Relativitätstheorie

Spezielle Relativitätstheorie

Zeitdilatation

  • Warum vergrößert sich die Masse bewegter Körper?
  • Was versteht man unter der Ruheenergie eines Körpers?
  • Wie kommt Einstein zu seiner berühmten Formel E=mc2?

Zeitdilatation

1 Prinzipieller Aufbau einer Lichtuhr. Wird ein Lichtimpuls vom unteren Spiegel zum oberen Spiegel geschickt und dort reflektiert, so verstreicht bis zum Wiedereintreffen beim unteren Spiegel die Zeit \(\Delta t'\)

Was ist eine Lichtuhr?

Die Lichtuhr besteht aus zwei Spiegeln, deren Abstand z.B. \(h=1,5\rm{m}\) ist. Wird nun ein Lichtimpuls vom unteren Spiegel zum oberen Spiegel geschickt und dort reflektiert, so verstreicht bis zum Wiedereintreffen beim unteren Spiegel die Zeit \(\Delta t'\). Bei dem gewählten Beispiel gilt für \(\Delta t'\)
\[\Delta t' = \frac{2 \cdot h}{c}   \Rightarrow   \Delta t' = \frac{2 \cdot 1,5}{3,0 \cdot 10^8} \frac{m}{s} = 1,0 \cdot 10^{-8}s = 10ns\]
Dieser stets wiederholbare Vorgang (Auf- und Absteigen des Lichtsignals) entspricht z.B. der stets wiederholbaren Schwingung des Pendels einer Pendeluhr oder der Schwingung eines Quarzes in einer modernen Armbanduhr. Solche, auf stets gleiche Weise ablaufenden Vorgänge sind für die Zeitmessung geeignet.

In der folgenden Animation wird nun eine Periode der Lichtuhr, die sich in einem Raumschiff befindet, aus verschiedenen Positionen beobachtet:

a) von einem im Raumschiff mitfliegenden Astronauten (Eigensystem S')

b) von einer auf der Erde befindlichen Beobachterin (System S) an der das Raumschiff mit der konstanten Geschwindigkeit v vorbeifliegt

Hinweise:

  • Die Vorgänge sind gegenüber der oberen Animation verlangsamt dargestellt.
  • Die Überlegungen werden allgemein durchgeführt, d.h. für den Abstand h der Spiegel in der Lichtuhr wird keine spezieller Wert verwendet.
2 Periode einer Lichtuhr, die sich in einem Raumschiff befindet, aus verschiedenen Positionen

Zusammenhang zwischen Δt' und Δt:

Im S'-System gilt:
\[\Delta t' = \frac{{2 \cdot h}}{c}\quad (1)\]
Im S-System gilt:
\[\Delta t = \frac{{2 \cdot l}}{c}\quad (2)\]
Aus der Animation erkennt man (graues rechtwinkliges Dreieck):
\[l = \sqrt {{{\left( {\frac{{v \cdot \Delta t}}{2}} \right)}^2} + {h^2}} \quad (3)\]
Setzt man (3) in (2), so erhält man:
\[\begin{array}{l}\Delta t = \frac{{2 \cdot \sqrt {{{\left( {\frac{{v \cdot \Delta t}}{2}} \right)}^2} + {h^2}} }}{c} \Rightarrow {c^2} \cdot \Delta {t^2} = {\left( {v \cdot \Delta t} \right)^2} + {\left( {2 \cdot h} \right)^2}\\\Delta {t^2} \cdot \left( {{c^2} - {v^2}} \right) = {\left( {2 \cdot h} \right)^2} \Rightarrow \Delta t = 2 \cdot h \cdot \frac{1}{{\sqrt {{c^2} - {v^2}} }} \Rightarrow \Delta t = \frac{{2 \cdot h}}{c} \cdot \frac{1}{{\sqrt {1 - {{\left( {{\textstyle{v \over c}}} \right)}^2}} }}\end{array}\]

 

Unter Berücksichtigung von (1) ergibt sich dann für den Zusammenhang zwischen Δt und Δt':

Zeitdilatation

\[\Delta t = \frac{\Delta t'}{\sqrt{1 - (\frac{v}{c})^2}}\]

3 Phänomen der Zeitdilatation: Eine relativ zu einem Beobachter bewegte Uhr geht aus der Sicht des Beobachters langsamer als der Satz synchronisierter Uhren im "Beobachter-System"

Erläuterungen und Hinweise:

  • Da v stets kleiner c ist, gilt für \(\sqrt{1 - (\frac{v}{c})^2}\) < 1. Somit gilt Δt > Δt'.
  • Obige Gleichung besagt:
    Eine relativ zu einem Beobachter bewegte Uhr geht aus der Sicht des Beobachters langsamer als der Satz synchronisierter Uhren im "Beobachter-System" (Zeitdilatation).
    Oft hört man hierfür die etwas saloppe Formulierung: "Bewegte Uhren gehen langsamer".
  • Beachten Sie, dass das Zeitintervall Δt' durch zwei aufeinanderfolgende Ablesungen an einer Uhr im S'-System bestimmt ist. Dagegen ist das Zeitintervall Δt bestimmt durch Ablesungen an zwei verschiedenen, synchronisierten Uhren im S-System.
  • Eine mehr formale Herleitung der Zeitdilatation ist auch mit den Minkowski-Diagrammen möglich.
  • Würde man davon ausgehen, dass es eine absolute Zeit gibt, d.h. dass Δt = Δt' ist, so hätte dies zur Konsequenz, dass man für die Lichtgeschwindigkeit in den Systemen S und S' verschiedene Werte erhält: \[c_{S'} = \frac{2 \cdot h}{\Delta t}   \text{bzw.}     c_S = \frac{2 \cdot l}{\Delta t}     \text{da}    l > h   \text{wäre auch}      c_S > c_{S'}\]

 

Ergänzendes Material zum Thema bei Welt der Physik

 

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