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Aufgabe

Zwillingsparadoxon

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Auf einer Weltraumreise fährt Astronaut Max mit der Geschwindigkeit 0,60·c in Bezug zur Erde, wo sein Zwillingsbruder Sepp zurückbleibt. Für den Hinweg braucht Max nach seiner Uhr 4,0 Jahre. Anschließend fährt er wieder zur Erde mit dem gleichen Geschwindigkeitsbetrag zurück.

a)Wie lange dauert die gesamte Reise (Hin- und Rückweg) vom Erdbewohner Sepp aus betrachtet?

b)Welche Entfernung von der Erde misst Sepp für Maxens Umkehrpunkt?

c)Zeichne das Weg-Zeit-Diagramm einschließlich der Lichtlinien für die jährlichen Neujahrs-Signale.

d)Bestimme graphisch und rechnerisch die Empfangsperioden für diese Signale beim Hin- bzw. Rückweg.

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a)Die Gesamtreisedauer für den Astronauten Max ist Δt' = 8,0a. Unter Berücksichtigung der Zeitdilatation stellt Sepp für die Hin- und Rückreise die Zeitspanne Δt fest:\[\Delta t\;' = \Delta t \cdot \sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}}  \Leftrightarrow \Delta t = \frac{{\Delta t\;'}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} \Rightarrow \Delta t = \frac{{8,0}}{{\sqrt {1 - {{\left( {0,60} \right)}^2}} }}{\rm{a}} = 10{\rm{a}}\]Der Erdbewohner Sepp stellt eine Reisedauer von zehn Jahren fest.

b)Max entfernt sich mit der Geschwindigkeit 0,60·c von der Erde. Von der Erde aus wird eine Reisedauer bis zum Umkehrpunkt von 10a : 2 = 5,0a festgestellt. Somit ergibt sich für Sepp die Entfernung des Umkehrpunkts zu\[\Delta x = v \cdot \Delta t \Rightarrow \Delta x = 0,6 \cdot c \cdot 5,0\,\,{\rm{a}} = 3,0\,\,{\rm{Lj}}\]

c) 

d)Empfangsperioden graphisch ermittelt:

Auf dem Hinflug erhält Astronaut Max nur alle zwei Jahre ein Signal von Sepp, auf dem Rückflug bekommt er die Signale halbjährlich. Das Gleiche gilt für die Empfangssignale von Sepp.

Max empfängt beim Hinflug nur zwei Signale, beim Rückflug dagegen sieben Signale. Insgesamt erhält er also neun Signale.
Sepp empfängt beim Hinflug vier Signale, beim Rückflug dagegen nur drei Signale. Insgesamt erhält Sepp also sieben Signale.

Empfangsperioden rechnerisch ermittelt:

Solange sich die Brüder von einander fort bewegen treffen die Signale in Zeitabständen von\[k(v) \cdot 1{\rm{a}} = \sqrt {\frac{{c + v}}{{c - v}}}  \cdot 1{\rm{a}} = \sqrt {\frac{{1,6 \cdot c}}{{0,4 \cdot c}}}  \cdot 1{\rm{a}} = 2{\rm{a}}\]ein.

Solange sich die Brüder auf einander zu bewegen treffen die Signale in Zeitabständen von\[k(v) \cdot 1{\rm{a}} = \sqrt {\frac{{c - v}}{{c + v}}}  \cdot 1\,{\rm{a}} = \sqrt {\frac{{0,4 \cdot c}}{{1,6 \cdot c}}}  \cdot 1\,{\rm{a}} = \frac{1}{2}{\rm{a}}\]ein.