a)Beschreiben Sie mit Hilfe einer Skizze den Aufbau der im Unterricht verwendeten Elektronenbeugungsröhre.
b)Erläutern Sie mit Hilfe einer instruktiven Skizze, wie es zur Ausbildung von Ringen am Beobachtungsschirm kommt.
Erklären Sie auch, wie diese Beobachtung mit der Wellenvorstellung gedeutet werden kann.
c)Geben Sie an, wie sich demonstrieren lässt, dass die beobachtete Erscheinung nicht auf elektromagnetische Wellen zurückgeht.
d)Leiten Sie anhand einer Skizze den Zusammenhang zwischen der de BROGLIE-Wellenlänge, dem Netzebenenabstand \(d\) in einem Kristallit und der Größen \(r\) (Ringradius) und \(l\) (Abstand der Kristallite von der Beobachtungsebene) her. Kleinwinkelnäherung ist erlaubt.
e)Berechnen Sie relativistisch, wie groß die Beschleunigungsspannung war, wenn bei Graphit-Kristalliten (\(d={2,13 \cdot {{10}^{ - 10}}{\rm{m}}}\)) in erster Ordnung ein Ringradius von \(r=9,0\rm{mm}\) auftrat. Der Abstand der Kristallite von der Beobachtungsebene war \(l=18\rm{cm}\).
a)In einem evakuierten Glaskolben werden Elektronen von der Kathode K zur Anode A beschleunigt. Durch ein Loch in der Anode gelangen sie auf eine polykristalline Graphitschicht F. An den regellos liegenden Kristalliten der Graphitschicht erfahren die de-Broglie-Wellen der Elektronen eine "BRAGG-Reflexion". Auf dem Leuchtschirm bilden sich konzentrische Ringe.
b)In der Graphitschicht liegen die Kristallite regellos. Es gibt für alle Raumrichtungen solche, die unter einem Glanzwinkel getroffen werden, so dass Braggreflexion eintritt. Die "reflektierten" Materiewellen laufen auf einem Kegelmantel zum Beobachtungsschirm.
Die Elektronen lokalisieren sich also auf konzentrischen Ringen. Diese Ringe werden als Interferenzmaxima gedeutet. Sie entstehen durch Überlagerung von de BROGLIE-Wellen der Elektronen, die von der Beugung an Atomen verschiedener Netzebenen in den Kristalliten der Folie herrühren.
c)Das Schirmbild kann durch das Anlegen eines äußeren Magnetfeldes beeinflusst werden. Diese wäre bei elektromagnetischen Wellen nicht möglich.
d)Nach der BRAGG-Beziehung (1. Ordnung) gilt\[2 \cdot d \cdot \sin \left( \vartheta \right) = 1 \cdot \lambda \quad(1)\]Aus der Geometrie folgt in etwa (je nach Wölbung des Bildschirms)\[\sin \left( {2 \cdot \vartheta } \right) = \frac{r}{l}\quad(2)\]Unter Beachtung, dass \(\vartheta \) klein ist und damit\[2 \cdot \sin \left( \vartheta \right) \approx \sin \left( {2 \cdot \vartheta } \right) \approx \tan \left( {2 \cdot \vartheta } \right)\]ergibt sich aus \((1)\) und \((2)\)\[\frac{\lambda }{d} = \frac{r}{l} \Leftrightarrow \lambda = \frac{{r \cdot d}}{l}\]
e)Nach Teilaufgabe d) berechnet sich die Materiewellenlänge zu\[\lambda = \frac{{9,0 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{m}} \cdot 2,13 \cdot {{10}^{ - 10}}{\rm{m}}}}{{18 \cdot {{10}^{ - 2}}{\rm{m}}}} = 1,1 \cdot {10^{ - 11}}{\rm{m}}\]Nach de BROGLIE berechnet sich damit der Impuls zu\[\lambda = \frac{h}{p} \Leftrightarrow p = \frac{h}{\lambda } \Rightarrow p = \frac{{6,63 \cdot {{10}^{ - 34}}{\rm{Js}}}}{{1,1 \cdot {{10}^{ - 11}}{\rm{m}}}} = 6,0 \cdot {10^{ - 23}}{\rm{Ns}}\]Die Gesamtenergie \(E\) der Elektronen berechnet sich nach der relativistischen Energie-Impuls-Beziehung zu\[{E^2} = {E_0}^2 + {p^2} \cdot {c^2} \Rightarrow E = \sqrt {{p^2} \cdot {c^2} + {E_0}^2}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[E = \sqrt {{{\left( {6,0 \cdot {{10}^{ - 23}}{\rm{Ns}}} \right)}^2} \cdot {{\left( {3,00 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2} + {{\left( {511 \cdot {{10}^3} \cdot 1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot {\rm{V}}} \right)}^2}} = 8,4 \cdot {10^{ - 14}}{\rm{J}}\]Damit ergibt sich für die kinetische Energie der Elektronen\[{E_{{\rm{kin}}}} = E - {E_0} \Rightarrow {E_{{\rm{kin}}}} = 8,4 \cdot {10^{ - 14}}{\rm{J}} - 511 \cdot {10^3} \cdot 1,60 \cdot {10^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot {\rm{V}} = 1,9 \cdot {10^{ - 15}}{\rm{J}} = 12{\rm{keV}}\]Um Elektronen mit der kinetischen Energie \(12{\rm{keV}}\) zu erhalten, muss die Beschleunigungsspannung etwa \(12{\rm{kV}}\) sein.
