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Aufgabe

Wellenlänge der genutzten Röntgenstrahlung

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Bei der BRAGG-Reflexion von RÖNTGEN-Strahlung an einem \({\rm{KaBr}}\)-Kristall mit dem Netzebenenabstand \(329{\rm{pm}}\) misst man unter dem Glanzwinkel der Weite \(15,0^\circ \) erstmalig starke Intensität.

a) Berechne die Wellenlänge der RÖNTGEN-Strahlung.

b) Berechne die Weiten weiterer Glanzwinkel, unter denen starke Intensität zu erwarten ist.

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a) Ausgehend von der BRAGG-Gleichung erhält man durch Umstellen\[\begin{eqnarray}n \cdot \lambda  &=& 2 \cdot d \cdot \sin \left( \vartheta_n  \right) \quad \quad \quad\left| {:n} \right.\\\lambda  &=& \frac{{2 \cdot d \cdot \sin \left( \vartheta_n  \right)}}{n}\end{eqnarray}\]Für \(n=1\) erhält man nach Einsetzen der gegebenen Werte\[\lambda  = \frac{{2 \cdot 329 \cdot {{10}^{ - 12}}{\rm{m}} \cdot \sin \left( {15,0^\circ } \right)}}{1} = 170 \cdot {10^{ - 12}}{\rm{m}}\]

b) Ausgehend von der BRAGG-Gleichung erhält man durch Umstellen\[\begin{eqnarray}n \cdot \lambda  &=& 2 \cdot d \cdot \sin \left( \vartheta_n  \right)\\2 \cdot d \cdot \sin \left( \vartheta_n  \right) &=& n \cdot \lambda \quad \quad \quad \left| {:\left( {2 \cdot d} \right)} \right.\\\sin \left( \vartheta_n  \right) &=& n \cdot \frac{\lambda }{{2 \cdot d}}\end{eqnarray}\]Daraus ergibt sich\[\vartheta_n  = \arcsin \left( {n \cdot \frac{\lambda }{{2 \cdot d}}} \right)\]Für \(n=2\) erhält man nach Einsetzen der gegebenen Werte\[\vartheta_2  = \arcsin \left( {2 \cdot \frac{{170 \cdot {{10}^{ - 12}}{\rm{m}}}}{{2 \cdot 329 \cdot {{10}^{ - 12}}{\rm{m}}}}} \right) = 31,1^\circ \]Für \(n=3\) erhält man nach Einsetzen der gegebenen Werte\[\vartheta_3  = \arcsin \left( {3 \cdot \frac{{170 \cdot {{10}^{ - 12}}{\rm{m}}}}{{2 \cdot 329 \cdot {{10}^{ - 12}}{\rm{m}}}}} \right) = 50,8^\circ \]Für \(n=4\) ist das Argument des \(\arcsin\) größer als \(1\), es gibt also keinen weiteren Glanzwinkel.