Spezielle Relativitätstheorie

Bei der angegebenen Geschwindigkeit von \(0,1c\) sollten sich relativistische und nicht relativistische Rechnung nur geringfügig unterscheiden. Trotzdem werden beide Möglichkeiten vorgestellt:

Nichtrelativistische Rechnung: \[e\cdot U_{\rm{Grenz}}= \frac{1}{2}\cdot m_{0,_{\rm{P}}}\cdot v_{\rm{Grenz}}^2\Leftrightarrow U_{\rm{Grenz}}=\frac{m_{0,_{\rm{P}}}\cdot v_{\rm{Grenz}}^2}{2\cdot e}\]

Einsetzen der gegebenen Werte liefert:

\[U_{\rm{Grenz}}=\frac{1,67\cdot 10^{-27}\,{\rm{kg}}\cdot\left(0,10\cdot 3,00\cdot10^8\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\right)^2}{2\cdot 1,60\cdot10^{-19}\,{\rm{A\cdot s}}}=4,70\cdot 10^6\, {\rm{V}}\]

Relativistische Rechnung: \[E_{\rm{gesamt}}=E_0+E_{\rm{kin}} \Leftrightarrow m(v)_{\rm{P}}\cdot c^2 = m_{0_{,\rm{P}}}\cdot c^2 + U_{\rm{Grenz}}\cdot e\]

\[\Leftrightarrow U_{\rm{Grenz}}\cdot e = m(v)_{\rm{P}}\cdot c^2-m_{0_{,\rm{P}}}\cdot c^2\]

Mit der relativistischen Massenformel \(m(v)_{\rm{P}} = \frac{m_{0_{,\rm{P}}}}{\sqrt{1-\frac{v_{\rm{Grenz}}^2}{c^2}}}\) folgt:

\[U_{\rm{Grenz}}\cdot e = c^2\cdot \left(\frac{m_{0_{,\rm{P}}}}{\sqrt{1-\frac{V_{\rm{Grenz}}^2}{c^2}}}-m_{0_{,\rm{P}}}\right) = m_{0_{,\rm{P}}}\cdot c^2\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{V_{\rm{Grenz}}^2}{c^2}}}-1\right)  \]

\[\Leftrightarrow U_{\rm{Grenz}} = \frac{m_{0_{,\rm{P}}}\cdot c^2}{e}\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{V_{\rm{Grenz}}^2}{c^2}}}-1\right)\]

Einsetzen der gegebenen Werte liefert:

\[ U_{\rm{Grenz}} = \frac{1,67\cdot 10^{-27}\,{\rm{kg}}\cdot \left(3,00\cdot 10^8\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\right)^2}{1,60\cdot 10^{-19}\,{\rm{A\cdot s}}}\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{1-\left(0,10^2\right)}}-1\right)=4,73\cdot 10^6\,{\rm{V}}\]

Hinweis: Ab einer Beschleunigungsspannung von ca. \(4,7\rm{MV}\) muss man bei Protonen relativistisch rechnen.

Umrechnung der Gesamtenergie in \(\rm{J}\):

\[E_{\rm{ges}}=3,00\cdot 10^9\,{\rm{eV}}=\left(3,00\cdot 10^9\cdot 1,60\cdot10^-19\right)\,{\rm{J}} = 4,81\cdot 10^{-19}\,{\rm{J}}\]

Berechnung der Ruheenergie:

\[E_{0_{,\rm{P}}}= m_0\cdot c^2 \Rightarrow E_{0_{,\rm{P}}} = 1,67\cdot 10^{-27}\,{\rm{kg}}\cdot \left(3,00\cdot 10^8\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\right)^2 = 1,50\cdot 10^{-10}\,{\rm{J}}=9,4\cdot 10^8\,{\rm{eV}}\]

Berechnung der kinetischen Energie:

\[E_{\rm{kin}}=E_{\rm{ges}}-E_0\]

\[\Rightarrow E_{\rm{kin}} = 4,81\cdot 10^{-10}\,{\rm{J}}-1,50\cdot 10^{-10}\,{\rm{J}}=3,31\cdot 10^{-10}\,{\rm{J}}=2,07\cdot 10^9\,{\rm{eV}}\]

Anteil der kin. Energie an der Gesamtenergie:

\[\frac{E_{\rm{kin}}}{E_{\rm{ges}}}=\frac{2,07\cdot 10^9\,{\rm{eV}}}{3,00\cdot 10^9\,{\rm{eV}}}=69\%\]

Berechnung des Massenverhältnisses:

relativistische Masse: \[m(v)_{,\rm{P}} = \frac{m_{o_{,\rm{P}}}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{E_{\rm{ges}}}{c^2}\]

Ruhemasse: \[m_{0_{,\rm{P}}}=\frac{E_0}{c^2}\]

Damit folgt für das Verhältnis aus beiden Massen:

\[\Rightarrow \frac{m(v)_{,\rm{P}}}{m_{0_{,\rm{P}}}}=\frac{E_{\rm{ges}}}{E_0} \]

\[\Rightarrow \frac{m(v)_{,\rm{P}}}{m_{0_{,\rm{P}}}} = \frac{3,00\cdot 10^9\,{\rm{eV}}}{9,40\cdot 10^8\,{\rm{eV}}}=3,19 \]

Berechnung der Geschwindigkeit:

\[m(v)_{,\rm{P}} = \frac{m_{0_{,\rm{P}}}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \Leftrightarrow \frac{m(v)_{,\rm{P}}}{m_{0_{,\rm{P}}}} =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\]

\[\Leftrightarrow \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=\frac{1}{\left(\frac{m(v)_{,\rm{P}}}{m_{0_{,\rm{P}}}}\right)} \Leftrightarrow 1-\frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{\left(\frac{m(v)_{,\rm{P}}}{m_{0_{,\rm{P}}}}\right)^2}\]

\[\Leftrightarrow \frac{v^2}{c^2} = 1- \frac{1}{\left(\frac{m(v)_{,\rm{P}}}{m_{0_{,\rm{P}}}}\right)^2} \Leftrightarrow v=\sqrt{1-\frac{1}{\left(\frac{m(v)_{,\rm{P}}}{m_{0_{,\rm{P}}}}\right)^2}}\cdot c\]

Einsetzen des bereits errechneten Massenverhältnisses liefert:

\[v = \sqrt{1-\frac{1}{3,19^2}}\cdot c = 0,95\cdot c\]

Ansatz für bewegte Ladungen im Magnetfeld: Die LORENTZ-Kraft wirkt als Zentripetalkraft und zwingt die Protonen auf eine Kreisbahn. Somit gilt:

\[F_L=F_{ZP}\Leftrightarrow e\cdot v\cdot B = \frac{m(v)_{,\rm{P}}\cdot v^2}{r}\]

Mit \(r = \frac{U}{2\cdot \pi}\) folgt:

\[e\cdot v\cdot B = \frac{m(v)_{,\rm{P}}\cdot 2\cdot \pi\cdot v^2}{U} \Leftrightarrow B = \frac{m(v)_{,\rm{P}}\cdot 2\cdot \pi \cdot v}{U\cdot e}\]

Einsetzen der Werte liefert:

\[B =\frac{3,19\cdot 1,27\cdot10^{-27}\,{\rm{kg}}\cdot 0,95\cdot 3,00\cdot 10^8\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\cdot 2\cdot \pi}{1500\,{\rm{m}}\cdot 1,60\cdot 10^{-19}\,{\rm{A\cdot s}}}=0,04,{\rm{T}}\]