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Aufgabe

Schraubenlinien (Abitur BY 1973 LK A1-4)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

In der Mitte eines homogenen Magnetfeldes der Flussdichte B befindet sich eine punktförmige Elektronenquelle, von der nach allen Richtungen Elektronen mit verschiedenen Geschwindigkeiten, abgestrahlt werden.

a)Zunächst werden nur Elektronen betrachtet, deren Bahnen in einer Ebene verlaufen, die zu B senkrecht steht und durch die Elektronenquelle gelegt ist.

Skizziere den Verlauf einiger Elektronenbahnen. Begründung!

Berechne allgemein, wie lange die einzelnen Elektronen brauchen, bis sie wieder zu ihrem Ausgangspunkt zurückkehren.

b) Es soll nun die Bahn eines Elektrons betrachtet werden, dessen Geschwindigkeit v mit der Feldrichtung den Winkel (0° < α < 90°) bildet.

Berechne die Entfernung, in der das Elektron wieder auf die Gerade trifft, die parallel zur Feldrichtung durch die Elektronenquelle geht.

Die Elektronenquelle sei ein radioaktives Präparat, das Elektronen der Geschwindigkeit v = 0,60·c emittiert. Alle unter dem Winkel α = 30° gegen die Feldrichtung emittierten Elektronen werden durch eine Ringblende ausgewählt.

Berechne, in welcher Entfernung von der Elektronenquelle sich diese Elektronen treffen, wenn der Betrag der magnetischen Flussdichte 0,25Vs/m2 ist.

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Da \(\vec v \bot \vec B\) und \({\vec F_{\rm{L}}} \bot \vec v\) sowie  \({\vec F_{\rm{L}}} \bot \vec B\) erhält man ebene Kreisbahnen senkrecht zur Feldrichtung. Für die Umlaufzeit gilt
\[T = \frac{{2 \cdot \pi  \cdot r}}{v}\]
Weiter gilt
\[{F_{{\rm{ZP}}}} = {F_{\rm{L}}} \Leftrightarrow m \cdot \frac{{{v^2}}}{r} = e \cdot v \cdot B \Leftrightarrow v = \frac{e}{m} \cdot B \cdot r\]
und damit
\[T = \frac{{2 \cdot \pi  \cdot m}}{{e \cdot B}}\]

b)\[x = {v_\parallel } \cdot T = v \cdot \cos \left( \alpha  \right) \cdot \frac{{2 \cdot \pi  \cdot m}}{{e \cdot B}}\]
Mit der Masse
\[m = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} \Rightarrow m = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{{0,6c}}{c}} \right)}^2}} }} = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - {{0,6}^2}} }} = 1,25 \cdot {m_0}\]
ergibt sich nun bei Einsetzen der gegebenen Werte
\[x = 0,6 \cdot 3,0 \cdot {10^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot \cos \left( {30^\circ } \right) \cdot \frac{{2 \cdot \pi  \cdot 1,25 \cdot 9,11 \cdot {{10}^{ - 31}}{\rm{kg}}}}{{1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot 0,25\frac{{{\rm{Vs}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}}} = 2,8 \cdot {10^{ - 2}}{\rm{m}}\]