Ein Strahl nichtrelativistischer Elektronen der Masse \(m_{\rm{e}}\) mit einheitlicher kinetischer Energie \({E_{{\rm{kin}}}}\) trifft senkrecht auf einen Doppelspalt von \(1,0{\rm{\mu m}}\) Spaltmittenabstand. Hinter dem Doppelspalt wird die Anzahl \(N\) der pro Sekunde ankommenden Elektronen in Abhängigkeit von der Weite \(\alpha \) des Ablenkwinkels gemessen (siehe Abbildung).
a)Erkläre das Zustandekommen des Kurvenverlaufs \(N(\alpha)\). (5 BE)
b)Leite für die de BROGLIE-Wellenlänge \(\lambda \) der Elektronen die Beziehung \(\lambda = \frac{h}{{\sqrt {2 \cdot {m_{\rm{e}}} \cdot {E_{{\rm{kin}}}}} }}\) her. (6 BE)
c)Die Elektronen erhalten ihre kinetische Energie beim Durchlaufen einer Beschleunigungsspannung von \(100\rm{V}\).
Berechne die Winkelweite \({\alpha _1}\) (siehe Abbildung). (8 BE)
d)Erläutere, welche Bedeutung in diesem Versuch die Voraussetzung einheitlicher kinetischer Energie der Elektronen hat. (8 BE)
Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
a)Der Doppelspaltversuch von JÖNSSON macht den Wellencharakter der Elektronen deutlich. Ähnlich wie beim Doppelspaltversuch mit Licht kommt es hinter dem Doppelspalt zu ausgeprägten Interferenzerscheinungen.
b)Für die de BROGLIE-Wellenlänge gilt \[\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{{{m_ {\rm{e}} } \cdot v}}\quad(1)\] Für die nichtrelativistischen Formel für die kinetische Energie gilt weiter \[{E_{{\rm{kin}}}} = \frac{1}{2} \cdot {m_ {\rm{e}} } \cdot {v^2} \Rightarrow v = \sqrt {\frac{{2 \cdot {E_{{\rm{kin}}}}}}{{{m_ {\rm{e}} }}}}\quad(2)\] Setzt man \((2)\) in \((1)\) ein, so ergibt sich \[\lambda = \frac{h}{{{m_ {\rm{e}} } \cdot \sqrt {\frac{{2 \cdot {E_{{\rm{kin}}}}}}{{{m_e}}}} }} = \frac{h}{{\sqrt {2 \cdot {m_ {\rm{e}} } \cdot {E_{{\rm{kin}}}}} }}\]
c)Nach Durchlaufen der Spannung \(100\rm{V}\) haben die Elektronen die kinetische Energie \({E_{{\rm{kin}}}} = 100{\rm{eV}} = 100 \cdot 1,60 \cdot {10^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot {\rm{V}} = 1,60 \cdot {10^{ - 17}}{\rm{J}}\). Damit berechnet sich die de BROGLIE-Wellenlänge zu \[\lambda = \frac{{6,63 \cdot {{10}^{ - 34}}{\rm{Js}}}}{{\sqrt {2 \cdot 9,1 \cdot {{10}^{ - 31}}{\rm{kg}} \cdot 1,60 \cdot {{10}^{ - 17}}{\rm{J}}} }} = 1,2 \cdot {10^{ - 10}}{\rm{m}}\] Für das Maximum 1. Ordnung gilt dann \[b \cdot \sin \left( {{\alpha _1}} \right) = 1 \cdot \lambda \Leftrightarrow \sin \left( {{\alpha _1}} \right) = \frac{\lambda }{b} \Rightarrow \sin \left( {{\alpha _1}} \right) = \frac{{1,2 \cdot {{10}^{ - 10}}{\rm{m}}}}{{1,0 \cdot {{10}^{ - 6}}{\rm{m}}}} = 1,2 \cdot {10^{ - 4}} \Rightarrow {\alpha _1} = 0,0070^\circ \]
d)Einheitliche kinetische Energie der Elektronen bedeutet eine einheitliche Materiewellenlänge. Dies führt zu einem relativ scharfen Interferenzbild in der Nachweisebene.
Vergleiche hierzu Lichtinterferenz am Doppelspalt einmal mit weißem Licht (verwaschene Interferenzfigur) und einmal mit monochromatischem Licht (scharfe Interferenzfigur).
