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Aufgabe

Bewegte Elektronen (Abitur BY 2003 GK A3-3)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

In Anlehnung an den Doppelspaltversuch nach JÖNSSON soll der Wellencharakter bewegter Elektronen experimentell nachgewiesen werden. Es steht ein Doppelspalt zur Verfügung, dessen Spaltmitten den Abstand \(3,5{\rm{\mu m}}\) haben.

a)Die Interferenzfigur wird in einer Nachweisebene betrachtet, die \(40{\rm{cm}}\) vom Doppelspalt entfernt ist. Durch optische Vergrößerung sind die Interferenzstreifen noch gut erkennbar, wenn das Maximum 2. Ordnung in der Nachweisebene den Abstand \(6,5{\rm{\mu m}}\) vom zentralen Maximum hat.

Berechne, welche de BROGLIE-Wellenlänge in diesem Fall die Elektronen des verwendeten Elektronenstrahls haben. [zur Kontrolle: \(\lambda  = 28{\rm{pm}}\)] (7 BE)

b)Berechne die Spannung, mit der die Elektronen demnach beschleunigt werden müssen (nichtrelativistische Rechnung) [zur Kontrolle: \(U = 1,9{\rm{kV}}\)] (6 BE)

In der Bildröhre eines Fernsehgerätes werden Elektronen mit ca. \(25{\rm{kV}}\) beschleunigt.

c)Der Elektronenstrahl wird durch Lochblenden gebündelt, deren Durchmesser in der Größenordnung \(1{\rm{mm}}\) liegen.

Erkläre, warum dabei keine störenden Beugungserscheinungen auftreten. (Argumentieren Sie ohne Rechnung.) (4 BE)

d)Beim Abbremsen der Elektronen am Bildschirm entsteht Röntgenstrahlung.

Erläutere, warum man - im Hinblick auf die jeweils auftretenden Energieumwandlungen - die Erzeugung der Röntgenbremsstrahlung grob vereinfacht als "Umkehrung des Photoeffektes" auffassen kann. (4 BE)

e)Erläutere, warum man mit einem Strichgitter, wie man es zur spektralen Zerlegung sichtbaren Lichts verwendet, kein Röntgenspektrum erzeugen kann.

Erläutere weiter, wie sich die Wellennatur von Röntgenstrahlung nachweisen lässt. (5 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Da der Abstand \(b\) der Spaltmitten klein im Vergleich zum Abstand \(a\) der Nachweisebene vom Doppelspalt ist, gilt \[b \cdot \sin \left( \alpha  \right) = k \cdot \lambda  \Rightarrow b \cdot \sin \left( {{\alpha _2}} \right) = 2 \cdot \lambda  \Leftrightarrow \sin \left( {{\alpha _2}} \right) = \frac{{2 \cdot \lambda }}{b}\] Weiter gilt \[\tan \left( {{\alpha _2}} \right) = \frac{{{d_2}}}{a}\] Für kleine Winkel ist der Tangens etwa gleich dem Sinus des Winkels, d.h. es gilt \[\sin \left( {{\alpha _2}} \right) \approx \tan \left( {{\alpha _2}} \right) \Leftrightarrow \frac{{2 \cdot \lambda }}{b} = \frac{{{d_2}}}{a} \Leftrightarrow \lambda  = \frac{{{d_2} \cdot b}}{{2 \cdot a}}\] Einsetzen der gegebenen Werte liefert \[\lambda  = \frac{{6,5 \cdot {{10}^{ - 6}}{\rm{m}} \cdot 3,5 \cdot {{10}^{ - 6}}{\rm{m}}}}{{2 \cdot 0,40{\rm{m}}}} = 2,8 \cdot {10^{ - 11}}{\rm{m}}\]

b)Für den Impuls der Elektronen gilt nach de BROGLIE \[p = \frac{h}{\lambda }\] Mit der klassischen Energie-Impuls-Beziehung \[{E_{{\rm{kin}}}} = \frac{{{p^2}}}{{2 \cdot m}}\] und \({E_{{\rm{kin}}}} = e \cdot U\) folgt dann \[e \cdot U = \frac{{{p^2}}}{{2 \cdot m}} \Leftrightarrow U = \frac{{{p^2}}}{{2 \cdot m \cdot e}} = \frac{{{{\left( {\frac{h}{\lambda }} \right)}^2}}}{{2 \cdot m \cdot e}} = \frac{{{h^2}}}{{2 \cdot m \cdot e \cdot {\lambda ^2}}}\] Einsetzen der gegebenen Werte liefert \[U = \frac{{{{\left( {6,63 \cdot {{10}^{ - 34}}{\rm{Js}}} \right)}^2}}}{{2 \cdot 9,11 \cdot {{10}^{ - 31}}{\rm{kg}} \cdot 1,602 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot {{\left( {2,8 \cdot {{10}^{ - 11}}{\rm{m}}} \right)}^2}}} = 1,9 \cdot {10^3}{\rm{V}} = 1,9{\rm{kV}}\]

c)Wenn die Beschleunigungsspannung \(25{\rm{kV}}\) beträgt, ist die de BROGLIE-Wellenlänge (vgl. Teilaufgabe b)) noch kleiner als \({2,8 \cdot {{10}^{ - 11}}{\rm{m}}}\). Die Blendenöffnung von \(1{\rm{mm}}\) Durchmesser ist also um viele Größenordnungen größer als \(\lambda \). Somit liegen Verhältnisse wie in der geometrischen Optik vor, bei der Beugungserscheinungen vernachlässigbar sind.

d)Beim Fotoeffekt löst ankommende elektromagnetische Strahlung an der Fotokathode Elektronen ab. An der Anode bewirken die schnellen ankommenden Elektronen die Emission elektromagnetischer Strahlung. Daher kann man durchaus von einem "inversen Fotoeffekt" sprechen.

e)Da die Wellenlängen von Röntgenstrahlen wesentlich kleiner als die Gitterkonstanten der üblichen Strichgitter sind, ergeben sich keine nachweisbaren Beugungserscheinungen.

Zur Beugung von Röntgenstrahlen verwendet man die regelmäßigen Strukturen der Atome, wie sie in einem Einkristall vorliegen. Der Abstand der Atome ist von der gleichen Größenordnung wie die Wellenlänge der Röntgenstrahlung.