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Aufgabe

Materiewellen bei Fullerenen (Abitur BY 2006 GK A3-3)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Abb. 1 Fullerenmolekül. Bildquelle: Sponk (Diskussion) [CC-BY-SA-3.0], via Wikimedia Commons

Fullerene sind Moleküle, die in ihrer Struktur einem Fußball gleichen und aus jeweils 60 Kohlenstoffatomen bestehen (siehe Abb. 1; von Sponk (Diskussion) [CC-BY-SA-3.0], via Wikimedia Commons).

 

Durch das Erhitzen einer Fullerenprobe wird ein Fullerenstrahl erzeugt, der Moleküle unterschiedlicher Geschwindigkeiten enthält (vgl. Abb. 1 mit idealisierter Messkurve)

a)Berechne näherungsweise die de-Broglie-Wellenlänge eines Fullerens, welches die Geschwindigkeit besitzt, die am häufigsten auftritt. (Nehmen Sie an, dass es sich ausschließlich um 12C-Atome handelt.) [zur Kontrolle: \(\lambda  \approx 2,6{\rm{pm}}\)] (6 BE)

 

Ein gebündelter Strahl aus Fullerenen trifft auf ein Gitter mit dem Spaltmittenabstand \(b = 100{\rm{nm}}\). In einer Entfernung von \(a = 1,25{\rm{m}}\) hinter dem Gitter befindet sich ein Detektor, der die auftreffenden Moleküle registriert. Dabei ergibt sich näherungsweise der nebenstehende Kurvenverlauf für die Zählrate in Abhängigkeit vom Ort (siehe Abb. 2).

b)Erläutere die Graphik.

Berechne mit ihrer Hilfe die Wellenlänge der Materiewelle.

Zeige, dass deren Größenordnung mit der Theorie von de BROGLIE übereinstimmt. (9 BE)

c)Gib aufgrund der experimentellen Gegebenheiten eine Begründung dafür an, dass die registrierte Zählrate bei den Minima nicht Null beträgt. (3 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Die Geschwindigkeit mit der größten Häufigkeit ist etwa \(v = 215\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\). Die Masse eines Fullerene ist \(m = 60 \cdot 12u\). Für die de BROGLIE-Wellenlänge gilt dann \[\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{{m \cdot v}} \Rightarrow \lambda = \frac{{6,63 \cdot {{10}^{ - 34}}{\rm{Js}}}}{{60 \cdot 12u \cdot 215\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} = \frac{{6,63 \cdot {{10}^{ - 34}}{\rm{Js}}}}{{60 \cdot 12 \cdot 1,66 \cdot {{10}^{ - 27}}{\rm{kg}} \cdot 215\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} = 2,6 \cdot {10^{ - 12}}{\rm{m}}\]

b)Die Graphik zeigt das intensive Maximum 0. Ordnung der Beugung und die beiden zueinander symmetrischen Maxima 1. Ordnung im Abstand \({d_{11}}\) von ca. \(69\mu {\rm{m}}\). Bedingung für das Maximum 1. Ordnung ist \[b \cdot \sin \left( \alpha \right) = 1 \cdot \lambda \] Der Winkel \({\alpha _1}\) lässt sich aus den Angaben wie folgt errechnen: \[\tan \left( {{\alpha _1}} \right) = \frac{{\frac{{{d_{11}}}}{2}}}{a} = \frac{{{d_{11}}}}{{2 \cdot a}} \Rightarrow \tan \left( {{\alpha _1}} \right) = \frac{{69 \cdot {{10}^{ - 6}}{\rm{m}}}}{{2 \cdot 1,25{\rm{m}}}} = 2,76 \cdot {10^{ - 5}} \Rightarrow {\alpha _1} = 0,0016^\circ \] Somit ergibt sich für die Wellenlänge \(\lambda\) \[b \cdot \sin \left( \alpha \right) = 1 \cdot \lambda = b \cdot \sin \left( {{\alpha _1}} \right) \Leftrightarrow \lambda = 100 \cdot {10^{ - 9}}\rm{m} \cdot \sin \left( {0,0016^\circ } \right) = 2,8 \cdot {10^{ - 12}}{\rm{m}}\]

c)Die Geschwindigkeit der Moleküle ist nicht einheitlich. Somit haben die Moleküle auch keine einheitliche de BROGLIE-Wellenlänge. Eine einheitliche Wellenlänge wäre aber die Voraussetzung dafür, dass in den Minima die Zählrate verschwindet.