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Aufgabe

Fullerenmolekül (Abitur BW 2004 A3-d)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Abb. 1 Fullerenmolekül. Bildquelle: Sponk (Diskussion) [CC-BY-SA-3.0], via Wikimedia Commons

Ein C60-Fullerenmolekül (siehe Abb. 1; von Sponk (Diskussion) [CC-BY-SA-3.0], via Wikimedia Commons) hat die Masse \(1,2 \cdot {10^{ - 24}}{\rm{kg}}\), der Durchmesser beträgt ca. \(1,0{\rm{nm}}\). In einem Versuch werden solche "Fullerenbälle" mit \(140\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) senkrecht auf ein Beugungsgitter mit der Gitterkonstanten \(100{\rm{nm}}\) geschossen. Die Versuchsdurchführung erfolgt so, dass sich jeweils nur ein Fullerenmolekül in der Anordnung befindet. Die Fullerenmoleküle werden im Abstand von \(1,3{\rm{m}}\) vom Gitter registriert. Man erhält die in Abb. 2 dargestellte Intensitätsverteilung.

 
Abb. 2 Intensitätsverteilung bei der Beugung von Fullerenmolekülen am Gitter

a)Berechne die Lage des Maximums 1. Ordnung.

Vergleiche diese mit dem Messergebnis.

b)Von dem Physiker Paul Dirac stammt sinngemäß die Aussage: "Jedes Quantenobjekt interferiert mit sich selbst."

Nimm im Hinblick auf das Ergebnis des beschriebenen Experiments hierzu Stellung.

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag.

a)Berechnung der de-Broglie-Wellenlänge der Moleküle: \[\lambda  = \frac{h}{p} = \frac{h}{{m \cdot v}} \Rightarrow \lambda  = \frac{{6,63 \cdot {{10}^{ - 34}}{\rm{Js}}}}{{1,2 \cdot {{10}^{ - 24}}{\rm{kg}} \cdot 140\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} = 3,9 \cdot {10^{ - 12}}{\rm{m}}\] Bestimmung des Abstandes \(d_1\) des 1. Maximums von der "optischen" Achse: \[b \cdot \sin \left( {{\alpha _1}} \right) = 1 \cdot \lambda \] Unter Verwendung der Kleinwinkelnäherung \({\sin \left( {{\alpha _1}} \right) \approx \tan \left( {{\alpha _1}} \right) = \frac{{{d_1}}}{a}}\) ergibt sich \[b \cdot \frac{{{d_1}}}{a} = \lambda  \Leftrightarrow {d_1} = \frac{{a \cdot \lambda }}{b} \Rightarrow {d_1} = \frac{{1,3{\rm{m}} \cdot 3,9 \cdot {{10}^{ - 12}}{\rm{m}}}}{{100 \cdot {{10}^{ - 9}}{\rm{m}}}} = 51 \cdot {10^{ - 6}}{\rm{m}}\] Die Rechnung ergibt eine gute Übereinstimmung mit den Messwerten.

b)Weil jeweils nur ein Molekül in der Anordnung ist, kann die Interferenzerscheinung nicht durch Wechselwirkung mit anderen Molekülen erfolgen. Jedes einzelne Fullerenmolekül trägt also schon selbst die ganze Information in sich, wie die Interferenzerscheinung aussieht. Die Interferenzerscheinung entsteht sozusagen durch "Superposition der Möglichkeiten", der Überlagerung der Wahrscheinlichkeiten dafür, wo ein einzelnes Fullerenmolekül auftreffen wird.