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Aufgabe

TESLA-Beschleuniger (Abitur BY 2004 GK A2-3)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Der geplante Teilchenbeschleuniger TESLA soll mit gepulsten Elektronenpaketen arbeiten. Diese werden erzeugt, indem man im Vakuum eine Photokathode aus Cäsium-Tellurid mit kurzen Laserpulsen bestrahlt. Die Grenzwellenlänge dieser Photokathode wird mit \(260{\rm{nm}}\) angegeben.

a)Berechnen Sie die Mindestenergie, die die Photonen des Laserpulses haben müssen, um Photoelektronen auslösen zu können. [zur Kontrolle: \(4,77{\rm{eV}}\)] (3 BE)

b)Berechnen Sie die maximale Austrittsgeschwindigkeit der Photoelektronen, wenn man Strahlung der Wellenlänge \(255{\rm{nm}}\) benutzen würde. (6 BE)

c)Um Photoelektronen mit vernachlässigbarer Austrittsgeschwindigkeit zu erhalten, bestrahlt man die Kathode mit Laserpulsen der Wellenlänge \(260{\rm{nm}}\). Ein solcher Laserpuls erzeugt dabei ein Elektronenpaket der Ladung \(1,0{\rm{nAs}}\).

Berechnen Sie die Energie eines solchen Laserpulses unter der Annahme, dass nur 2,0% der Laserphotonen Elektronen auslösen. (5 BE)

d)Alternativ wird ein Laserpuls gleicher Energie wie in Teilaufgabe c), aber kürzerer Wellenlänge verwendet. Der Auslöseanteil wird wieder mit 2,0% angenommen.

Erläutern Sie, wie sich die Zahl der ausgelösten Photoelektronen ändert. (4 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Für den Photoeffekt gilt die Gleichung von EINSTEIN\[h \cdot f = {W_{\rm{A}}} + {E_{{\rm{kin}}}}\]Die Mindestenergie \(E_{\rm{min}}\) ist für den Fall \(E_{\rm{kin}} = 0\) berechenbar:\[{E_{{\rm{min}}}} = {W_{\rm{A}}} = \frac{{h \cdot c}}{{{\lambda _{\rm{G}}}}} \Rightarrow {E_{{\rm{min}}}}\frac{{6,63 \cdot {{10}^{ - 34}}{\rm{Js}} \cdot 3,00 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{260 \cdot {{10}^{ - 9}}{\rm{m}}}} = 7,65 \cdot {10^{ - 19}}{\rm{J}} = 4,77{\rm{eV}}\]

b)Die Geschwindigkeit der Elektronen erhält man ebenfalls mit der Gleichung von EINSTEIN\[\frac{{h \cdot c}}{\lambda } = {W_{\rm{A}}} + {E_{{\rm{kin}}}} \Leftrightarrow {E_{{\rm{kin}}}} = \frac{{h \cdot c}}{\lambda } - {W_{\rm{A}}}\]Mit \({E_{{\rm{kin}}}} = \frac{1}{2} \cdot {m_e} \cdot {v^2}\) ergibt sich\[\frac{1}{2} \cdot {m_e} \cdot {v^2} = \frac{{h \cdot c}}{\lambda } - {W_{\rm{A}}} \Rightarrow v = \sqrt {\frac{2}{{{m_e}}} \cdot \left( {\frac{{h \cdot c}}{\lambda } - {W_{\rm{A}}}} \right)} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[v = \sqrt {\frac{2}{{9,1 \cdot {{10}^{ - 31}}\rm{kg}}} \cdot \left( {\frac{{6,63 \cdot {{10}^{ - 34}}{\rm{Js}} \cdot 2,99 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{255 \cdot {{10}^{ - 9}}{\rm{m}}}} - 7,65 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{J}}} \right)}  = 1,81 \cdot {10^5}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]

c)Berechnung der Zahl \({N_e}\) der ausgelösten Fotoelektronen:\[{N_e} = \frac{Q}{e} \Rightarrow {N_e} = \frac{{1,0 \cdot {{10}^{ - 9}}{\rm{As}}}}{{1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}}}} = 6,25 \cdot {10^9}\]Da nur 2% der auftreffenden Photonen Elektronen auslösen, gilt für die Zahl \({N_{{\rm{Ph}}}}\) der ankommenden Photonen\[{N_{{\rm{Ph}}}} = \frac{{{N_e}}}{{0,02}} \Rightarrow {N_{{\rm{Ph}}}} = \frac{{6,25 \cdot {{10}^9}}}{{0,02}} = 3,13 \cdot {10^{11}}\]Da nach Teilaufgabe a) jedes dieser Photonen die Energie \({7,65 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{J}}}\), hat ergibt sich für die Energie \(E_{\rm{P}}\) des Pulses\[{E_{\rm{P}}} = {N_{{\rm{Ph}}}} \cdot {W_{\rm{A}}} \Rightarrow {E_{\rm{P}}} = 3,13 \cdot {10^{11}} \cdot 7,65 \cdot {10^{ - 19}}{\rm{J}} = 2,4 \cdot {10^{ - 7}}{\rm{J}}\]

d)Die Zahl der ausgelösten Fotoelektronen wird geringer, da bei kürzerer Wellenlänge weniger (aber energiereichere) Photonen im Laserpuls enthalten sind.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Quantenphysik

Quantenobjekt Photon