} q \cdot v \cdot B = q \cdot \frac{{{U_{\rm{H}}}}}{b} \Leftrightarrow {\kern 1pt} {U_{\rm{H}}} = b \cdot v \cdot B\]
Dies wird durch den Versuch (\({U_{\rm{H}}} \sim B\)) bestätigt.

Die Zahl der im gesamten Silberband befindlichen freien Ladungsträger ist \(N\). Die Zeit während ein Ladungsträger die Länge \(l\) des Silberbands durchquert ist \(t\). Während dieser Zeit \(t\) werden alle \(N\) freien Ladungsträger im Silberband ausgetauscht und während dieser Zeit \(t\) bewegen sich genau \(N\) freie Ladungsträger durch einen Leiterquerschnitt. Für den Strom \({I_{{\rm{quer}}}}\) gilt dann
\[{I_{{\rm{quer}}}} = \frac{{N \cdot q}}{t} \Leftrightarrow t = \frac{{N \cdot q}}{{{I_{{\rm{quer}}}}}}\]
In die Gleichung für die Geschwindigkeit eingesetzt ergibt sich
\[v = \frac{l}{t} = \frac{{l \cdot {I_{{\rm{quer}}}}}}{{N \cdot q}}\]
In die Gleichung für die Hallspannung eingesetzt ergibt sich
\[{U_{\rm{H}}} = b \cdot \frac{{l \cdot {I_{{\rm{quer}}}}}}{{N \cdot q}} \cdot B\]
Dies wird durch den Versuch (\({U_{\rm{H}}} \sim {I_{{\rm{quer}}}}\)) bestätigt.

Weitere Umformungen (Erweitern mit \(d\) und Einsetzen des Volumens \(V = b \cdot l \cdot d\)) führen zu
\[\begin{eqnarray}{U_{\rm{H}}} &=& b \cdot \frac{{l \cdot {I_{{\rm{quer}}}}}}{{N \cdot q}} \cdot B\\ &=& \frac{{b \cdot l \cdot d}}{{N \cdot q}} \cdot \frac{{{I_{{\rm{quer}}}} \cdot B}}{d}\\ &=& \frac{V}{{N \cdot q}} \cdot \frac{{{I_{{\rm{quer}}}} \cdot B}}{d}\\ &=& \frac{1}{{n \cdot q}} \cdot \frac{{{I_{{\rm{quer}}}} \cdot B}}{d}\\ &=& {R_{\rm{H}}} \cdot \frac{{{I_{{\rm{quer}}}} \cdot B}}{d}\end{eqnarray}\]
Dabei ist \({n = \frac{N}{V}}\) die Ladungsträgerdichte und \({{R_{\rm{H}}} = \frac{1}{{n \cdot q}}}\) die Hallkonstante des Materials.

 
Kenneth BAINBRIDGE (1904 - 1996); von Sgt. Erne Wallis, U. S. Army (Los Alamos National Laboratory) [Public domain], via Wikimedia Commons

Eine relativ einfache Ausführung eines Gerätes zur Trennung geladener Teilchen mit verschiedener spezifischer Masse \(\frac{q}{m}\) (Massenspektrometer) geht auf Kenneth BAINBRIDGE (1904 - 1996) zurück.

Durch ein sogenanntes WIEN-Filter (gekreuztes \(E\)- und \(B\)-Feld) gelingt es, aus dem Strahl von Teilchen mit verschiedenem \(\frac{q}{m}\) solche herauszufiltern, die alle die gleiche Geschwindigkeit \(v\) besitzen.

In dem an das Filter anschließenden homogenen Magnetfeld durchlaufen die Teilchen mit gleicher Geschwindigkeit aber verschiedenem \(\frac{q}{m}\) Halbkreisbahnen mit unterschiedlichem Radius.

In der hübschen Animation von Krahmer-Christians können die Geschwindigkeit der Teilchen, sowie die Beträge von \(E\) und \(B\) im Wien-Filter eingestellt werden. Man sieht, dass nur bei bestimmten Kombinationen von \(v\), \(E\) und \(B\) die Teilchen das WIEN-Filter passieren können.

Haben die Teilchen, welche das WIEN-Filter passieren können, unterschiedliche spezifische Ladung, so durchlaufen diese im nachfolgenden homogenen Magnetfeld Halbkreisbahnen mit unterschiedlichem Radius. Auf diese Weise ist eine Trennung der Teilchen nach ihrer spezifischen Ladung möglich.

Sorgt man dafür, dass die Teilchen, welche in die Anordnung gelangen alle die gleiche Ladung besitzen, so ist mit der Anordnung eine Trennung nach den Massen der Teilchen möglich.

In der folgenden Animation wird der Aufbau des BAINBRIDGE-Spektrometers schrittweise erklärt.

,
3 Funktionsweise eines BAINBRIDGE-Massenspektrometers
Francis William ASTON (1877-1945); von Smithsonian Institution from United States [Für die Lizenz, siehe], via Wikimedia Commons

Francis William ASTON wurde 1877 in Birmingham geboren und starb 1945 in Cambridge, England. Er untersuchte mit dem von ihm entwickelten und verbesserten Massenspektrograph die chemischen Elemente auf Isotopie, fand 212 noch nicht bekannte Isotope und bekam unter anderem dafür 1922 den Nobelpreis für Chemie. Mehr Details finden Sie unter www.nobel.se

Der Massenspektrograph von ASTON besteht aus einem elektrischen Querfeld, in das Ionen mit gleicher Ladung eingeschossen werden. Dort durchlaufen sie Parabelbahnen, die von Masse, Richtung und Geschwindigkeit der Ionen abhängen. Die Ablenkung im elektrischen Feld ist umso kleiner, je größer die kinetische Energie der Ionen ist. Anschließend werden die Teilchen in ein homogenes magnetisches Querfeld gelenkt, das senkrecht auf dem elektrischen Feld und der Flugrichtung steht. In diesem werden sie auf Kreisbahnen abgelenkt, deren Krümmung entgegengesetzt der Krümmung der Parabelbahnen im elektrischen Feld ist. Der Krümmungsradius im Magnetfeld ist umso kleiner, je kleiner der Impuls der Ionen ist. Da Impuls und kinetische Energie der Teilchen in verschiedener Weise von v und m abhängen, lässt sich die Geometrie der Felder so einrichten, dass Teilchen mit gleicher spezifischer Ladung aber mit leicht verschiedener Richtung und verschiedener Geschwindigkeit am gleichen Ort der Nachweisebene auftreffen.

,
2 Aufbau und Funktionsweise des ASTON-Massenspektrometers

Die schöne Animation von K.-G. Häusler von der Uni Münster lässt erahnen wie die Ionen erzeugt werden und zeigt in einer Farbe die Bahnen verschieden schneller Ionen mit gleichem q/m (Geschwindigkeitsfokussierung).

,

Optisches Analogon zur Versuchsanordnung von Aston:


Zusammenfassung

  • Ionen mit gleicher Ladung und Masse (d.h. gleicher spezifischer Ladung) aber verschiedener Anfangsgeschwindigkeit werden in einen Punkt fokussiert (Geschwindigkeitsfokussierung).
  • Ionen mit gleicher Ladung und Masse (d.h. gleicher spezifischer Ladung) aber leicht verschiedener Anfangsrichtung werden in einen Punkt fokussiert (Richtungsfokussierung).

Würden die Fokussierungen nicht gelingen, so müsste man den zu untersuchenden Teilchenstrahl zunächst dahingehend bearbeiten, dass nur Teilchen gleicher Geschwindigkeit (Geschwindigkeitsfilter vorschalten) und gleicher Richtung (Blenden einbringen) vorkommen. Dies würde aber die Intensität des Teilchenstrahls und damit die Nachweiswahrscheinlich erheblich reduzieren.

In diesem Applet von Peter Kraus kann man mit den Schiebern folgendes festlegen:
Stärke des elektrischen Feldes (E)
Stärke des Magnetfeldes (B)
Massendifferenz zweier Teilchen
Geschwindigkeitsintervall der Teilchen
Man sieht dann die Bahnen einer Teilchensorte in einer Farbe und einer zweiten oder dritten Teilchensorte in anderer Farbe.

 

Karlheinz Meier von der Universität Heidelberg stellt leicht verständliche Videos zum Physikunterricht zur Verfügung. In anderthalb Minuten wird gut fassbar in das Prinzip einer technischen Erfindung eingeführt oder ein physikalisches Phänomen vorgestellt.

In diesem Video zeigt Karlheinz Meier die grundsätzliche Funktionsweise einer Elektronenröhre und die Ablenkung der Elektronen durch ein Magnetfeld.

zum Video