Quantenphysik

Quantenobjekt Elektron

Unschärferelation

  • Elektronen – mehr als Billardkugeln?
  • Wie verhalten sich Elektronen an einem Doppelspalt?
  • Wie groß ist die de BROGLIE-Wellenlänge?
  • Was ist der Welle-Teilchen-Dualismus?

Unschärferelation

In seiner berühmten Arbeit, die 1927 veröffentlicht wurde, gelangte Werner HEISENBERG (1901 - 1976) nach Überlegungen, die an der Schule in der Regel nicht nachvollzogen werden können, zu folgender Feststellung:

Ort und Impuls eines Teilchens können prinzipiell nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmt werden. Mit anderen Worten: Eine gleichzeitige Bestimmung von Ort und Impuls eines Teilchens ist nur möglich, wenn für beide Größen eine Unschärfe in Kauf genommen wird. Dabei gilt stets die Ungleichung: \[\Delta x \cdot \Delta {p_x} \ge \frac{h}{{4\pi }}\] Anmerkung: In der Literatur finden sich für die rechte Seite dieser Ungleichung verschiedene Werte. Wesentlich ist dabei die Größenordnung!

Erläuterungen

  • \(\Delta x\) ist die Unsicherheit in der Angabe des Ortes \(x\)
  • \(\Delta {p_x}\) ist die gleichzeitig vorhandene Unsicherheit in der Angabe des Impulses \({p_x}\)
  • \(h\) ist das plancksche Wirkungsquantum
  • Ähnliche Unschärferelationen gibt es auch für die anderen Raumrichtungen, d.h. \(\Delta y \cdot \Delta {p_y} \ge \frac{h}{{4\pi }}\) und \(\Delta z \cdot \Delta {p_z} \ge \frac{h}{{4\pi }}\)
1 Unschärferelation (Animation)

 

 

Eine einfache Ortsbestimmung eines Photonen- oder Elektronenbündels lässt sich mit einem Spalt (Spaltbreite \(\Delta x\)) machen.
Aus der nebenstehenden Simulation sieht man:

  • Für einen breiten Spalt (große Ortsunschärfe) ergibt sich eine relativ kleine Impulsunschärfe (kleiner Öffnungswinkel des Bündels nach dem Spalt).
  • Für einen schmalen Spalt (kleine Ortsunschärfe) ergibt sich eine relativ große Impulsunschärfe (großer Öffnungswinkel des Bündels nach dem Spalt).

Diese Herleitung ergab auf der rechten Seite der Unschärferelation eine etwas andere Konstante. Dies ist aber nicht so entscheidend: wichtig ist nur die Erkenntnis, dass das Produkt aus den Unschärfen von Ort und Impuls nicht beliebig klein werden kann. Mit anderen Worten:

Man kann den Ort und den Impuls von Quantenobjekten gleichzeitig nicht beliebig genau bestimmen.

Diese Erkenntnis ist gleichbedeutend mit dem Abschied von der klassischen Bahnvorstellung bei Quantenobjekten, da die Beschreibung einer Bahn die gleichzeitige präzise Kenntnis von Ort und Impuls eines Objekts voraussetzt.

Aufgabe

Niels BOHR entwickelte das nach ihm benannte BOHRsche Atommodell. Nach BOHRs Vorstellung bewegt sich im Grundzustand des Wasserstoffatoms das Elektron auf einer Kreisbahn mit dem Radius \({r_e} = 0,53\cdot{10^{ - 10}}m\) um den Kern. Die Geschwindigkeit des Elektrons auf dieser Kreisbahn beträgt \({v_e} = {\rm{ }}2,2\cdot{10^6}\frac{m}{s}\). <strong>Hinweis:</strong> Im Sinne der Quantenphysik ist diese Vorstellung von einer <em>Elektronenbahn</em> um den Kern nicht mehr zulässig, das Modell von BOHR also überholt. Trotzdem lieferten die Ansätze von BOHR sehr gute Ergebnisse bei der Deutung des Wasserstoffspektrums.

Bestimme mit Hilfe der HEISENBERGschen Unschärferelation die Unbestimmtheit in der Geschwindigkeit \(\Delta v\), wenn du von einer Ortsunschärfe ausgehst, die dem Durchmesser der BOHRschen Bahn im Grundzustand entspricht.

Lösung

Als Ortsunschärfe ist anzunehmen:
\[\Delta x = 2 \cdot {r_e} \Rightarrow \Delta x = 2 \cdot 0,53 \cdot 1{0^{ - 10}}{\rm{m}} = 1,06 \cdot 1{0^{ - 10}}{\rm{m}}\]

Zur leichteren Berechnung der Unbestimmtheit in der Geschwindigkeit, wird die Unschärferelation als Gleichung behandelt:
\[\Delta x \cdot \Delta {p_x} \approx \frac{h}{{4 \cdot \pi }} \Leftrightarrow \Delta {p_x} \approx \frac{h}{{4 \cdot \pi  \cdot \Delta x}} \Rightarrow {m_e} \cdot \Delta {v_{x,e}} \approx \frac{h}{{4 \cdot \pi  \cdot \Delta x}} \Leftrightarrow \Delta {v_{x,e}} \approx \frac{h}{{4 \cdot \pi  \cdot \Delta x \cdot {m_e}}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[\Delta {v_{x,e}} \approx \frac{{6,63 \cdot {{10}^{ - 34}}}}{{4 \cdot \pi  \cdot 1,06 \cdot 1{0^{ - 10}} \cdot 9,11 \cdot 1{0^{ - 31}}}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \approx 0,55 \cdot {10^6}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]

Die Unbestimmtheit in der Geschwindigkeit ist also von der gleichen Größenordnung wie der von Bohr vorhergesagte Betrag der Bahngeschwindigkeit.

Außer der oben angegebenen Unschärferelation für Ort und Impuls gelten noch weitere Relationen ähnlichen Typs. Eine wichtige Unschärferelation besteht zwischen der Dauer \(\Delta t\) eines Vorgangs und der Genauigkeit \(\Delta E\), mit der die Energie der beteiligten Teilchen festgelegt ist:

\[\Delta E \cdot \Delta t \ge \frac{h}{{4\pi }}\]
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