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Aufgabe

Materiewellen (Abitur BY 2010 GK A3-2)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Bei einem Doppelspaltversuch treffen Elektronen mit der Materiewellenlänge \(\lambda  = 30{\rm{pm}}\) auf einen Doppelspalt mit dem Spaltmittenabstand \(b = 6,2{\rm{\mu m}}\).

a)Berechne für die Wellenlänge \(\lambda\) nichtrelativistisch die Geschwindigkeit \(v\) der Elektronen und die erforderliche Beschleunigungsspannung, die die anfangs ruhenden Elektronen durchlaufen müssen, um diese Geschwindigkeit zu erreichen. [zur Kontrolle\(v = 2,4 \cdot {10^7}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\)] (7 BE)

b)Der Abstand zwischen Schirm und Doppelspalt beträgt \(l = 1,0{\rm{m}}\).

Berechne den Abstand \(x\) zwischen dem 0. und 1. Interferenzmaximum. (4 BE)

Die Impulsunschärfe \(\Delta {p_x}\) senkrecht zur Flugrichtung lässt sich mithilfe der Unschärferelation \(\Delta x \cdot \Delta {p_x} \approx h\) abschätzen. Legen Sie als Ortsunschärfe \(\Delta x\) den Spaltmittenabstand \(b\) zugrunde.

c)Berechne die Impulsunschärfe \(\Delta {p_x}\) und die zugehörige Geschwindigkeitskomponente \(\Delta {v_x}\) senkrecht zur Flugrichtung. [zur Kontrolle: \(\Delta {v_x} \approx 1,2 \cdot {10^2}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) ] (4 BE)

d)Um die Konsequenzen der Unschärferelation für den Fall des Doppelspalts zu veranschaulichen, soll nun ein klassisches Teilchen betrachtet werden, das am Doppelspalt die in Teilaufgabe c) berechnete Geschwindigkeitskomponente \(\Delta {v_x}\) besitzt.

Berechne den Abstand zwischen dem Auftreffort eines solchen Teilchens und dem Auftreffort eines Teilchens ohne eine solche Geschwindigkeitskomponente auf dem Schirm.

Vergleiche diesen Wert mit den Abmessungen des Interferenzmusters. (4 BE)

e)Der Interferenzversuch wird mit so wenigen Elektronen durchgeführt, dass die Auftreffpunkte der einzelnen Teilchen auf dem Schirm nachweisbar sind. Dabei wird der Doppelspalt dem Elektronenstrahl so kurz ausgesetzt, dass praktisch alle verwendeten Elektronen gleichzeitig durch den Doppelspalt treten.

Beschreibe anhand einer Skizze das zu erwartende Schirmbild. (4 BE)

f)Nun wird der Versuch so durchgeführt, dass zwar die gleiche Elektronenzahl wie in Teilaufgabe e) auf dem Schirm auftrifft, allerdings über einen so deutlich längeren Zeitraum verteilt, dass sich im Bereich des Doppelspaltes stets nur ein Elektron befindet.

Beschreibe Unterschiede und Gemeinsamkeiten bei der Entstehung des zu erwartenden Schirmbilds im Vergleich zu Teilaufgabe e).

Erläutere, ob und ggf. wie sich die Schirmbilder nach Abschluss der beiden Versuche unterscheiden.

Erkläre, welchen Einfluss die Wechselwirkung der Elektronen untereinander auf das Schirmbild hat. (5 BE)

g)Man kann ein ähnliches Schirmbild wie in Teilaufgabe e) auch mit Licht erzeugen.

Erläutere, welche Bedingungen das dabei verwendete Licht erfüllen muss. (4 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Berechnung der Geschwindigkeit \(v\) mit Hilfe der de BROGLIE-Beziehung: \[{{m_e} \cdot v = p = \frac{h}{\lambda } \Leftrightarrow v = \frac{h}{{\lambda  \cdot {m_e}}} \Rightarrow v = \frac{{6,6 \cdot {{10}^{ - 34}}{\rm{Js}}}}{{30 \cdot {{10}^{ - 12}}{\rm{m}} \cdot 9,1 \cdot {{10}^{ - 31}}{\rm{kg}}}} = 2,4 \cdot {{10}^7}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}\] Berechnung der Beschleunigungsspannung \(U_{\rm{B}}\): \[{\frac{1}{2} \cdot {m_e} \cdot {v^2} = e \cdot {U_{\rm{B}}} \Leftrightarrow {U_{\rm{B}}} = \frac{{{m_e} \cdot {v^2}}}{{2 \cdot e}} \Rightarrow {U_{\rm{B}}} = \frac{{9,1 \cdot {{10}^{ - 31}}{\rm{kg}} \cdot {{\left( {2,4 \cdot {{10}^7}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}{{2 \cdot 1,6 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}}}} = 1,6\cdot {{10}^3}{\rm{V}} = 1,6{\rm{kV}}}\]

b)\[b \cdot \sin \left( \alpha  \right) = 1 \cdot \lambda  \Leftrightarrow \sin \left( \alpha  \right) = \frac{\lambda }{b} \Rightarrow \sin \left( \alpha  \right) = \frac{{30 \cdot {{10}^{ - 12}}{\rm{m}}}}{{6,2 \cdot {{10}^{ - 6}}{\rm{m}}}} = 4,8 \cdot {10^{ - 6}}\] Bei einem so kleinen Sinuswert kann die Kleinwinkelnäherung verwendet werden: \[\sin \left( \alpha  \right) \approx \tan \left( \alpha  \right) = \frac{x}{l} \Rightarrow x \approx l \cdot sin\left( \alpha  \right) \Rightarrow x \approx 1,00 \cdot 4,8 \cdot {10^{ - 6}}{\rm{m}} = 4,8{\rm{\mu m}}\]

c)Abschätzung der Impulsunschärfe: \[{\Delta x \cdot \Delta {p_x} \approx h \Rightarrow b \cdot \Delta {p_x} \approx h \Rightarrow \Delta {p_x} \approx \frac{h}{b} \Rightarrow \Delta {p_x} \approx \frac{{6,626 \cdot {{10}^{ - 34}}{\rm{Js}}}}{{6,2 \cdot {{10}^{ - 6}}{\rm{m}}}} = 1,1 \cdot {{10}^{ - 28}}{\rm{Ns}}}\] Berechnung der Geschwindigkeitsunschärfe: \[{\Delta {v_x} = \frac{{\Delta {p_x}}}{{{m_e}}} \Rightarrow \Delta {v_x} = \frac{{1,069 \cdot {{10}^{ - 28}}{\rm{Ns}}}}{{9,109 \cdot {{10}^{ - 31}}{\rm{kg}}}} = 117,4\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \approx 1,2 \cdot {{10}^2}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}\]

d)Berechnung der Flugzeit des klassischen Teilchens: \[t = \frac{l}{v} \Rightarrow t = \frac{{1,00{\rm{m}}}}{{2,4 \cdot {{10}^7}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} = 4,2 \cdot {10^{ - 8}}{\rm{s}}\] Berechnung der seitlichen Ablenkung dieses Teilchens: \[x = \Delta {v_x} \cdot t \Rightarrow x = 4,2 \cdot {10^{ - 8}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 117{\rm{s}} = 4,9 \cdot {10^{ - 6}}{\rm{m}}\] Der Abstand ist gleich dem Abstand zwischen dem nullten und dem ersten Maximum des Interferenzmusters.

e)Die einzelnen Einschläge der Elektronen in der Nachweisebene sind noch erkennbar. Der Verlauf der „Intensität“ am Schirm ähnelt aber der des Doppelspaltversuchs mit Licht.

f)Zu Beginn des Versuchs sind einzelne, scheinbar regellose Einschläge in der Nachweisebene feststellbar. Mit zunehmender Zahl der nachgewiesenen Elektronen baut sich allmählich das in Teilaufgabe e) skizzierte Muster auf. Die „Endbilder“ bei beiden Versuchen stimmen überein (bei insgesamt gleicher Zahl der verwendeten Elektronen). Die Wechselwirkung der Elektronen untereinander – die beim Versuch von Teilaufgabe e) denkbar wäre, spielt also bei der Entstehung des Interferenzbildes keine Rolle.

g)Das Licht der Quelle darf nur eine sehr geringe Intensität besitzen (TAYLOR-Versuch), und es muss monochromatisches (einfarbiges) Licht verwendet werden.