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Aufgabe

Der 60°-Winkelspiegel

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Skizze zur Aufgabe

Im Raum eines Winkelspiegels mit \(60^\circ \) Öffnungswinkel steht eine Kerze K, von der Licht zuerst zum Spiegel 1, dann weiter zum Spiegel 2 läuft und schließlich zum Auge A des Beobachters gelangt.

a) Konstruiere das abbildende Bündel.

b) Bestimme die Weite des Winkels, den ein von K ausgehender Lichtstrahl mit dem schließlich bei A ankommenden Lichtstrahl bildet.

Hinweis: Für diese Aufgabe muss man über die Winkelgesetze in Dreiecken Bescheid wissen.

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Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Skizze mit Lichtweg

a)Zunächst legt man das Spiegelbild K1 von K bezüglich Spiegel 1 fest, dann das Spiegelbild K2 von K1 bezüglich des Spiegels 2.

 

Joachim Herz Stiftung
Abb. 3 Skizze zur Berechnung der Winkelweite

b)Vorüberlegung: Der Winkel zwischen dem in den Winkelspiegel einfallenden Strahl und dem Strahl, der den Winkelspiegel wieder verlässt, habe die Winkelweite \(\delta \); er ist Nebenwinkel des Winkels mit der Weite \(\gamma \) im rosafarbenen Dreieck.

Für die Winkelweite \(\gamma \) gilt\[\gamma  + 2 \cdot \alpha  + 2 \cdot \beta  = 180^\circ  \Leftrightarrow \gamma  = 180^\circ  - 2 \cdot \alpha  - 2 \cdot \beta  = 180^\circ  - 2 \cdot \left( {\alpha  + \beta } \right) \quad (1)\]Für die gesuchte Winkelweite \(\delta \) gilt dann\[\delta  = 180^\circ  - \gamma \]und wegen \((1)\)\[\delta  = 180^\circ  - \left( {180^\circ  - 2 \cdot \left( {\alpha  + \beta } \right)} \right) = 180^\circ  - 180^\circ  + 2 \cdot \left( {\alpha  + \beta } \right) = 2 \cdot \left( {\alpha  + \beta } \right) \quad(2)\]Nun betrachtet man die Winkelsumme im türkisfarbenen Dreieck:\[60^\circ  + \left( {90^\circ  - \alpha } \right) + \left( {90^\circ  - \beta } \right) = 180^\circ  \Leftrightarrow \alpha  + \beta  = 60^\circ \quad(3)\]Setzt man \((3)\) in \((2)\) ein, so erhält man\[\delta  = 2 \cdot \left( {\alpha  + \beta } \right) = 2 \cdot 60^\circ  = 120^\circ \]Hinweis: Dieses Ergebnis kann man noch verallgemeinern: Bilden die Spiegel eines Winkelspiegels einen Winkel der Weite \(\varepsilon \), so bilden einfallender und ausfallender Lichtstrahl an diesem Spiegel einen Winkel der Weite \(2 \cdot \varepsilon \).

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Optik

Lichtreflexion