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Aufgabe

Relativistische Elektronen

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

In ein homogenes Magnetfeld schießt man Elektronen senkrecht zur Richtung des Feldes ein. Sie beschreiben dort Kreisbahnen.

a)Zeige, dass die Umlaufzeit \(T\) der Elektronen auf ihren Kreisbahnen nicht von ihrer Geschwindigkeit \(v\) abhängt, solange \(v < 0,1 c\) ist.

b)Leite eine Formel für die Abhängigkeit der Umlaufzeit \(T\) von der Geschwindigkeit \(v\) ab, wenn man den relativistischen Massenzuwachs der Elektronen berücksichtigen muss.

c)Berechne, bei welcher Bahngeschwindigkeit der Elektronen sich gegenüber dem nichtrelativistischen Fall die 1,25-fache Umlaufdauer ergibt.

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a)Die notwendige Zentripetalkraft wird durch die Lorentzkraft aufgebracht:\[ F_{zp} = F_1 \quad \Rightarrow \quad \frac{m \cdot v^2}{r} = e \cdot v \cdot B \quad \Rightarrow \quad \frac{r}{v} = \frac{m}{e \cdot B} \qquad \text{(1)} \]Für die Umlaufdauer gilt\[ T_0 = \frac{ 2 \cdot \pi \cdot r}{v} \qquad \text{(2)} \]Setzt man (1) in (2) ein, so ergibt sich\[ T_0 = \frac{2 \cdot \pi \cdot m}{e \cdot B} \]Der Ausdruck für \(T_0\) ist konstant, solange sich \(m\) nicht wesentlich ändert. Dies ist für \(v < 0,1c\) gut erfüllt.

b)Nun muss man die Massenveränderlichkeit berücksichtigen:\[ T = \frac{2 \cdot \pi}{e \cdot B} \cdot \frac{m_0}{ \sqrt{ 1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2 } } \]

c)Für das Verhältnis der Umlaufdauern gilt aus der Angabe\[ \frac{T}{T_0} = 1,25 \]Mit Hilfe der Teilaufgaben a) und b) kann man für das Verhältnis auch schreiben\[ \frac{1}{ \sqrt{ 1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2 } } = 1,25 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{ 1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2 } = 0,8 \quad \Rightarrow \quad v = 0,6 \cdot c \]