Abb. 1
Zusammenhang zwischen der Höhe der Schachfiguren und der Länge ihrer Schatten
Die Animation in Abb. 1 zeigt ein Schachbrett, das von einer Lichtquelle beleuchtet wird, so dass die Schachfiguren Schatten werfen. Wenn du die Animation startest, wird die Tabelle mit verschiedenen Werten gefüllt.
Mit Hilfe der folgenden Aufgaben sollst du nun untersuchen, welcher mathematische Zusammenhang zwischen den Höhen \(h\) der Figuren und den Längen \(s\) der Schatten besteht.
a) Beschreibe den Zusammenhang zwischen den Höhen \(h\) der Figuren und den Längen \(s\) der Schatten in Form eines "Je ..., desto ..." - Satzes.
b) Trage die Wertepaare aus der Tabelle in ein geeignetes \(h\)-\(s\)-Koordinatensystem ein.
c) Begründe anhand der Lage der Wertepaare im Koordinatensystem graphisch, dass \(s\) und \(h\) proportional zueinander sind.
d) Bestätige diese Proportionalität rechnerisch, indem du für alle Wertepaare die Quotienten \(\frac{s}{h}\) bildest.
Gib den Proportionalitätsfaktor \(p\) dieser Proportionalität an.
Beschreibe diese Proportionalität in Form einer Verhältnisgleichung.
e) Erläutere, wodurch in diesem Experiment der Proportionalitätsfaktor \(p\) beeinflusst wird.
Formuliere diesen Einfluss in Form eines "Je ..., desto ..." - Satzes.
a) Je größer (länger) die Höhe \(h\) der Figur , desto größer (länger) die Länge \(s\) des Schattens.
b)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Wertepaare im h-s-Koordinatensystem
c) Die Wertepaare liegen auf einer Ursprungsgerade. Dies ist ein eindeutiger Beweis dafür, dass die einzelnen Werte proportional zueinander sind.
Joachim Herz Stiftung
Abb. 3 Graphische Darstellung des linearen Zusammenhangs von s und h
d) Für fast alle Wertepaare hat der Quotient \(\frac{s}{h}\) den gleichen Wert \(0,90\).
s und h Wertepaare
\(s\;{\rm{in}}\;{\rm{mm}}\)
72
61
36
54
45
31
\(h\;{\rm{in}}\;{\rm{mm}}\)
80
68
40
60
60
34
\(\frac{s}{h}\)
0,90
0,90
0,90
0,90
0,90
0,91
Der gesuchte Proportionalitätsfaktor \(p\) ist der - für fast alle Wertepaare gleiche - Quotient \(\frac{s}{h}\) mit dem Wert \(p = 0,90\).
Die Proportionalität kann durch die Verhältnisgleichung\[\frac{{{s_1}}}{{{h_1}}} = \frac{{{s_2}}}{{{h_2}}}\]beschrieben werden, wobei \(\left( {{h_1}|{s_1}} \right)\) und \(\left( {{h_2}|{s_2}} \right)\) zwei beliebige Wertepaare sind.
Eine weitere Möglichkeit der Beschreibung der Proportionalität ist die Gleichung \(s = p \cdot h\) bzw. konkret für dieses Experiment \(s = 0,90 \cdot h\).
e) Der Proportionalitätsfaktor \(p\) wird durch die Position der Lichtquelle zum Schachbrett beeinflusst.
"Je flacher die Lichtquelle auf das Schachbrett leuchtet, desto größer ist der Proportionalitätsfaktor" oder "Je steiler die Lichtquelle auf das Schachbrett leuchtet, desto kleiner ist der Proportionalitätsfaktor"
