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Aufgabe

Geschwindigkeit aus der Energie

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Bestimmen Sie die Geschwindigkeit eines Elektrons, das eine Beschleunigungsspannung von \(800\,\rm{kV}\) durchlaufen hat.

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Für die kinetische Energie gilt\[ E_{\rm{kin}} = m \cdot c^2 - m_0 \cdot c^2 \]Nach dem Durchlaufen der Spannung von \(800 \mathrm{kV}\) hat das Elektron die kinetische Energie von \(800 \mathrm{keV} = 0,800 \mathrm{MeV}\). Durch Einsetzen der detaillierten Formeln und durch algebraische Umformungen erhält man \(v\):\[\frac{{{m_0} \cdot {c^2}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} = {E_{{\rm{kin}}}} + {m_0} \cdot {c^2} \Leftrightarrow \sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}}  = \frac{{{m_0} \cdot {c^2}}}{{{E_{{\rm{kin}}}} + {m_0} \cdot {c^2}}} \Leftrightarrow \frac{v}{c} = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{{m_0} \cdot {c^2}}}{{{E_{kin}} + {m_0} \cdot {c^2}}}} \right)}^2}} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\frac{v}{c} = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{0,511}}{{0,800 + 0,511}}} \right)}^2}}  = 0,92 \Rightarrow v = 0,92 \cdot c\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Relativitätstheorie

Spezielle Relativitätstheorie