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Aufgabe

Kristallographie (Abitur BY 2009 LK A2-3)

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Zur Bestimmung der Netzebenenabstände von Kristallen wird ein Kristallpulver mit monochromatischer Röntgenstrahlung der Wellenlänge \({37{\rm{pm}}}\) bestrahlt. Auf einer Photoplatte senkrecht zur Strahlrichtung im Abstand \({l = 5,4{\rm{cm}}}\) vom Kristallpulver wird ein Interferenzmuster aus konzentrischen Ringen registriert. Dabei werden die von der Röntgenstrahlung belichteten Bereiche geschwärzt.

a)Skizziere ein typisches Röntgenspektrum.

Weise nach, dass bei einer Anodenspannung von \({50{\rm{kV}}}\) Strahlung mit der Wellenlänge \({\lambda  = 37{\rm{pm}}}\) im Spektrum enthalten ist. (7 BE)

b)Berechne mit Hilfe der Daten aus der Abbildung den Netzebenenabstand \(d\), der zu dem inneren der markierten Ringe führt; dieser stellt ein Maximum 1. Ordnung dar. (7 BE)

c)Begründe, dass der größere markierte Ring nicht das Maximum 2. Ordnung zum in Teilaufgabe b) berechneten Netzebenenabstand \(d\) sein kann. (5 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Im kontinuierlichen Bremsspektrum kommen alle Wellenlängen (von ganz langen Wellenlängen) bis zur kurzwelligen Grenze vor. Bestimmung der kurzwelligen Grenze: \[{{E_{{\rm{kin}}}} = {E_{{\rm{Ph}}}} \Leftrightarrow e \cdot U = \frac{{h \cdot c}}{{{\lambda _{\rm{G}}}}} \Rightarrow {\lambda _{\rm{G}}} = \frac{{h \cdot c}}{{e \cdot U}}}\] Einsetzen der gegebenen Werte liefert \[{{\lambda _{\rm{G}}} = \frac{{{{6,63}^{ - 34}}{\rm{Js}} \cdot 3,00 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot 50 \cdot {{10}^3}{\rm{V}}}} = 25 \cdot {{10}^{ - 12}}{\rm{m}}}\] Die Wellenlänge der kurzwelligen Grenze ist kleiner als \(37{\rm{pm}}\). Also ist die Wellenlänge \(37{\rm{pm}}\) im Spektrum enthalten.

 

b)Bei einem Kristallit welcher unter einem Glanzwinkel getroffen wird gilt in der 1. Ordnung \[{\lambda _1} = 2 \cdot d \cdot \sin \left( {{\vartheta _1}} \right)\quad(1)\] Aus der Zeichnung sieht man \[{\tan \left( {2 \cdot {\vartheta _1}} \right) = \frac{{{r_1}}}{l} \Rightarrow \tan \left( {2 \cdot {\vartheta _1}} \right) = \frac{{0,85}}{{5,4}} = 0,157 \Rightarrow {\vartheta _1} = 4,5^\circ\quad(2)}\] Setzt man \((2)\) in \((1)\) ein, so folgt \[{{\lambda _1} = 2 \cdot d \cdot \sin \left( {{\vartheta _1}} \right) \Leftrightarrow d = \frac{{{\lambda _1}}}{{2 \cdot \sin \left( {{\vartheta _1}} \right)}}}\] Einsetzen der gegebenen Werte liefert \[{d = \frac{{37 \cdot {{10}^{ - 12}}{\rm{m}}}}{{2 \cdot \sin \left( {4,5^\circ } \right)}} = 2,4 \cdot {{10}^{ - 10}}{\rm{m}}}\]

c)Berechnung des Ringdurchmessers \(r_2\) für das Maximum 2. Ordnung: \[{2 \cdot {\lambda _1} = 2 \cdot d \cdot \sin \left( {{\vartheta _2}} \right) \Leftrightarrow \sin \left( {{\vartheta _2}} \right) = \frac{{{\lambda _1}}}{d} \Rightarrow \sin \left( {{\vartheta _2}} \right) = \frac{{37 \cdot {{10}^{ - 12}}{\rm{m}}}}{{2,4 \cdot {{10}^{ - 10}}{\rm{m}}}} \Rightarrow {\vartheta _2} = 8,9^\circ }\] Weiter gilt \[{\tan \left( {2 \cdot {\vartheta _2}} \right) = \frac{{{r_2}}}{l} \Leftrightarrow {r_2} = l \cdot \tan \left( {2 \cdot {\vartheta _2}} \right) \Rightarrow {r_2} = 5,4{\rm{cm}} \cdot \tan \left( {2 \cdot 8,9^\circ } \right) = 1,7{\rm{cm}}}\] Der Ring, der zum Maximum 2. Ordnung gehört hätte einen Durchmesser von ca. \({3,4{\rm{cm}}}\). Also stellt der Ring mit Durchmesser \({2,9{\rm{cm}}}\) nicht das Maximum 2. Ordnung zur Wellenlänge \(37{\rm{pm}}\) dar.

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