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Aufgabe

Beugung am Wolframkristall (Abitur BY 2001 LK A3-2)

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

In einer evakuierten Röhre trifft ein fein gebündelter Strahl von Elektronen der kinetischen Energie \(150{\rm{keV}}\) senkrecht auf eine dünne Schicht aus polykristallinem Wolfram. Auf einem im Abstand \(20,0{\rm{cm}}\) dahinter stehenden Schirm beobachtet man einen zentralen Leuchtpunkt und als Beugungsfiguren mehrere Kreise. Der Durchmesser des innersten Kreises beträgt \(5,3{\rm{mm}}\).

a)Berechne relativistisch die den Elektronen zugeordnete de BROGLIE-Wellenlänge \(\lambda \). (7 BE)

b)Berechne den Netzebenenabstand, der aus den gegebenen Daten resultiert. (6 BE)

c)Auf dem Leuchtschirm entstehen auch Kreise, die sich nicht als Beugungsfiguren höherer Ordnung deuten lassen.

Erkläre deren Zustandekommen. (3 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Benutzt wird die Formel von de BROGLIE \[\lambda  = \frac{h}{p}\quad(1)\] sowie die Energie-Impuls-Beziehung \[{E^2} = {E_0}^2 + {p^2} \cdot {c^2} \Leftrightarrow {p^2} = \frac{{{E^2} - {E_0}^2}}{{{c^2}}} \Rightarrow p = \frac{{\sqrt {{E^2} - {E_0}^2} }}{c}\quad(2)\] Einsetzen von \((2)\) in \((1)\) ergibt \[\lambda = \frac{h}{{\frac{{\sqrt {{E^2} - {E_0}^2} }}{c}}} = \frac{{h \cdot c}}{{\sqrt {{E^2} - {E_0}^2} }}\] Einsetzen der gegebenen Werte liefert \[\lambda  = \frac{{6,63 \cdot {{10}^{ - 34}}{\rm{Js}} \cdot 3,00 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{\sqrt {{{\left( {661 \cdot {{10}^3} \cdot 1,602 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{J}}} \right)}^2} - {{\left( {511 \cdot {{10}^3} \cdot 1,602 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{J}}} \right)}^2}} }} = 2,96 \cdot {10^{ - 12}}{\rm{m}}\]

b)Die Kreise mit dem Radius \(2,65{\rm{mm}}\) kommen durch BRAGG-Streuung am Wolfram-Kristall zustande. Die Punkte auf der Kreislinie sind um den doppelten BRAGG-Winkel gebeugt. Es gilt \[\tan \left( {2 \cdot \vartheta } \right) = \frac{r}{a} \Rightarrow \vartheta = \frac{1}{2} \cdot \arctan \left( {\frac{r}{a}} \right) \Rightarrow \vartheta = \frac{1}{2} \cdot \arctan \left( {\frac{{5,3\rm{mm}}}{{2 \cdot 200\rm{mm}}}} \right) = 0,38^\circ \] und damit \[\lambda = 2 \cdot d \cdot \sin \left( \vartheta \right) \Leftrightarrow d = \frac{\lambda }{{2 \cdot \sin \left( \vartheta \right)}} \Rightarrow d = \frac{{2,96 \cdot {{10}^{ - 12}}{\rm{m}}}}{{2 \cdot \sin \left( {0,38^\circ } \right)}} = 2,2 \cdot {10^{ - 10}}{\rm{m}}\]

c)Im Regelfall haben Kristalle mehrere Netzebenenabstände. Deshalb kommen mehr konzentrische Kreise vor.

Grundwissen zu dieser Aufgabe