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Aufgabe

Strahlung einer Fernbedienung (Abitur BY 2016 Ph11-1-A2)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Abbildung 1

Ein Presenter strahlt auf Knopfdruck infrarotes Licht der Wellenlänge \(\lambda_{\rm{IR}}\) ab und enthält außerdem einen Laserpointer, der Licht der Wellenlänge \(\lambda_{\rm{L}}= 620\rm{nm}\)  emittiert. Beide Strahlungen treffen auf ein Gitter mit \(800\) Strichen pro \(\rm{cm}\). Zunächst wird die Wand eines Physiksaals in der Entfernung \(a\) vom Gitter als Schirm genutzt. Mit \(d_{\rm{L}}\) bzw. \(d_{\rm{\rm{IR}}}\) wird der Abstand eines Maximums 1. Ordnung vom Maximum 0. Ordnung für die jeweilige Strahlung bezeichnet.

a)Zeige, dass näherungsweise die Beziehung \(d_{\rm{L}} \cdot \lambda_{\rm{IR}} = d_{\rm{IR}} \cdot \lambda_{\rm{L}} \) gilt. (7 BE)

b)Bestimmen ein sinnvolles Wertepaar für die Größen \(a\) und \(d_{\rm{L}}\), das bei der experimentellen Bestätigung von \(\lambda_{\rm{L}}\) auftreten könnte. (4 BE)

c)Statt der Wand als Schirm wird nun eine Digitalkamera verwendet, die auch infrarotes Licht sichtbar macht und nahe hinter dem Gitter positioniert wird.

Bestimme die Wellenlänge \(\lambda_{\rm{IR}}\) durch Auswertung des nebenstehenden Kamerabilds. Gehe davon aus, dass die Beziehung aus Teilaufgabe a) weiterhin gilt. (5 BE)

 

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

Abbildung 2

a)Für das Maximum 1. Ordnung am Gitter gilt\[\Delta s = \lambda \quad (1)\]und\[\Delta s = g \cdot \sin \left( {{\alpha _1}} \right)\quad (2)\]Setzt man \((1)\) in \((2)\) ein, so folgt\[\sin \left( {{\alpha _1}} \right) = \frac{\lambda }{g}\quad (3)\]Außerdem gilt\[\tan \left( {{\alpha _1}} \right) = \frac{{{d_1}}}{a}\quad (4)\]Für kleine Winkel gilt \(\sin \left( {{\alpha _1}} \right) \approx \tan \left( {{\alpha _1}} \right)\) und mit \((3)\) und \((4)\) ergibt sich dann\[\frac{\lambda }{g} = \frac{{{d_1}}}{a} \Leftrightarrow \frac{\lambda }{{{d_1}}} = \frac{g}{a}\quad \left( 5 \right)\]Verwendet man Gleichung \((5)\) für die beiden Wellenlängen \({{\lambda _{\rm{L}}}}\) und \({{\lambda _{\rm{IR}}}}\) so folgt\[\frac{{{\lambda _{\rm{L}}}}}{{{d_{{\rm{1}}{\rm{,L}}}}}} = \frac{g}{a}\]Aus \((6)\) und \((7)\) folgt dann\[\frac{{{\lambda _{\rm{L}}}}}{{{d_{{\rm{1,L}}}}}} = \frac{{{\lambda _{{\rm{IR}}}}}}{{{d_{{\rm{1}}{\rm{,IR}}}}}} \Leftrightarrow {d_{{\rm{1,IR}}}} \cdot {\lambda _{\rm{L}}} = {d_{{\rm{1}}{\rm{,L}}}} \cdot {\lambda _{{\rm{IR}}}}\quad (8)\]

b)Wählt man zum Beispiel \(a = 3,00{\rm{m}}\) und benutzt\[g = \frac{{1,00 \cdot {{10}^{ - 2}}{\rm{m}}}}{{800}} = 1,25 \cdot {10^{ - 5}}{\rm{m}}\]so erhält man mit \((5)\)\[\frac{{{\lambda _{\rm{L}}}}}{g} = \frac{{{d_{{\rm{1,L}}}}}}{a} \Leftrightarrow {d_{{\rm{1,L}}}} = \frac{{{\lambda _{\rm{L}}} \cdot a}}{g} \Rightarrow {d_{{\rm{1,L}}}} = \frac{{620 \cdot 1{0^{ - 9}}{\rm{m}} \cdot 3,00{\rm{m}}}}{{1,25 \cdot {{10}^{ - 5}}{\rm{m}}}} = 14,9{\rm{cm}}\]

Abbildung 3

c)Aus der Grafik ersieht man\[4 \cdot {d_{{\rm{IR}}}} = 6 \cdot {d_{\rm{L}}} \Leftrightarrow {d_{{\rm{IR}}}} = \frac{6}{4} \cdot {d_{\rm{L}}} \Rightarrow {d_{{\rm{IR}}}} = 1,5 \cdot {d_{\rm{L}}}\] Mit Gleichung \((8)\) aus Teilaufgabe a) folgt dann\[{d_{{\rm{1}}{\rm{,IR}}}} \cdot {\lambda _{\rm{L}}} = {d_{{\rm{1,L}}}} \cdot {\lambda _{{\rm{IR}}}} \Leftrightarrow {\lambda _{{\rm{IR}}}} = {\lambda _{\rm{L}}}\frac{{{d_{{\rm{1,IR}}}}}}{{{d_{{\rm{1,L}}}}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{\lambda _{{\rm{IR}}}} = {\lambda _{\rm{L}}} \cdot 1,5 \Rightarrow {\lambda _{{\rm{IR}}}} = 620{\rm{nm}} \cdot 1,5 = 930{\rm{nm}}\]