Spezielle Relativitätstheorie

Grundwissen

Geschwindigkeitsaddition

Das Wichtigste auf einen Blick

Ist \(u\) die Geschwindigkeit eines Körpers im System S und \(v\) die Geschwindigkeit des Systems S' in Bezug auf S und \(u'\) die Geschwindigkeit des Körpers im System S', dann gilt der Zusammenhang \(u = \frac{{u' + v}}{{1 + \frac{{u' \cdot v}}{{{c^2}}}}}\).

Die Addition von Geschwindigkeiten wurde schon auf der einführenden Seite zur Relativitätstheorie angesprochen. Dort hast du erfahren, dass die Berechnung der Geschwindigkeit nach dem GALILEI'schen Relativitätsprinzip in der SRT keine Gültigkeit mehr hat, was auf das Postulat der "Konstanz der Lichtgeschwindigkeit" in allen Bezugssystem zurückzuführen ist. Dort wurde dir auch die relativistisch korrekte Formel für die Geschwindigkeitsaddition mitgeteilt.

In dem Kapitel über die Minkowski-Diagramme hast du erfahren, wie man mit Hilfe der LORENTZ-Transformation zu dieser Formel gelangen kann. Allerdings setzte die Herleitung voraus, dass du die gesamten vorangegangenen Seiten zu den MINKOWSKI-Diagrammen durchgearbeitet hast.

Auf dieser Seite soll - nur für besonders Interessierte, die wissen wollen woher die Formeln kommen mit denen man im Unterricht rechnet - gezeigt werden, wie man zur Formel für die relativistische Geschwindigkeitsaddition gelangen kann, wenn man die Beziehungen für die Zeitdilatation und die Längenkontraktion beherrscht und etwas Ausdauer bei algebraischen Umformungen hat. Dabei folgen wir einem von Franz Embacher (Uni Wien) vorgeschlagenen Weg, den wir nur etwas an die hier verwendeten Variablennamen anpassen.

Es wird die eindimensionale Bewegung einer Kugel K einmal von einem System S (stell dir S als fest mit dem Bahnsteig verbunden vor) und einmal von einem System S' (stell dir S' z.B. fest mit einem schnell fahrenden Zug vor) aus betrachtet. Das System S' bewege sich mit der Geschwindigkeit \(v\) gegenüber S. Alle Geschwindigkeiten sind in \(+x\)-Richtung oder \(-x\)-Richtung.

Abb. 1 Geschwindigkeitsaddition, wie sie aus klassischer Sicht durchgeführt wird

Bezeichnungen

\(u\): Geschwindigkeit der Kugel im System S

\(v\): Geschwindigkeit des Systems S' in Bezug auf S

\(u'\): Geschwindigkeit der Kugel im System S'

Nach der klassischen Geschwindigkeitsaddition würde gelten\[u = v+u'\]Dies hätte aber zur Konsequenz, dass sich ein mit \(u'=c\) im System S' bewegendes Lichtquant im System S Überlichtgeschwindigkeit aufweisen würde, was ein Widerspruch zum Postulat der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in allen Systemen wäre.

Ziel der folgenden Überlegungen ist es, einen relativistisch korrekten Zusammenhang zwischen den drei Geschwindigkeiten herzuleiten. Ist z.B. \(v\) und \(u'\) bekannt, so soll die gesuchte Formel einen Ausdruck für \(u = u(v, u')\) liefern.

Abb. 2 Messung der Zeitspanne \(\Delta t\) zwischen den Ereignissen \(E_1\) und \(E_2\) im ruhenden System

Im System S ruhe ein Maßstab der Länge \(\Delta x\) an dem sich die Kugel vorbei bewegt. Im weiteren werden zwei Ereignisse betrachtet:

\(E_{1}\): Die Kugel bewegt sich gerade am Anfang des Maßstabs vorbei.

\(E_{2}\): Die Kugel bewegt sich gerade am Ende des Maßstabs vorbei.

Die Zeit, welche im S-System zwischen diesen beiden Ereignissen verstreicht sei \(\Delta t\). Dann gilt im S-System\[\Delta x = u \cdot \Delta t\quad (1)\]Im Ruhesystem der Kugel stellt man aufgrund der Zeitdilatation für Zeitdifferenz der beiden Ereignissen \(E_{1}\) und \(E_{2}\) die Zeitspanne \(\Delta t_{\rm{K}}\) fest, für die gilt\[\Delta t_{\rm{K}} = \Delta t \cdot \sqrt {1 - {{\left( {\frac{u}{c}} \right)}^2}} \quad (2)\]

Abb. 3 Messung der Zeitspanne \(\Delta t'\) zwischen den Ereignissen \(E_1\) und \(E_2\) im bewegten System

Nun soll der Vorgang vom System S' aus betrachtet werden:

•Die Kugel bewegt sich mit der Geschwindigkeit \(u'\) nach rechts.

•Der Maßstab mit der Geschwindigkeit \(v\) nach links und dieser ist von S' aus betrachtet aufgrund der Längenkontraktion auf die Strecke \(\Delta x'\) verkürzt, für die gilt\[\Delta x' = \Delta x \cdot \sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} \quad (3)\]

Welche Zeit \(\Delta t'\) verstreicht nun zwischen den beiden Ereignissen \(E_{1}\) und \(E_{2}\) im System S'?

Es wird davon ausgegangen, dass das Ereignis \(E_{1}\) am Ort \(x'=0\) des S'-System stattfindet.

•Nach der Zeit \(\Delta t'\) ist die Kugel dann am Ort \(u' \cdot \Delta t'\).

•Das Ende des Maßstabs ist am Ort \(\Delta x' - v \cdot \Delta t'\).

Damit das Ereignis \(E_{2}\) gegeben ist, müssen diese beiden Strecken gleich sein. Es gilt also \[u' \cdot \Delta t' = \Delta x' - v \cdot \Delta t' \Leftrightarrow u' \cdot \Delta t' + v \cdot \Delta t' = \Delta x' \Leftrightarrow \Delta t' = \frac{{\Delta x'}}{{u' + v}}\quad (4)\]Aufgrund der Zeitdilatation verstreicht im Ruhesystem der Kugel nur die Zeit \(\Delta t_{\rm{K}}\): \[\Delta {t_{\rm{K}}} = \Delta t' \cdot \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{u'}}{c}} \right)}^2}} \quad (5)\] Aus den Gleichungen \((1)\) - \((5)\) lässt sich nun die gesuchte Beziehung \(u = u(v,u')\) herleiten. Es ergibt sich:

Geschwindigkeitsaddition in der Relativitätstheorie

\[u = \frac{{u' + v}}{{1 + \frac{{u' \cdot v}}{{{c^2}}}}}\]

Wenn du an der etwas länglichen algebraischen Herleitung der Formel interessiert bist, so kannst du dir diese Herleitung hier einblenden.

Aufgabe

Zeige, dass sich der rechte Ausdruck bei (9) nun solange umformen lässt, bis sich die Formel
\[u = \frac{{u' + v}}{{1 + \frac{{u' \cdot v}}{{{c^2}}}}}\]
für die relativistische Geschwindigkeitsaddition ergibt.

Lösung

Zu zeigen ist, dass sich die Gleichung\[u = \frac{{\left( {u' + v} \right) \cdot \sqrt {1 - {{\left( {\frac{u}{c}} \right)}^2}} }}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{{u'}}{c}} \right)}^2}} \cdot \sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }}\quad (10)\]in die Gleichung\[u = \frac{{u' + v}}{{1 + \frac{{u' \cdot v}}{{{c^2}}}}}\]überführen lässt. Quadriert man Gleichung \((10)\) und formt die Gleichung um so gelangt man schließlich zum Ziel:\[\begin{eqnarray}{u^2} \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{{u'}}{c}} \right)}^2}} \right] \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} \right] &=& {\left( {u' + v} \right)^2} \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{u}{c}} \right)}^2}} \right]\\{u^2} \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{{u'}}{c}} \right)}^2}} \right] \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} \right] &=& {\left( {u' + v} \right)^2} - {\left( {u' + v} \right)^2} \cdot {\left( {\frac{u}{c}} \right)^2}\\{u^2} \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{{u'}}{c}} \right)}^2}} \right] \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} \right] + {\left( {u' + v} \right)^2} \cdot {\left( {\frac{u}{c}} \right)^2} &=& {\left( {u' + v} \right)^2}\\{u^2} \cdot \frac{1}{{{c^2}}} \cdot \left[ {{c^2} - {{u'}^2}} \right] \cdot \frac{1}{{{c^2}}} \cdot \left[ {{c^2} - {v^2}} \right] + {\left( {u' + v} \right)^2} \cdot {\left( {\frac{u}{c}} \right)^2} &=& {\left( {u' + v} \right)^2}\\\frac{{{u^2}}}{{{c^2}}} \cdot \left( {\frac{1}{{{c^2}}}\left[ {{c^2} - {{u'}^2}} \right] \cdot \left[ {{c^2} - {v^2}} \right] + {{\left( {u' + v} \right)}^2}} \right) &=& {\left( {u' + v} \right)^2}\\\frac{{{u^2}}}{{{c^2}}} \cdot \left( {\frac{1}{{{c^2}}}\left[ {{c^4} - {{u'}^2} \cdot {c^2} - {c^2} \cdot {v^2} + {{u'}^2} \cdot {v^2}} \right] + {{u'}^2} + 2 \cdot u' \cdot v + {v^2}} \right) &=& {\left( {u' + v} \right)^2}\\\frac{{{u^2}}}{{{c^2}}} \cdot \left( {{c^2} - {{u'}^2} - {v^2} + \frac{{{{u'}^2} \cdot {v^2}}}{{{c^2}}} + {{u'}^2} + 2 \cdot u' \cdot v + {v^2}} \right) &=& {\left( {u' + v} \right)^2}\\\frac{{{u^2}}}{{{c^2}}} \cdot \left( {{c^2} + \frac{{{{u'}^2} \cdot {v^2}}}{{{c^2}}} + 2 \cdot u' \cdot v} \right) &=& {\left( {u' + v} \right)^2}\\\frac{{{u^2}}}{{{c^2}}} \cdot {\left( {c + \frac{{u' \cdot v}}{c}} \right)^2} &=& {\left( {u' + v} \right)^2}\\{u^2} \cdot {\left( {1 + \frac{{u' \cdot v}}{{{c^2}}}} \right)^2} &=& {\left( {u' + v} \right)^2}\\{u^2} &=& \frac{{{{\left( {u' + v} \right)}^2}}}{{{{\left( {1 + \frac{{u' \cdot v}}{{{c^2}}}} \right)}^2}}}\end{eqnarray}\]Da diese Gleichung nur positive Lösungen besitzt, erhält man\[u = \frac{{u' + v}}{{1 + \frac{{u' \cdot v}}{{{c^2}}}}}\]

Bestimme mit Hilfe der oben gewonnenen Formel für den Fall \(u'=c\) (Photon im S'-System) und \(v\ll c\) die zugehörige Geschwindigkeit \(u\) im S-System.

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