Optik

Beugung und Interferenz

Zwei-Quellen-Interferenz

  • Kommt Licht um die Ecke?
  • Licht + Licht = Dunkelheit?
  • Wie misst man die Wellenlänge von Licht?

Zwei-Quellen-Interferenz

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Gibt es nur zwei Quellen bzw. Sender, so spricht man von Zwei-Quellen-Interferenz.
  • Winkelweite und Gangunterschied lassen sich besonders einfach berechnen, wenn der Abstand Sender-Empfänger groß ist gegenüber dem Abstand der beiden Sender.
  • Aus dem Beugungsbild von Licht am Doppelspalt, kann man die Wellenlänge des Lichtes bestimmen.

Die Überlagerung von Wellen wird als Interferenz bezeichnet. Gibt es nur zwei Sender (Quellen) von denen Wellen ausgehen, so spricht man von Zwei-Quellen-Interferenz (ZQI). Beispiele für Sender sind zwei Tupfer in einer Wasserwellenwanne, zwei Lautsprecher oder zwei Spalte, von denen Elementarwellen ausgehen.

Annahmen

Vereinfachend wollen wir annehmen, dass die betrachteten Wellen harmonisch sind und gleiche Amplitude, Frequenz und Schwingungsrichtung besitzen.

Stelle dir einen ruhigen See vor, in den zwei Tupfer (Sender S1 und S2) eintauchen und zwei Kreiswellensysteme erzeugen, außerdem in einiger Entfernung einen Korken (Empfänger E), der von den Wellen erfasst und zu Schwingungen angeregt wird. Bei der Überlagerung der Wellen treten die beiden folgenden Extremfälle auf:

Konstruktive Interferenz

Ein Berg von Welle 1 trifft auf einen Berg von Welle 2 oder ein Tal von Welle 1 trifft auf ein Tal von Welle 2. In diesem Fall kommt es zur Maximalauslenkung (z.B. des Korkens).

Konstruktive Interferenz von Schallwellen
Abb.
1
Bedingung für konstruktive Interferenz

konstruktive Interferenz

Zur konstruktiven Interferenz kommt es immer dann, wenn für den Gangunterschied \(\Delta s = \left| {\overline {{S_2}E}  - \overline {{S_1}E} } \right|\) gilt
\[\Delta s = n \cdot \lambda\;\;\; \rm{mit}\;\;\; n \in \left\{ {\color{Red}{0}\;;\;1\;;\;2\;;\;...} \right\}\]

Man spricht für \(n = 0 \Rightarrow \Delta s = 0 \cdot \lambda = 0\) vom Maximum 0. Ordnung.

Für \(n = 1 \Rightarrow \Delta s = 1 \cdot \lambda = \lambda\) kommt es zum Maximum 1. Ordnung.

Destruktive Interferenz

 

Ein Berg von Welle 1 trifft auf ein Tal von Welle 2 oder ein Tal von Welle 1 trifft auf einen Berg von Welle 2. In diesem Fall kommt es zur Auslöschung (z.B. keine Auslenkung des Korkens).

Destruktive Interferenz bei Wellen
Abb.
2
Bedingung für destruktive Interferenz

 

destruktive Interferenz

Zur destruktiven Interferenz kommt es immer dann, wenn der Gangunterschied \(\Delta s = \left| {\overline {{S_2}E}  - \overline {{S_1}E} } \right|\) die Werte \(\frac{\lambda }{2}\), \(3 \cdot \frac{\lambda }{2}\), \(5 \cdot \frac{\lambda }{2}\) usw. annimmt. Mathematisch elegant kann man dies in der folgenden Form schreiben:
\[\Delta s = \left( {n - \frac{1}{2}} \right) \cdot \lambda \;\;\; \rm{mit}\;\;\;n \in \left\{ {\color{Red}{1}\;;\;2\;;\;3\;;\;...} \right\}\]

Man spricht für \(n = 1 \Rightarrow \Delta s = \left( {1 - \frac{1}{2}} \right) \cdot \lambda  = \frac{\lambda }{2}\) vom Minimum 1.Ordnung.

Winkelweite \(\alpha\)

Die Berechnung der Winkelweite \(\alpha\), unter dem ein Maximum oder Minimum erscheint, wird dann besonders einfach, wenn die Entfernung \(a\) des Empfängers E sehr groß gegenüber dem Abstand \(b\) der beiden Sender ist (\(b \ll a\)).In diesem Fall die Geraden \(\overline{\rm{S_1 E}}\)  und \(\overline{\rm{S_1 E}}\) nahezu parallel und der Winkel \(\alpha\) sehr klein.

Zwei-Quelle-Interferenz von Wellen
Abb.
3
Zwei-Quelle-Interferenz von Wellen bei großem Abstand Sender-Empfänger

 

Aus der Zeichnung kann man entnehmen, dass für den Gangunterschied \(\Delta s\) gilt
\[\sin \left( \alpha  \right) = \frac{{\Delta s}}{b} \Leftrightarrow \Delta s = b \cdot \sin \left( \alpha  \right) \quad (1)\]
und dass für die Winkelweite \(\alpha\) gilt
\[\tan (\alpha ) = \frac{d}{a}\quad (2)\]
Ist \(\alpha\) sehr klein (d.h. in der Schulpraxis \(\alpha<5^\circ \)), so stimmt der Sinus und der Tangens eines Winkels gut überein, d.h. es gilt \(\tan (\alpha ) \approx \sin (\alpha )\); man nennt dies die Kleinwinkelnäherung. Mit dieser Näherung folgt dann aus \((1)\) und \((2)\)
\[\Delta s = b \cdot \tan \left(\alpha \right) = b \cdot \frac{d}{a}\]

Die Berechnung des Gangunterschiedes bei nahem Schirm, wird hier beschrieben.

Anwendung:

Mithilfe dieser Erkenntnisse kannst du experimentell die Wellenlänge von Licht bestimmen, wenn du den Spaltabstand \(b\) eines Doppelspaltes kennst.

Kennst du die Wellenlänge \(\lambda\) eines Lasers, so kannst du umgekehrt auch den Spaltabstand \(b\) eines Doppelspaltes experimentell bestimmen.

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