Direkt zum Inhalt

Aufgabe

Alphateilchen am Spalt

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Alphateilchen treffen senkrecht auf einen Spalt der Breite \(\Delta x = 1,0 \cdot {10^{ - 6}}{\rm{m}}\). Die kinetische Energie der Alphateilchen ist im ersten Fall \({E_{{\rm{kin,1}}}} = 10{\rm{eV}}\) und im zweiten Fall \({E_{{\rm{kin,2}}}} = 0,5{\rm{MeV}}\).

a)Schätze den Betrag \(\Delta {p_x}\) des  Impulses der Teilchen mit Hilfe der HEISENBERG'schen Relation ab.

b)Ermittle den Gesamtimpuls der Teilchen durch vektorielle Addition der Impulse \(\vec{\Delta p_x}\) und \( \vec{p}_y \) (Impuls vor dem Spalt).

Entscheide, ob der Richtung des Gesamtimpulses deutlich von der Richtung des ursprünglichen Impulse \( \vec{p}_y \) abweicht.

Lösung einblendenLösung verstecken Lösung einblendenLösung verstecken

a)Für beide Fälle gilt \[\Delta {p_x} \cdot \Delta x \ge \frac{h}{{4 \cdot \pi }} \Rightarrow \Delta {p_x} \ge \frac{h}{{4 \cdot \pi  \cdot \Delta x}} \Rightarrow \Delta {p_x} \ge \frac{{6,63 \cdot {{10}^{ - 34}}{\rm{Js}}}}{{4 \cdot \pi  \cdot 1,0 \cdot {{10}^{ - 6}}{\rm{m}}}} = 5,3 \cdot {10^{ - 29}}{\rm{Ns}}\]

b)Benutzt man die HEISENBERG'sche Relation als Gleichung, so ergibt sich für den Impuls in \(x\)-Richtung \[\Delta {p_x} \approx 5,3 \cdot {10^{ - 29}}{\rm{Ns}}\] Bestimmung des Impulsbetrags \({p_y}\) aus der klassischen Energie-Impuls-Beziehung: \[{E_{{\rm{kin}}}} = \frac{{p_y^2}}{{2 \cdot {m_\alpha }}} \Rightarrow {p_y} = \sqrt {2 \cdot {m_\alpha } \cdot {E_{{\rm{kin}}}}} \] Im ersten Falle ergibt sich \[{p_{y,1}} = \sqrt {2 \cdot 6,64 \cdot {{10}^{ - 27}}{\rm{kg}} \cdot 10 \cdot 1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot {\rm{V}}}  = 1,5 \cdot {10^{ - 22}}{\rm{Ns}}\] im zweiten Fall \[{p_{y,2}} = \sqrt {2 \cdot 6,64 \cdot {{10}^{ - 27}}{\rm{kg}} \cdot 0,50 \cdot {{10}^6} \cdot 1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot {\rm{V}}}  = 3,2 \cdot {10^{ - 20}}{\rm{Ns}}\] Für den Betrag des Gesamtimpulses \(p_{\rm{ges}}\) gilt \[{p_{{\rm{ges}}}} = \sqrt {p_y^2 + {{\left( {\Delta {p_x}} \right)}^2}} \] Da in bei Fällen \({p_y} \gg \Delta {p_x}\) ist, gilt \[{p_{\rm{ges}}} \approx {p_y}\]

Die Planfigur zeigt, wie die Richtung des Gesamtimpulses ermittelt werden kann. Da \({p_y}\) um mindestens sieben Größenordnung über\(\Delta {p_x}\) liegt, kommt es in beiden Fällen zu keiner merklichen Aufweitung des Strahls.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Quantenphysik

Quantenobjekt Elektron