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Aufgabe

Interferenzexperiment mit schweren Molekülen (Abitur BY 2014 Ph12 A1-3)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Farbstoffmoleküle der Masse \(1298u\) bewegen sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten auf ein Gitter mit der Gitterkonstanten \(b=100\rm{nm}\) zu. Das Interferenzbild entsteht hinter dem Gitter auf einem Schirm, der sich parallel zur Gitterebene im Abstand \(a=564\rm{mm}\) befindet (vgl. Abb. 1). Im Weiteren bezeichnet \(\lambda\) die de-BROGLIE-Wellenlänge eines Moleküls und \(\Delta x\) den zugehörigen Abstand eines Maximums 1. Ordnung vom Maximum 0. Ordnung.

a)Leite unter Verwendung der Kleinwinkelnäherung \(\sin \left( \alpha  \right) \approx \tan \left( \alpha  \right)\) die Beziehung \[\lambda  = b \cdot \frac{{\Delta x}}{a}\] her.

Berechne nichtrelativistisch für den Abstand \(\Delta x = 11,0\rm{μm}\) die zugehörige Molekülgeschwindigkeit \(v\). (9 BE)

b)Die Moleküle bewegen sich unmittelbar vor dem Gitter auf den Ursprung eines \(x\)-\(y\)-Koordinatensystems zu, das auf dem Schirm festgelegt ist (vgl. Abb. 1). Die Geschwindigkeiten der Moleküle sind so gering, dass der Einfluss der Schwerkraft in negativer \(y\)-Richtung zu berücksichtigen ist.

Begründe, dass die Auftreffpunkte auf den Linien 1 und 2 (vgl. Abb. 2) zu Molekülen mit unterschiedlichen Anfangsgeschwindigkeiten \(v_1\) und \(v_2\) gehören.

Erkläre damit die Nichtparallelität der beiden Interferenzstreifen, die zu den Maxima 1. Ordnung gehören.

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Für das Maximum 1. Ordnung gilt \[b \cdot \sin \left( \alpha  \right) = 1 \cdot \lambda \] Bei der Kleinwinkelnäherung kann man den Sinus durch den Tangens näherungsweise ersetzen, so dass sich ergibt \[b \cdot \sin \left( \alpha  \right) = 1 \cdot \lambda  \Rightarrow b \cdot \tan \left( \alpha  \right) \approx \lambda  \Rightarrow \lambda  \approx b \cdot \frac{{\Delta x}}{a}\quad(1)\] Die Molekülgeschwindigkeit berechnet man mit Hilfe der de-BROGLIE-Beziehung \[{\lambda  = \frac{h}{p} = \frac{h}{{m \cdot v}} \Leftrightarrow v = \frac{h}{{m \cdot \lambda }}}\] woraus sich mit \((1)\) ergibt \[{v = \frac{h}{{m \cdot \lambda }} = \frac{{h \cdot a}}{{m \cdot b \cdot \Delta x}}}\quad(2)\] Einsetzen der gegebenen Werte liefert \[{v = \frac{{6,63 \cdot {{10}^{ - 34}}{\rm{J}} \cdot {\rm{s}} \cdot 564 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{m}}}}{{1298 \cdot 1,66 \cdot {{10}^{ - 27}}{\rm{kg}} \cdot 100 \cdot {{10}^{ - 9}}{\rm{m}} \cdot 11,0 \cdot {{10}^{ - 6}}{\rm{m}}}} = 158\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}\]

b)Langsame Moleküle befinden sich längere Zeit zwischen Gitter und Schirm als schnellere Moleküle. Die langsamen Moleküle sind somit der Schwerkraft längs der Strecke \(a\) länger ausgesetzt und werden durch diese Kraft weiter nach unten abgelenkt (vgl. Überlegungen zum horizontalen Wurf). Aus dieser Überlegung folgt, dass \(v_2 < v_1\) ist.

Aufgrund der Beziehung \((2)\) von Teilaufgabe a) folgt \[v \sim \frac{1}{{\Delta x}}\;{\rm{oder}}\;\Delta x \sim \frac{1}{v}\] Dies bedeutet, dass zur kleineren Geschwindigkeit \(v_2\) ein größerer Abstand \(\Delta x\) von der \(y\)-Achse gehört als zur niedrigeren Geschwindigkeit \(v_1\). Auf diese Weise lässt sich die Nicht-Parallelität der Interferenzstreifen erklären.