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Versuche

Versuch von DAVISSON und GERMER

Davisson und seinem Assistent Germer gelang 1927 es als einer der ersten in den Bell-Laboratorien den Wellencharakter von Elektronenstrahlung nachzuweisen.

Im Davisson-Germer-Experiment wurden Elektronen senkrecht auf die Oberfläche eines Nickel-Einkristalls geschossen und die Intensität der reflektierten Elektronen als Funktion des Streuwinkels β gemessen. Die Intensität der Streustrahlung wurde aus dem Strom bestimmt, der vom Auffänger (Faraday-Becher) zur Erde abfloss.

Zur Überraschung der Experimentatoren ergaben sich keine "glatten" Kurven, sondern - abhängig vom Streuwinkel und der Beschleunigungsspannung ausgeprägte Maxima. In den folgenden Bildern sind Polardiagramme der Streuintensität dargestellt.

Man sieht, dass bei einer Beschleunigungsspannung von 54V ein besonders ausgeprägtes Maximum der Streustrahlung und dem Winkel β = 50° auftritt. Man vermutete nun, dass es sich bei den Maxima - ähnlich wie bei der Röntgenstrahlung - um Beugungserscheinungen am Raumgitter des Kristalls handelt, welche schließlich zu Interferenzerscheinungen führen. Zum Verständnis war es also notwendig, die Elektronen als Materiewellen aufzufassen.

Mit Hilfe einer Detailbetrachtung kann gezeigt werden, dass die Versuchsergebnisse von Davisson und Germer, den von de Broglie in seiner Promotionsarbeit formulierten Zusammenhang zwischen Materiewellenlänge und Impuls bestätigen.

Auffälligstes Ergebnis

Bei einer Beschleunigungsspannung von \(54\rm{V}\) tritt unter dem Winkel \(\beta {\rm{ = }}50^\circ \) ein deutliches Maximum auf.

Berechnung der Materiewellenlänge nach de BROGLIE

Die Elektronen besitzen die kinetische Energie von \(54\rm{eV}\). Bei diesen geringen Energien ist die nichtrelativistische Energie-Impuls-Beziehung anwendbar:
\[{E_{{\rm{kin}}{\rm{,e}}}} = \frac{{{m_{{\rm{0}}{\rm{,e}}}} \cdot {v^2}}}{2} = \frac{{{m_{{\rm{0}}{\rm{,e}}}}^2 \cdot {v^2}}}{{2 \cdot {m_{{\rm{0}}{\rm{,e}}}}}} = \frac{{{p^2}}}{{2 \cdot {m_{{\rm{0}}{\rm{,e}}}}}} \Rightarrow p = \sqrt {2 \cdot {m_{{\rm{0}}{\rm{,e}}}} \cdot {E_{{\rm{kin}}{\rm{,e}}}}} \]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[p = \sqrt {2 \cdot 9,11 \cdot {{10}^{ - 31}}{\rm{kg}} \cdot 54 \cdot 1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{V}}}  = 3,97 \cdot {10^{ - 24}}{\rm{Ns}}\]
Mit dem Ansatz von de BROGLIE folgt für die Materiewellenlänge
\[{\lambda _{{\rm{dB}}}} = \frac{h}{p} \Rightarrow {\lambda _{{\rm{dB}}}} = \frac{{6,63 \cdot {{10}^{ - 34}}{\rm{Js}}}}{{3,97 \cdot {{10}^{ - 24}}{\rm{Ns}}}} = 1,67 \cdot {10^{ - 10}}{\rm{m}}\]

Berechnung der Wellenlänge mit Hilfe der Beziehung von BRAGG

Durch Röntgenstrukturanalyse wurde für den Netzebenenabstand \(D = 2,15 \cdot {10^{ - 10}}{\rm{m}}\) festgestellt. Für die von DAVISSON und GERMER beobachtete Interferenz sind die Netzebenen mit dem Abstand \(d\) relevant:
\[d = D \cdot \sin \left( \alpha  \right) \Rightarrow d = 2,15 \cdot {10^{ - 10}}{\rm{m}} \cdot \sin \left( {25^\circ } \right) = 9,09 \cdot {10^{ - 11}}{\rm{m}}\]
Zur Wellenlängenbestimmung durch den Interferenzversuch wird die BRAGG-Beziehung verwendet: Der Ablenkwinkel \(\beta \) ist gleich dem Winkel \(2 \cdot \alpha \). Aus dem Winkel \(\alpha \) kann nun leicht der Glanzwinkel \(\vartheta \) und damit die Wellenlänge \(\lambda \) bestimmt werden:
\[\lambda  = 2 \cdot d \cdot \sin \left( \vartheta  \right) = 2 \cdot d \cdot \sin \left( {90^\circ  - \alpha } \right) \Rightarrow \lambda  = 2 \cdot 9,09 \cdot {10^{ - 11}}{\rm{m}} \cdot \sin \left( {90^\circ  - 25^\circ } \right) = 1,65 \cdot {10^{-10}}{\rm{m}}\]

Man sieht, dass die nach de BROGLIE und die durch den Interferenzversuch nach BRAGG bestimmten Wellenlängen recht gut übereinstimmen. Insofern erbrachte der Versuch von DAVISSON und GERMER eine Bestätigung der Hypothese von de BROGLIE (Materiewellenlänge).