Elektronen der kinetischen Energie \(600{\rm{eV}}\) treffen orthogonal auf einen Doppelspalt mit dem Spaltabstand \(200{\rm{nm}}\). Im Abstand von \(20,0{\rm{cm}}\) hinter dem Doppelspalt befindet sich eine fotografische Platte (siehe Abb. 1). Die ganze Anordnung befindet sich im Vakuum.
Die praktische Durchführung dieses Versuchs zum Nachweis von Elektronen-Interferenzen am Doppelspalt gelang erstmals 1961 Claus JÖNSSON in Tübingen. Das nebenstehende Bild (siehe Abb. 2) zeigt einen stark nachvergrößerten Ausschnitt der Platte von JÖNSSON als Positiv, d.h. diejenigen Stellen, an denen Elektronen auftreffen, erscheinen hell.
a)Erkläre die Struktur des Bildes.
Erläutere insbesondere, warum diese Struktur mit der klassischen Elektronenvorstellung nicht vereinbar ist.
b)Berechne den Mittenabstand zweier benachbarter gleichartiger Streifen auf der Platte.
c)Erläutere, warum es für das Gelingen des Versuchs wichtig war, dass die Elektronen möglichst einheitliche Energie besaßen und der Spaltmittenabstand extrem klein war.
Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
a)Es handelt sich um ein Doppelspaltproblem. Es tritt konstruktive und destruktive Interferenz auf, was zu dem Streifenmuster führt. Solche Streifenmuster kennt man vom parallelen Experiment mit Licht, also mit elektromagnetischen Wellen.
Elektronen haben also - im Gegensatz zur Sichtweise der klassischen Physik - auch Welleneigenschaften. An den hellen Stellen ist die Auftreffwahrscheinlichkeit für die Elektronen höher als an den dunklen Stellen.
b)Berechnung der Elektronengeschwindigkeit aus deren kinetischer Energie (bei \({E_{{\rm{kin}}}} = 600{\rm{eV}}\) reicht eine klassische Rechnung): \[{{E_{{\rm{kin}}}} = \frac{1}{2} \cdot m_{\rm{e}} \cdot {v^2} \Rightarrow v = \sqrt {\frac{{2 \cdot {E_{{\rm{kin}}}}}}{m_{\rm{e}}}} \Rightarrow v = \sqrt {\frac{{2 \cdot 600{\rm{eV}} \cdot 1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}}}}{{9,11 \cdot {{10}^{ - 31}}{\rm{kg}}}}} = 1,45 \cdot {{10}^7}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}\]Für den Impuls der Elektronen gilt dann\[{p = m_{\rm{e}} \cdot v \Rightarrow p = 9,11 \cdot {{10}^{ - 31}}{\rm{kg}} \cdot 1,45 \cdot {{10}^7}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 1,32 \cdot {{10}^{ - 23}}{\rm{Ns}}}\]Aus dem Impuls lässt sich die de BROGLIE-Wellenlänge berechnen:\[{\lambda = \frac{h}{p} \Rightarrow \lambda = \frac{{6,63 \cdot {{10}^{ - 34}}{\rm{Js}}}}{{1,32 \cdot {{10}^{ - 23}}{\rm{Ns}}}} = 5,01 \cdot {{10}^{ - 11}}{\rm{m}}}\]Bei kleinen Beugungswinkeln sind die Streifen äquidistant, d.h. es genügt den Abstand des ersten Maximums vom nullten Maximum zu bestimmen:\[b \cdot \sin \left( \alpha \right) = 1 \cdot \lambda \]Mit \({\sin \left( \alpha \right) \approx \tan \left( \alpha \right)}\) und \({\tan \left( \alpha \right) = \frac{{{d_1}}}{a}}\) ergibt sich dann\[b \cdot \frac{{{d_1}}}{a} = \lambda \Leftrightarrow {d_1} = \frac{{a \cdot \lambda }}{b} \Rightarrow {d_1} = \frac{{20,0 \cdot {{10}^{ - 2}}{\rm{m}} \cdot 5,01 \cdot {{10}^{ - 11}}{\rm{m}}}}{{200 \cdot {{10}^{ - 9}}{\rm{m}}}} = 5,01 \cdot {10^{ - 5}}{\rm{m}}\]
c)Wenn die Energien nicht einheitlich sind, ergeben sich verschiedene Geschwindigkeiten und Impulse und damit verschiedene Wellenlängen. Dadurch wird die Beugungserscheinung "verschmiert" (ähnlich wie wenn man weißes, d.h. nicht monochromatisches Licht auf einen Doppelspalt fallen lässt).
Um eine ordentliche Beugungserscheinung zu erhalten, bei der die Beugungswinkel genügend groß werden, sollte der Spaltmittenabstand b in etwa in der Größenordnung der Wellenlänge liegen.
