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Aufgabe

Nebenmaximum hinter dem Doppelspalt

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

In der vereinfacht dargestellten Doppelspaltanordnung für Elektronen wird ein relativ intensives Elektronenbündel auf den Doppelspalt geschickt.

a)Berechne die de BROGLIE-Wellenlänge für Elektronen, welche die Beschleunigungsspannung von \(1,9{\rm{kV}}\) durchlaufen haben.

b)Die Doppelspaltmitten haben einen Abstand von \(b = 3,6{\rm{\mu m}}\), die Nachweisebene, in der die Interferenzfigur durch eine Vergrößerungsanordnung betrachtet werden kann, hat vom Doppelspalt den Abstand \(a = 80{\rm{cm}}\).

Berechne den Abstand des Maximums 1. Ordnung vom Maximum 0. Ordnung in der Nachweisebene.

c)Skizziere qualitativ den Intensitätsverlauf der Elektronenstrahlung am Schirm in einem \(x\)-\(I\)-Diagramm.

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a)Die Elektronen besitzen nach Durchlaufen der Spannung von \(1,9{\rm{kV}}\) die kinetische Energie von \(1,9{\rm{keV}} = 1,9 \cdot {10^3} \cdot 1,60 \cdot {10^{ - 19}}{\rm{J}} = 3,0 \cdot {10^{ - 16}}{\rm{J}}\). Auf der Seite über die de BROGLIE-Wellenlänge wurde der folgende Zusammenhang zwischen der Wellenlänge und der kinetischen Energie der Elektronen hergeleitet: \[\lambda  = \frac{h}{{\sqrt {2 \cdot {m_e} \cdot {E_{{\rm{kin}}}}} }}\] Einsetzen der gegebenen Werte liefert \[\lambda  = \frac{{6,63 \cdot {{10}^{ - 34}}{\rm{Js}}}}{{\sqrt {2 \cdot 9,1 \cdot {{10}^{ - 31}}{\rm{kg}} \cdot 3,0 \cdot {{10}^{ - 16}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} }} = 2,8 \cdot {10^{ - 11}}{\rm{m}}\]

b)Für das 1. Maximum gilt \[b \cdot \sin \left( {{\alpha _1}} \right) = 1 \cdot \lambda  \Leftrightarrow \sin \left( {{\alpha _1}} \right) = \frac{\lambda }{b} \Rightarrow \sin \left( {{\alpha _1}} \right) = \frac{{2,8 \cdot {{10}^{ - 11}}{\rm{m}}}}{{3,6 \cdot {{10}^{ - 6}}{\rm{m}}}} = 7,8 \cdot {10^{ - 6}} \Rightarrow {\alpha _1} = \left( {4,5 \cdot {{10}^{ - 4}}} \right)^\circ \] und weiter \[\tan \left( {{\alpha _1}} \right) = \frac{{{d_1}}}{a} \Leftrightarrow {d_1} = a \cdot \tan \left( {{\alpha _1}} \right) \Rightarrow {d_1} = 0,80{\rm{m}} \cdot \tan \left( {\left( {4,5 \cdot {{10}^{ - 4}}} \right)^\circ } \right) = 6,3{\rm{\mu m}}\]

c)