Direkt zum Inhalt

Aufgabe

Linsengleichung - Formelumstellung

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Um Aufgaben zu Linsen zu lösen musst du häufig die Gleichung \(\frac{1}{f}=\frac{1}{b}+\frac{1}{g}\) nach einer Größe, die unbekannt ist, auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in der folgenden Animation.

Um die Gleichung\[\frac{1}{{\color{Red}{{f}}}} = \frac{1}{{{b}}} + \frac{1}{{{g}}}\]nach \({\color{Red}{{f}}}\) aufzulösen, musst du zwei Umformungen durchführen:


Addiere die Brüche auf der rechten Seite der Gleichung, indem du sie auf den gleichen Nenner bringst und die Zähler addierst.\[\frac{1}{{\color{Red}{{f}}}} = \frac{{{g}}}{{{b}} \cdot {{g}}} + \frac{{{b}}}{{{g}}\cdot {{b}}} = \frac{{{g}}+{{b}}}{{{b}}\cdot {{g}}}\]
Bilde auf beiden Seiten der Gleichung den Kehrwert der Brüche.\[{\color{Red}{{f}}} = \frac{{{b}} \cdot {{g}}}{{{g}}+{{b}}}\]Die Gleichung ist nach \({\color{Red}{{f}}}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[\frac{1}{{{f}}} = \frac{1}{{\color{Red}{{b}}}} + \frac{1}{{{g}}}\]nach \({\color{Red}{{b}}}\) aufzulösen, musst du vier Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[\frac{1}{{\color{Red}{{b}}}} + \frac{1}{{{g}}} = \frac{1}{{{f}}}\]
Subtrahiere auf beiden Seiten der Gleichung \(\frac{1}{{{g}}}\).\[\frac{1}{{\color{Red}{{b}}}} = \frac{1}{{{f}}} - \frac{1}{{{g}}}\]
Subtrahiere die Brüche auf der rechten Seite der Gleichung, indem du sie auf den gleichen Nenner bringst und die Zähler subtrahierst.\[\frac{1}{{\color{Red}{{b}}}} = \frac{{{g}}}{{{f}} \cdot {{g}}} - \frac{{{f}}}{{{g}}\cdot {{f}}} = \frac{{{g}} - {{f}}}{{{f}}\cdot {{g}}}\]
Bilde auf beiden Seiten der Gleichung den Kehrwert der Brüche.\[{\color{Red}{{b}}} = \frac{{{f}} \cdot {{g}}}{{{g}} - {{f}}}\]Die Gleichung ist nach \({\color{Red}{{b}}}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[\frac{1}{{{f}}} = \frac{1}{{{b}}} + \frac{1}{{\color{Red}{{g}}}}\]nach \({\color{Red}{{g}}}\) aufzulösen, musst du vier Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[\frac{1}{{{b}}} + \frac{1}{{\color{Red}{{g}}}} = \frac{1}{{{f}}}\]
Subtrahiere auf beiden Seiten der Gleichung \(\frac{1}{{{b}}}\).\[\frac{1}{{\color{Red}{{g}}}} = \frac{1}{{{f}}} - \frac{1}{{{b}}}\]
Subtrahiere die Brüche auf der rechten Seite der Gleichung, indem du sie auf den gleichen Nenner bringst und die Zähler subtrahierst.\[\frac{1}{{\color{Red}{{g}}}} = \frac{{{b}}}{{{f}} \cdot {{b}}} - \frac{{{f}}}{{{b}}\cdot {{f}}} = \frac{{{b}} - {{f}}}{{{f}}\cdot {{b}}}\]
Bilde auf beiden Seiten der Gleichung den Kehrwert der Brüche.\[{\color{Red}{{g}}} = \frac{{{f}} \cdot {{b}}}{{{b}} - {{f}}}\]Die Gleichung ist nach \({\color{Red}{{g}}}\) aufgelöst.
Abb. 1 Schrittweises Auflösen der Linsengleichung \(\frac{1}{f} = \frac{1}{b} + \frac{1}{g}\) nach den drei in der Formel auftretenden Größen
a)

Ein Gegenstand steht \(20\,\rm{cm}\) vor einer Sammellinse, \(60\,\rm{cm}\) hinter ihr entsteht sein Bild.

Berechne die Brennweite der Linse.

b)

\(15\,\rm{cm}\) vor einer Sammellinse der Brennweite \(10\,\rm{cm}\) befindet sich ein Gegenstand.

Berechne, in welchem Abstand von der Linsenmitte ein scharfes Bild des Gegenstandes entsteht.

c)

Mit einer Sammellinse der Brennweite \(20\,\rm{cm}\) wird ein Gegenstand \(1{,}00\,\rm{m}\) hinter der Linse scharf abgebildet.

Berechne, in welcher Entfernung vor der Linse sich der Gegenstand befindet.

Lösung einblendenLösung verstecken Lösung einblendenLösung verstecken
a)

gegeben:

\(b=60\,\rm{cm}\)

\(g=20\,\rm{cm}\)

gesucht:

\(f\)

Mit der Linsengleichung erhalten wir\[\frac{1}{f}=\frac{1}{b}+\frac{1}{g} \Leftrightarrow f=\frac{b \cdot g}{g+b}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (mit zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[f=\frac{60\,\rm{cm} \cdot 20\,\rm{cm}}{20\,\rm{cm}+60\,\rm{cm}}=15\,\rm{cm}\]

b)

gegeben:

\(f=10\,\rm{cm}\)

\(g=15\,\rm{cm}\)

gesucht:

\(b\)

Mit der Linsengleichung erhalten wir\[\frac{1}{f}=\frac{1}{b}+\frac{1}{g} \Leftrightarrow b=\frac{f \cdot g}{g-f}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (mit zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[b=\frac{10\,\rm{cm} \cdot 15\,\rm{cm}}{15\,\rm{cm}-10\,\rm{cm}}=30\,\rm{cm}\]

c)

gegeben:

\(f=20\,\rm{cm}=0{,}20\,\rm{m}\)

\(b=1{,}00\,\rm{m}\)

gesucht:

\(g\)

Mit der Linsengleichung erhalten wir\[\frac{1}{f}=\frac{1}{b}+\frac{1}{g} \Leftrightarrow g=\frac{f \cdot b}{b-f}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (mit zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[g=\frac{0{,}20\,\rm{m} \cdot 1{,}00\,\rm{m}}{1{,}00\,\rm{m}-0{,}20\,\rm{m}}=0{,}25\,\rm{m}=25\,\rm{cm}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Optik

Optische Linsen