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Aufgabe

Positronen im Magnetfeld

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Ein 22Na-Präparat befindet sich in einem homogenen Magnetfeld der Flussdichte B = 0,020T. Eine Lochblende ist so angeordnet, dass nur Positronen die eine halbkreisförmige Flugbahn mit dem Radius r = 0,10m durchlaufen haben, zu einer Aluminiumfolie gelangen. Die gesamte Anordnung befindet sich im Vakuum.

Einige der Positronen werden beim Durchqueren der Aluminiumfolie "im Flug vernichtet". Dabei entstehen wenigstens zwei Gammaquanten, die in diesem Fall in den Detektoren D1 und D2 nachgewiesen werden.

Hinweise

Ein Positron ist das Antiteilchen zum Elektron. Teilchen und Antiteilchen besitzen die gleich Masse, aber unterschiedliche Ladung.

Bei der Paarvernichtung verschwinden die beiden materiellen Teilchen Positron und Elektron, dabei entsteht elektromagnetische Strahlung

a)Berechne den Impuls, den diejenigen Positronen besitzen, die den Halbkreis durchlaufen haben und auf die Aluminiumfolie treffen.

b)Schätze mit Hilfe des Ergebnisses von Teilaufgabe a) ab, ob für diese Positronen klassisch oder relativistisch zu rechnen ist.

c)Berechne die kinetische Energie, die die auftretenden Positronen besitzen.

d)Begründe, warum Paarvernichtung (bei Abwesenheit eines dritten Partners) nur stattfindet, wenn mindestens zwei Gammaquanten gebildet werden.

e)Berechne die Energien der beiden Gammaquanten.

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a)Damit die Teilchen eine Kreisbahn durchlaufen, muss eine Zentripetalkraft \(F_{\rm{ZP}}\) wirken. Dies ist in diesem Beispiel die LORENTZ-Kraft \(F_{\rm{L}}\):\[{F_{{\rm{ZP}}}} = {F_{\rm{L}}} \Leftrightarrow \frac{{m \cdot {v^2}}}{r} = e \cdot v \cdot B \Leftrightarrow m \cdot v = e \cdot r \cdot B \Rightarrow p = e \cdot r \cdot B\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[p = 1,60 \cdot {10^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot 0,10{\rm{m}} \cdot 0,020{\mkern 1mu} \frac{{{\rm{Vs}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}} = 3,2 \cdot {10^{ - 22}}{\rm{Ns}}\]

b)Nichtrelativistische Abschätzung der Geschwindigkeit:\[p \approx {m_0} \cdot v \Leftrightarrow v \approx \frac{p}{{{m_0}}} \Rightarrow v \approx \frac{{3,2 \cdot {{10}^{ - 22}}}}{{9,11 \cdot {{10}^{ - 31}}}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \approx 3,5 \cdot {10^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} > c\]Es ergibt sich Überlichtgeschwindigkeit, also muss relativistisch gerechnet werden.

c)Berechnung der kinetischen Energie:\[{E^2} = E_0^2 + {p^2} \cdot {c^2} \Rightarrow E = \sqrt {E_0^2 + {p^2} \cdot {c^2}} \]\[{E_{{\rm{kin}}}} = E - {E_0} = \sqrt {E_0^2 + {{\left( {p \cdot c} \right)}^2}}  - {E_0}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\begin{eqnarray}{E_{{\rm{kin}}}} &=& \sqrt {{{\left( {0,511{\rm{MeV}}} \right)}^2} + {{\left( {3,2 \cdot {{10}^{ - 22}}{\rm{Ns}} \cdot 3,0 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}  - 0,511{\rm{MeV}}\\ &=& \sqrt {{{\left( {0,511{\rm{MeV}}} \right)}^2} + {{\left( {9,6 \cdot {{10}^{ - 14}} \cdot \frac{{{{10}^{ - 6}}{\rm{MeV}}}}{{1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}}}} \right)}^2}}  - 0,511{\rm{MeV}} = 277{\rm{keV}}\end{eqnarray}\]

d)Im Schwerpunktssystem von Elektron und Positron ist der Gesamtimpuls Null. Ein Gammaquant allein hätte in diesem System aber einen von Null verschieden Impuls, so dass der Impulserhaltungssatz verletzt wäre.

e)\(p_{\rm{Pos}}\): Impuls des Positrons ; \(p_2\): Impuls des Gammaquants in Flugrichtung des Positrons ; \(p_1\): Impuls des Gammaquants entgegen der Flugrichtung des Positrons. Nach dem Impulserhaltungssatz:\[{p_{\rm{Pos}}} = {p_2} - {p_1} = \frac{{{E_2}}}{c} - \frac{{{E_1}}}{c} \Leftrightarrow {E_1} = {E_2} - {p_{\rm{Pos}}} \cdot c\quad (1)\]Energieerhaltungssatz:Die Energien der beiden Gammaquanten ist gleich der Summe der Gesamtenergie des Positrons und der Ruheenergie des Elektrons\[{E_2} + {E_1} = \sqrt {E_{\rm{0,Pos}}^2 + {{\left( {{p_{\rm{Pos}}} \cdot c} \right)}^2}}  + {E_{\rm{0,Elek}}}\quad (2)\]Setzt man \((1)\) in \((2)\) ein, so folgt\[{E_2} + {E_2} - {p_{\rm{Pos}}} \cdot c = \sqrt {E_{\rm{0,Pos}}^2 + {{\left( {{p_{\rm{Pos}}} \cdot c} \right)}^2}}  + {E_{\rm{0,Elek}}} \Rightarrow 2 \cdot {E_2} = \sqrt {E_{\rm{0,Pos}}^2 + {{\left( {{p_{\rm{Pos}}} \cdot c} \right)}^2}}  + {E_{\rm{0,Elek}}} + {p_{\rm{Pos}}} \cdot c\]Division durch \(2\) ergibt\[{E_2} = \frac{1}{2} \cdot \left( {\sqrt {E_{\rm{0,Pos}}^2 + {{\left( {{p_{\rm{Pos}}} \cdot c} \right)}^2}}  + {E_{\rm{0,Elek}}} + {p_{\rm{Pos}}} \cdot c} \right)\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{E_2} = \frac{1}{2} \cdot \left( {788{\rm{keV}} + 511{\rm{keV}} + 600{\rm{keV}}} \right) = 950{\rm{keV}}\]Mit Hilfe von \((1)\) erhält man für \(E_1\)\[{E_1} = {E_2} - {p_{\rm{Pos}}} \cdot c \Rightarrow {E_1} = 950{\rm{keV}} - 600{\rm{keV}} = 350{\rm{keV}}\]