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Grundwissen

Lochkamera

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Das Bild bei einer Lochkamera steht auf dem Kopf und ist seitenverkehrt.
  • Ein Vergrößern des Loches führt zu einem helleren, aber unschärferen Bild.
  • Bildgröße \(B\) und Gegenstandsgröße \(G\) sowie Bildweite \(b\) und Gegenstandsweite \(g\) sind quotientengleich: \(\frac{B}{G}=\frac{b}{g}\).
Aufgaben Aufgaben

Bildentstehung

lochkame_lichtaus_gru_0.gif Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Bildentstehung bei einer Lochkamera

Ein Gegenstand der Größe \(G\) steht im Gegenstandsabstand \(g\) vor dem Loch einer Lochkamera. Um die Bildentstehung nachzuvollziehen nimmt man modellhaft an, dass von jedem Punkt des Gegenstandes ein Lichtbündel ausgeht.

Jedoch passiert nur ein kleiner Teil dieses Lichtbündels das Loch der Kamera und trägt auf den Schirm, der sich im Abstand \(b\) hinter dem Loch befindet, zur Bildentstehung bei. Durch die geradlinige Ausbreitung entsteht auf dem Schirm, wie in der Abbildung zu sehen, ein Bild, das auf dem Kopf steht und seitenverkehrt ist.

Einfluss der Lochgröße

In Abb. 2 sind links die zum Bild beitragenden Lichtbündel von vier farbig unterschiedlichen Gegenstandspunkten dargestellt. Dabei ist das Loch der Lochkamera relativ klein. Rechts sind die gleichen Gegenstandspunkte eingezeichnet, das Loch der Lochkamera ist hier aber deutlich größer gewählt. Die Auswirkungen der Änderung des Lochdurchmessers kannst du an den Bildpunkten auf dem Schirm beobachten.

 

lochkamera_-_lichtwege_bei_verschiedenen_lochdurchmessern.svg Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Links die Lichtwege bei kleinem Loch, rechts die Lichtwege bei größerem Loch.

Die durch die punktförmigen Lichtsender auf der Mattscheibe entstehenden Lichtflecke werden beim Vergrößern des Loches größer. Durch den vergrößerten Lichteinfall wird das Bild heller. Allerdings überlappen benachbarte Lichtflecke bei vergrößertem Loch stärker. Dadurch bekommt dein Auge den Eindruck eines unscharfen Bildes.

Strahlensatz bei der Lochkamera

Abb. 3 Anwendung des Strahlensatzes bei der Lochkamera. Dadurch erhält man die Beziehung zwischen Gegenstandsgröße, Gegenstandsweits, Bildgröße und Bildweite für die Lochkamera.

Du kannst den Strahlensatz auch hier nutzen, um bei bekannter Gegenstandsgröße \(G\), bekanntem Gegenstandsabstand \(g\) und bekanntem Bildabstand \(b\) Aussagen über die Bildgröße \(B\) zu treffen. Das diese Gesetzmäßigkeiten auch bei der Lochkamera gültig sind, macht die folgende Animation deutlich:

Abbildungsgesetz bei der Lochkamera

Wir nutzen folgende Bezeichnungen:

\(B\): Bildgröße

\(G\): Gegenstandsgröße

\(b\): Bildweite

\(g\): Gegenstandsweite

Dann gilt:

Bei jeder Abbildung mit einer Lochkamera ist der Quotient aus Bildgröße \(B\) und Gegenstandsgröße \(G\) gleich dem Quotienten aus Bildweite \(b\) und Gegenstandsweite \(g\):\[\frac{B}{G} = \frac{b}{g}\]

Mathematische Hilfen

Um Aufgaben zur Lochkamera zu lösen musst du häufig die Gleichung \(\frac{B}{G} = \frac{b}{g}\) nach einer Größe, die unbekannt ist, auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in der folgenden Animation.

Um die Gleichung\[\frac{\color{Red}{{B}}}{{{G}}} = \frac{{{b}}}{{{g}}}\]nach \(\color{Red}{{B}}\) aufzulösen, musst du zwei Umformungen durchführen:


Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \({{G}}\). Schreibe das \({{G}}\) auf beiden Seiten der Gleichung direkt als Zähler in die Brüche.\[\frac{\color{Red}{{B}} \cdot {{G}}}{{{G}}} = \frac{{{b}} \cdot {{G}}}{{{g}}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({{G}}\).\[\color{Red}{{B}} = \frac{{{b}} \cdot {{G}}}{{{g}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{{B}}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[\frac{{{B}}}{\color{Red}{{G}}} = \frac{{{b}}}{{{g}}}\]nach \(\color{Red}{{G}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Bilde auf beiden Seiten der Gleichung den Kehrwert der Brüche.\[\frac{\color{Red}{{G}}}{{{B}}} = \frac{{{g}}}{{{b}}}\]
Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \({{B}}\). Schreibe das \({{B}}\) auf beiden Seiten der Gleichung direkt als Zähler in die Brüche.\[\frac{\color{Red}{{G}} \cdot {{B}}}{{{B}}} = \frac{{{g}} \cdot {{B}}}{{{b}}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({{B}}\).\[\color{Red}{{G}} = \frac{{{g}} \cdot {{B}}}{{{b}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{{G}}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[\frac{{{B}}}{{{G}}} = \frac{\color{Red}{{b}}}{{{g}}}\]nach \(\color{Red}{{b}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[\frac{\color{Red}{{b}}}{{{g}}} = \frac{{{B}}}{{{G}}}\]
Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \({{g}}\). Schreibe das \({{g}}\) auf beiden Seiten der Gleichung direkt als Zähler in die Brüche.\[\frac{\color{Red}{{b}} \cdot {{g}}}{{{g}}} = \frac{{{B}} \cdot {{g}}}{{{G}}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({{g}}\).\[\color{Red}{{b}} = \frac{{{B}} \cdot {{g}}}{{{G}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{{b}}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[\frac{{{B}}}{{{G}}} = \frac{{{b}}}{\color{Red}{{g}}}\]nach \(\color{Red}{{g}}\) aufzulösen, musst du vier Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.\[\frac{{{b}}}{\color{Red}{{g}}} = \frac{{{B}}}{{{G}}}\]
Bilde auf beiden Seiten der Gleichung den Kehrwert der Brüche.\[\frac{\color{Red}{{g}}}{{{b}}} = \frac{{{G}}}{{{B}}}\]
Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \({{b}}\). Schreibe das \({{b}}\) auf beiden Seiten der Gleichung direkt als Zähler in die Brüche.\[\frac{\color{Red}{{g}} \cdot {{b}}}{{{b}}} = \frac{{{G}} \cdot {{b}}}{{{B}}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({{b}}\).\[\color{Red}{{g}} = \frac{{{G}} \cdot {{b}}}{{{B}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{{g}}\) aufgelöst.
Abb. 4 Schrittweises Auflösen der Abbildungsgleichung \(\frac{B}{G} = \frac{b}{g}\) nach den vier in der Formel auftretenden Größen
Aufgabe

Ein 5 cm hoher Gegenstand steht 50 cm vor einer Lochkamera mit einer Bildweite von 10 cm. Welche Aussage über das Bild auf dem Schirm sind richtig?

Lösungsvorschläge

Lösung

Bilder einer Lochkamera stehen immer auf dem Kopf und sind seitenverkehrt. Die Bildhöhe kannst du berechnen mittels\[B=\frac{G}{g}\cdot b\qquad\Rightarrow\qquad B=\frac{5\,\rm{cm}}{50\,\rm{cm}}\cdot 10\,\rm{cm}=1\,\rm{cm}\]