Spezielle Relativitätstheorie

Die Zentripetalkraft, welche für die Kreisbahn notwendig ist, wird durch die Lorentzkraft aufgebracht. Es gilt:
\[{F_{\rm{zentripetal}}} = {F_{\rm{Lorentz}}} \Rightarrow \frac{{m \cdot {v^2}}}{r} = e \cdot v \cdot B\]\[\Leftrightarrow m \cdot v = r \cdot e \cdot B \Leftrightarrow p = r \cdot e \cdot B\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[p = 0{,}044 \cdot 1{,}60 \cdot 1{0^{ - 19}} \cdot 6{,}0 \cdot 1{0^{ - 2}}\rm{m\cdot A\cdot s \cdot \frac{{V \cdot s}}{{{m^2}}}} \approx 4{,}2 \cdot {10^{ - 22}}\,\rm{Ns}\]

Die klassische Rechnung mit einer geschwindigkeitsunabhängigen Masse würde für \(v\) ergeben:
\[{m_0} \cdot v = p \Leftrightarrow v = \frac{p}{{{m_0}}}\]Einsetzen der Werte liefert\[ v = \frac{{4{,}2 \cdot {{10}^{ - 22}}}}{{9{,}11 \cdot {{10}^{ - 31}}}}\rm{\frac{{N \cdot s}}{{kg}}} \approx 4{,}6 \cdot {10^8}\,\rm{\frac{m}{s}} > c\]

Unter Berücksichtigung der relativistischen Massenformel ergibt sich:
\[\frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} \cdot v = p\Leftrightarrow {m_0} \cdot v = p \cdot \sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}}\]\[m_0^2 \cdot {v^2} = {p^2} \cdot \left( {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} \right)\Leftrightarrow m_0^2 \cdot {v^2} = {p^2} - {p^2} \cdot {\left( {\frac{v}{c}} \right)^2}\]\[ {v^2} \cdot \left( {m_0^2 + {{\left( {\frac{p}{c}} \right)}^2}} \right) = {p^2}\]\[v = \frac{p}{{\sqrt {m_0^2 + {{\left( {\frac{p}{c}} \right)}^2}} }}\]Einsetzen führt zu\[v = \frac{{4,2 \cdot {{10}^{ - 22}}}}{{\sqrt {{{\left( {9,11 \cdot {{10}^{ - 31}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{4,2 \cdot {{10}^{ - 22}}}}{{3,0 \cdot {{10}^8}}}} \right)}^2}} }}\rm{\frac{{N \cdot s}}{{kg}}}\]\[v \approx \frac{{4{,}2 \cdot {{10}^{ - 22}}}}{{1{,}67 \cdot {{10}^{ - 30}}}}\,\rm{\frac{m}{s}} = 2{,}5 \cdot {10^8}\,\rm{\frac{m}{s}} < c\]