Optik

Beugung und Interferenz

Wellenlängenbestimmung mit dem Doppelspalt

  • Kommt Licht um die Ecke?
  • Licht + Licht = Dunkelheit?
  • Wie misst man die Wellenlänge von Licht?

Wellenlängenbestimmung mit dem Doppelspalt

Bestimmung des Spaltabstandes b des Doppelspalts (wenn er nicht schon auf dem Doppelspalt-Dia angegeben ist)

1. Methode: Abbildung durch eine Sammellinse

Mit einer geeigneten Sammellinse (z.B. f = 150 mm) bildet man den Doppelspalt vergrößert auf einem Schirm ab. Es gilt dann:

\[ \frac{b}{b'} = \frac{x}{x'} \Rightarrow b = b' \frac{x}{x'} \]

2. Methode: Verwendung eines Diaprojektors und eines Dias mit transparentem Maßstab

Man bildet das Doppelspalt-Dia mit einem Projektor ab und misst den Abstand b' der Spaltbilder. Anschließend bildet man das Dia mit dem transparenten Millimeter-Maßstab ab und misst den Abstand Δx' zweier benachbarter Millimeterlinien. Für den tatsächlichen Spaltabstand b gilt dann:

\[ \frac{b}{1 \rm{mm}} = \frac{b'}{\Delta x'} \Rightarrow b = \frac{b'}{\Delta x'} \rm{mm} \]

Bei dem verwendeten Doppelspalt ergab sich b = 0,10 · 10-3 m.

Doppelspaltversuch mit Glühlicht

  • Ist a >> b, so kann man näherungsweise davon ausgehen, dass die Strahlen von den beiden Spalten parallel weglaufen, es gilt dann:

\[ \Delta s \approx b \cdot \sin{\alpha} \]

  • Ist dk (Abstand des k-ten Maximums von der optischen Achse) wesentlich kleiner als a, so gilt die Kleinwinkelnäherung:

\[ \sin{\alpha} \approx \tan{\alpha} \approx \alpha \]

  • Unter Verwendung dieser beiden Näherungen gilt für die Wellenlänge λ:

\[ k \cdot \lambda = b \cdot \sin{\alpha_k} \Rightarrow \sin{\alpha_k} = \frac{k \cdot \lambda}{b} \text{     (1) } \] \[ \tan{\alpha_k} = \frac{d_k}{a} \text{     (2) } \]
Da \(\sin{\alpha_k} \approx \tan{\alpha_k} \) gilt mit (1) und (2):
\[ \frac{k \cdot \lambda}{b} = \frac{d_k}{a} \Rightarrow \lambda = \frac{d_k \cdot b}{a \cdot k} \]
 

Messergebnisse:

Abstand der beiden Maxima 2. Ordnung bei Verwendung eines Rotfilters: 140 mm; Abstand des Schirms vom Doppelspalt a = 5,00 m:

\[ \lambda_{rot} = \frac{70 \cdot 10^{-3} \cdot 0,10 \cdot 10^{-3}}{5,00 \cdot 2} \rm{m} \approx 7,0 \cdot 10^{-7}\rm{m} \]

Abstand der beiden Maxima 2. Ordnung bei Verwendung eines Grünfilters: 95 mm; Abstand des Schirms vom Doppelspalt a = 5,00 m:

\[ \lambda_{grün} = \frac{47,5 \cdot 10^{-3} \cdot 0,10 \cdot 10^{-3}}{5,00 \cdot 2} \rm{m} \approx 4,8 \cdot 10^{-7} \rm{m} \]

Doppelspaltversuch mit Laserlicht

Bei einem Doppelspalt mit \({b = 0,10 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{m}}}\) und einem Schirmabstand \({a = 5,00{\rm{m}}}\) vom Doppelspalt ergab sich bei Verwendung von Laserlicht für das Maximum 1. Ordnung ein Abstand von der optischen Achse von \({32{\rm{mm}}}\).

Berechne die Wellenlänge des Laserlichts.

Hinweis:

Für genauere Messungen der Wellenlänge des Lichts verwendet man in der Regel keinen Doppelspalt, sondern einen Vielfachspalt (Gitter). Die Vorgehensweise bei der Wellenlängenberechnung beim Gitter stimmt mit der wie sie beim Doppelspalt verwendet wurde völlig überein.

Der Vorteil des Gitters ist, dass die Interferenzerscheinung aufgrund der Vielzahl der Spalte heller ist. Außerdem sind die Maxima enger begrenzt und somit ist dk genauer messbar.

 

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