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Aufgabe

Gesetz von DUANE und HUNT

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

1916 fanden die amerikanischen Physiker William DUANE (1872 - 1935) und Franklin HUNT (1883 - ?) bei der Untersuchung des kontinuierlichen Teils von Röntgenemissionsspektren, dass  zwischen der kurzwelligen Grenze \(\lambda _{\min}\) des Spektrums und der Beschleunigungsspannung \(U\) der Röntgenröhre der  Zusammenhang \({\lambda _{\min}} \cdot U = K\;(\rm{konstant})\) besteht. Dies bezeichnet man als das Duane-Hunt-Gesetz.

a)Skizzieren und erläutern Sie eine Anordnung, mit der die obige Gesetzmäßigkeit überprüft werden kann.

b)Skizzieren Sie qualitativ für zwei unterschiedliche Betriebsspannungen \({U_1} < {U_2}\) die zugehörigen kontinuierlichen Röntgenspektren, und beschriften Sie die Graphen eindeutig.

c)Erläutern Sie kurz, wie es zur Entstehung des kontinuierlichen Teils des Röntgenspektrums kommt. Gehen Sie insbesondere auf die Entstehung der kurzwelligen Grenzwellenlänge \(\lambda _{\min}\) ein.

d)Drücken Sie die Konstante \(K\) des Duane-Hunt-Gesetzes durch Naturkonstanten aus und berechnen Sie den Wert von \(K\).

e)Bestimmen Sie den Wert der Planckschen Konstante \(h\) aus \(U = 29,1{\rm{kV}}\) und \({\lambda _{\min }} = 42,6 \cdot {10^{ - 12}}{\rm{m}}\).

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a)Die von der Röntgenröhre bei einer bestimmten Beschleunigungsspannung \({U_{\rm{a}}}\) erzeugte elektromagnetische Strahlung wird durch einen Bragg-Einkristall analysiert. Dabei wird der Glanzwinkel \(\vartheta \) variiert und mit dem Zählrohr die jeweilige Intensität registriert.

Aus \(\vartheta \) und dem Netzebenenabstand \(d\) des Kristalls kann die Wellenlänge der Strahlung über die Braggbeziehung\[2 \cdot d \cdot \sin \left( \vartheta  \right) = k \cdot \lambda \; ({\rm{meist}}\;k = 1)\]berechnet werden.

Der Versuch wird bei verschiedenen Beschleunigungsspannungen durchgeführt.

 

b)Nebenstehend ist nur das kontinuierliche Bremsspektrum bei verschiedenen Spannungen dargestellt. Die Linien des charakteristischen Spektrums sind ausgeblendet.

c)Bei der Abbremsung der Elektronen an der Anode der Röntgenröhre wird deren kinetische Energie dazu verwandt die innere Energie der Anode zu erhöhen und Photonen zu erzeugen.

Je nachdem wie sich die kinetische Energie der Elektronen auf die Photonen verteilt, resultiert Strahlung unterschiedlicher Wellenlänge, die in ihrer Gesamtheit zum kontinuierlichen Bremsspektrum führt.

Wird die gesamte kinetische Energie eines Elektrons dazu benutzt ein einziges Photon zu erzeugen, so ist dies ein Photon das zu einer Strahlung mit der kürzesten Wellenlänge \({\lambda _{\min }}\) gehört.

d)Durchläuft ein Elektron in einer Röntgenröhre die Spannung \(U\), so wird seine potenzielle Energie \({{E_{{\rm{pot}}}} = e \cdot U}\) in kinetische Energie \({{E_{{\rm{kin}}}}}\) umgewandelt. Dies ist die maximale Energie, die das Elektron in der Röntgenröhre an ein Photon mit \({{E_{{\rm{Ph}}}} = h \cdot f}\) abgeben kann. Aus der Energieerhaltung ergibt sich mit \({f = \frac{c}{\lambda }}\)\[{\frac{{h \cdot c}}{{{\lambda _{\min }}}} = e \cdot U \Leftrightarrow {\lambda _{\min }} \cdot U = \frac{{h \cdot c}}{e} = K\;({\rm{konstant}})}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{K = \frac{{6,63 \cdot {{10}^{ - 34}}{\rm{Js}} \cdot 3,00 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}}}} = 1,24 \cdot {{10}^{ - 6}}{\rm{Vm}}}\]

e)Analoge Überlegungen wie in Aufgabenteil d) liefern\[{\frac{{h \cdot c}}{{{\lambda _{\min }}}} = e \cdot U \Leftrightarrow h = \frac{{e \cdot U \cdot {\lambda _{\min }}}}{c} \Rightarrow h = \frac{{1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot 29,1 \cdot {{10}^3}{\rm{V}} \cdot 42,6 \cdot {{10}^{ - 12}}{\rm{m}}}}{{3,00 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} = 6,61 \cdot {{10}^{ - 34}}{\rm{Js}}}\]