Im Raum eines Winkelspiegels mit \(60^\circ \) Öffnungswinkel steht eine Kerze K, von der Licht zuerst zum Spiegel 1, dann weiter zum Spiegel 2 läuft und schließlich zum Auge A des Beobachters gelangt.
a) Konstruiere das abbildende Bündel.
b) Bestimme die Weite des Winkels, den ein von K ausgehender Lichtstrahl mit dem schließlich bei A ankommenden Lichtstrahl bildet.
Hinweis: Für diese Aufgabe muss man über die Winkelgesetze in Dreiecken Bescheid wissen.
a)Zunächst legt man das Spiegelbild K1 von K bezüglich Spiegel 1 fest, dann das Spiegelbild K2 von K1 bezüglich des Spiegels 2.
Joachim Herz Stiftung
Abb. 3 Skizze zur Berechnung der Winkelweite
b)Vorüberlegung: Der Winkel zwischen dem in den Winkelspiegel einfallenden Strahl und dem Strahl, der den Winkelspiegel wieder verlässt, habe die Winkelweite \(\delta \); er ist Nebenwinkel des Winkels mit der Weite \(\gamma \) im rosafarbenen Dreieck.
Für die Winkelweite \(\gamma \) gilt\[\gamma + 2 \cdot \alpha + 2 \cdot \beta = 180^\circ \Leftrightarrow \gamma = 180^\circ - 2 \cdot \alpha - 2 \cdot \beta = 180^\circ - 2 \cdot \left( {\alpha + \beta } \right) \quad (1)\]Für die gesuchte Winkelweite \(\delta \) gilt dann\[\delta = 180^\circ - \gamma \]und wegen \((1)\)\[\delta = 180^\circ - \left( {180^\circ - 2 \cdot \left( {\alpha + \beta } \right)} \right) = 180^\circ - 180^\circ + 2 \cdot \left( {\alpha + \beta } \right) = 2 \cdot \left( {\alpha + \beta } \right) \quad(2)\]Nun betrachtet man die Winkelsumme im türkisfarbenen Dreieck:\[60^\circ + \left( {90^\circ - \alpha } \right) + \left( {90^\circ - \beta } \right) = 180^\circ \Leftrightarrow \alpha + \beta = 60^\circ \quad(3)\]Setzt man \((3)\) in \((2)\) ein, so erhält man\[\delta = 2 \cdot \left( {\alpha + \beta } \right) = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ \]Hinweis: Dieses Ergebnis kann man noch verallgemeinern:Bilden die Spiegel eines Winkelspiegels einen Winkel der Weite \(\varepsilon \), so bilden einfallender und ausfallender Lichtstrahl an diesem Spiegel einen Winkel der Weite \(2 \cdot \varepsilon \).
