Ein schmales Lichtbündel aus einer Quecksilberdampflampe strahlt auf ein Gitter mit \(640\) Strichen pro Millimeter. Das entstehende Spektrum wird mit einem Detektor untersucht, der auf einer Kreislinie bewegt werden kann.
a)Unter dem Winkel \(\alpha = 16,2^\circ \) fällt das Licht des Maximums 1. Ordnung einer bestimmten Spektrallinie auf den Detektor.
Berechne die Wellenlänge \(\lambda \) der Linie. [zur Kontrolle: \(\lambda = 436{\rm{nm}}\)] (4 BE)
b)Untersuche, bis zu welcher Ordnung Spektrallinien der in Teilaufgabe a) ermittelten Wellenlänge zu erwaren sind. (5 BE)
Als Detektor wird eine Vakuumphotozelle verwendet, die an ein Spannungsmessgerät mit sehr hohem Innenwiderstand angeschlossen ist. Wenn die Photozelle mit dem Licht einer Spektrallinie beleuchtet wird, stellt sich eine bestimmte Spannung \(U\) ein.
c)Erkläre, warum für die Spannung \(U\) der Zusammenhang \({e \cdot U = h \cdot f - {W_{\rm{A}}}}\) gilt. Dabei ist \(h\) die PLANCK-Konstante, \(f\) die Frequenz des Lichts und \({{W_{\rm{A}}}}\) die Austrittsarbeit des Kathodenmaterials. (5 BE)
d)Die Intensität der Linie zweiter Ordnung ist deutlich geringer als diejenige der Linie erster Ordnung.
Gib mit Begründung an, ob sich dies grundsätzlich auf die Spannung an der Photozelle auswirkt. (5 BE)
e)Der Aufbau kann prinzipiell zur Bestimmung sowohl von \(h\) als auch von \({{W_{\rm{A}}}}\) dienen.
Beschreibe, wie man aus den Werten für den Winkel \(\alpha \), unter dem das Maximum 1. Ordnung auftritt, und \(U\) für verschiedene Spektrallinien die gesuchten Größen erhält. (9 BE)
Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
a)Berechnung der Wellenlänge des Lichts mit Hilfe des Maximums 1. Ordnung. Mit der Gitterkonstante \(g = \frac{{1 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{m}}}}{{640}} \approx 1,562 \cdot {10^{ - 6}}{\rm{m}}\) lautet die Bedingung für das Maximum 1. Ordnung\[g \cdot \sin \left( \alpha \right) = 1 \cdot \lambda \Rightarrow \lambda = 1,562 \cdot {10^{ - 6}}{\rm{m}} \cdot \sin \left( {{{16,2}^\circ }} \right) \approx 436{\rm{nm}}\]
b)Für das Maximum \(k\)-ter Ordnung gilt \[g \cdot \sin \left( \alpha \right) = k \cdot \lambda \;; k \in \mathbb{N} \Rightarrow \sin \left( \alpha \right) = \frac{{k \cdot \lambda }}{g}\quad(1)\]Da stets gilt \(\sin \left( \alpha \right) \le 1\) folgt mit \((1)\)\[\frac{{k \cdot \lambda }}{g} \le 1 \Rightarrow k \le \frac{g}{\lambda } \Rightarrow k \le \frac{{1,562 \cdot {{10}^{ - 6}}{\rm{m}}}}{{436 \cdot {{10}^{ - 9}}{\rm{m}}}} \Rightarrow k \le 3\]Es sind Spektrallinien bis zur 3. Ordnung mit der Wellenlänge \(432{\rm{nm}}\) zu erwarten.
c)Eingestrahlte Photonen übertragen die Energie \({h \cdot f}\) auf Elektronen der Photokathode. Diese verlieren auf dem Weg vom "Festkörper Photokathode" ins Vakuum einen Energiebetrag, welcher der Austrittsarbeit \({{W_{\rm{A}}}}\) entspricht. Somit haben die ins Vakuum gelangenden Photoelektronen die kinetische Energie \({E_{{\rm{kin}}}} = h \cdot f - {W_{\rm{A}}}\). Von der Kathode wandern diese Elektronen zur Anode der Photozelle, welche sich mit zunehmender Aufnahme von Photoelektronen negativ auflädt. Die zunehmend negative Aufladung der Anode geht nur solange, wie die kinetische Energie der Photoelektronen ausreicht das elektrische Gegenfeld zu überwinden. Wenn die Feldarbeit \({e \cdot U}\) gerade gleich der kinetischen Energie der ausgelösten Elektronen \({h \cdot f - {W_{\rm{A}}}}\) ist, stellt sich ein stationärer Zustand ein, bei dem gilt\[{e \cdot U = h \cdot f - {W_{\rm{A}}}}\quad(2)\]
d)Wenn der Spannungsmesser hochohmig genug ist, bleibt die Spannung auch bei der wesentlich weniger intensiven Linie zweiter Ordnung genauso hoch wie bei der Linie 1. Ordnung. Geringere Intensität bedeutet ja nicht geringere Photonenenergie und damit geringere kinetische Energie der ausgelösten Photoelektronen, sondern nur eine geringe Zahl eintreffender Photonen. In der die Spannung bestimmenden Gleichung \((2)\) von Teilaufgabe c) kommt aber die Photonenzahl gar nicht vor, sondern nur die Photonenenergie, die aber bei der Linie 1. und 2. Ordnung gleich ist.
e)Man misst für verschiedenfarbige Linien die sich am Spannungsmesser einstellende Photospannung \({U_{\rm{i}}}\) sowie den zugehörigen Winkel des Maximums 1. Ordnung \({\alpha _{\rm{i}}}\) und berechnet daraus mit Hilfe von \({{f_i} = \frac{c}{{{\lambda _i}}}\quad(1)}\) und \({g \cdot \sin \left( {{\alpha _i}} \right) = 1 \cdot {\lambda _i}\quad(2)}\) die jeweilige Frequenz\[{{f_i} = \frac{c}{{g \cdot \sin \left( {{\alpha _i}} \right)}}}\]Schließlich zeichnet man ein \(f\)-\({e \cdot U}\)-Diagramm, aus dem sowohl die Planck-Konstante \(h\) als auch die Ablösearbeit \({{W_{\rm{A}}}}\) entnommen werden können.
Im \(f\)-\({e \cdot U}\)-Diagramm ergibt sich eine Gerade. Der Schnittpunkt der Geraden mit der \({e \cdot U}\)-Achse gibt den Betrag der Austrittsarbeit für die Elektronen an, was man unmittelbar aus der „Geradengleichung“ \({e \cdot U = h \cdot f - {W_{\rm{A}}}}\) ersehen kann. Die Steigung der Geraden ergibt die Planck-Konstante: Aus \({e \cdot {U_1} = h \cdot {f_1} - {W_{\rm{A}}}\quad(1)}\) und \({e \cdot {U_2} = h \cdot {f_2} - {W_{\rm{A}}}\quad(2)}\) ergibt sich durch Subtraktion von \((2)\) von \((1)\) \[{e \cdot \Delta U = h \cdot \Delta f \Rightarrow h = \frac{{e \cdot \Delta U}}{{\Delta f}}}\]
Hinweis: In dieser Lösung sind eine Reihe graphischer Erläuterungen beigefügt, welche in der Abiturarbeit nicht gefordert waren.
