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Aufgabe

Sonnendurchmesser aus Sonnentaler

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Abb. 1 Sonnentaler am Waldboden

Bei schönem Wetter kann man unter dem Laubdach von Bäumen kreis- oder ellipsenförmige Lichtflecke beobachten, die sogenannten Sonnentaler. Das Merkwürdige an diesen Sonnentalern ist, dass der Lichtfleck am Boden stets ein Kreis oder eine Ellipse ist, obwohl doch ziemlich sicher ist, dass die "Löcher" im Blätterdach nicht immer kreis- bzw. ellipsenförmig sind.

a)Erkläre, warum die Sonnentaler - unabhängig von der Form des Loches - stets ellipsen- oder kreisförmig sind (sofern die "Löcher" nicht zu groß sind).

b)Erläutere, wie die Größe der Ellipse bzw. des Kreises von der Höhe des Loches im Blätterdach abhängt.

c)Beschreibe, wie man aus dem Durchmesser eines Sonnentalers den Durchmesser der Sonne abschätzen könnte.

Gib an, was man dazu außer der Entfernung Erde-Sonne (\(150\) Millionen Kilometer) noch wissen muss.

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Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Skizze zur Erklärung der Entstehung von Sonnentalern

a)Das weitgehend lichtundurchlässige Blätterdach mit seinen willkürlich geformten Lücken kann man als eine Vielzahl von verschiedenen Lochkameras auffassen.

Wenn die Lücke im Blätterdach keine zu große Ausdehnung hat, entstehen um die Mittagszeit etwa kreisförmige Sonnentaler, beim schrägen Einfall des Sonnenlichts am Morgen und am Abend entwerfen die „natürlichen Lochkameras“ dagegen ellipsenförmige Bilder von der Sonne.

 

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Abb. 3 Skizze zur Erklärung der Abhängigkeit der Größe der Sonnentaler von der Höhe der Lücken zwischen den Blättern

b)Je höher die Lücke im Blätterdach der Bäume ist, desto größer ist der zugehörige Sonnentaler.

 

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Abb. 4 Skizze zur Erläuterung des Verfahrens zur Bestimmung des Sonnendurchmessers

c)Der Durchmesser \({{D_{\rm{S}}}}\) der Sonne kann durch eine Verhältnisgleichung bestimmt werden. Dabei bedeuten

\({{D_{\rm{S}}}}\): Durchmesser der Sonne

\({{D_{\rm{T}}}}\): Durchmesser des Sonnentalers

\({{d_{{\rm{ES}}}}}\): Entfernung zwischen Erde und Sonne

\(h\): Höhe der Lücke im Blätterdach

Dann gilt\[\frac{{{D_{\rm{S}}}}}{{{D_{\rm{T}}}}} = \frac{d_{\rm{ES}}}{h} \Leftrightarrow D_{\rm{S}} = D_{\rm{T}} \cdot \frac{{{d_{{\rm{ES}}}}}}{{{h}}}\]