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Aufgabe

Strahlung einer Fernbedienung (Abitur BY 2016 Ph11-1-A2)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Ein Presenter strahlt auf Knopfdruck infrarotes Licht der Wellenlänge \(\lambda_{\rm{IR}}\) ab und enthält außerdem einen Laserpointer, der Licht der Wellenlänge \(\lambda_{\rm{L}}= 620\,\rm{nm}\)  emittiert. Beide Strahlungen treffen auf ein Gitter mit \(800\) Strichen pro \(\rm{cm}\). Zunächst wird die Wand eines Physiksaals in der Entfernung \(a\) vom Gitter als Schirm genutzt. Mit \(d_{\rm{L}}\) bzw. \(d_{\rm{\rm{IR}}}\) wird der Abstand eines Maximums 1. Ordnung vom Maximum 0. Ordnung für die jeweilige Strahlung bezeichnet.

a)

Zeige, dass näherungsweise die Beziehung \(d_{\rm{L}} \cdot \lambda_{\rm{IR}} = d_{\rm{IR}} \cdot \lambda_{\rm{L}} \) gilt. (7 BE)

b)

Bestimmen ein sinnvolles Wertepaar für die Größen \(a\) und \(d_{\rm{L}}\), das bei der experimentellen Bestätigung von \(\lambda_{\rm{L}}\) auftreten könnte. (4 BE)

c)
Abb. 1 Kamerabild

Statt der Wand als Schirm wird nun eine Digitalkamera verwendet, die auch infrarotes Licht sichtbar macht und nahe hinter dem Gitter positioniert wird.

Bestimme die Wellenlänge \(\lambda_{\rm{IR}}\) durch Auswertung des nebenstehenden Kamerabilds. Gehe davon aus, dass die Beziehung aus Teilaufgabe a) weiterhin gilt. (5 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)
Abb. 2 Skizze zur Lösung von Aufgabenteil a)

Für das Maximum 1. Ordnung am Gitter gilt\[\Delta s = \lambda \quad (1)\]und\[\Delta s = g \cdot \sin \left( {{\alpha _1}} \right)\quad (2)\]Setzt man \((1)\) in \((2)\) ein, so folgt\[\sin \left( {{\alpha _1}} \right) = \frac{\lambda }{g}\quad (3)\]Außerdem gilt\[\tan \left( {{\alpha _1}} \right) = \frac{{{d_1}}}{a}\quad (4)\]Für kleine Winkel gilt \(\sin \left( {{\alpha _1}} \right) \approx \tan \left( {{\alpha _1}} \right)\) und mit \((3)\) und \((4)\) ergibt sich dann\[\frac{\lambda }{g} = \frac{{{d_1}}}{a} \Leftrightarrow \frac{\lambda }{{{d_1}}} = \frac{g}{a}\quad \left( 5 \right)\]Verwendet man Gleichung \((5)\) für die beiden Wellenlängen \({{\lambda _{\rm{L}}}}\) und \({{\lambda _{\rm{IR}}}}\) so folgt\[\frac{{{\lambda _{\rm{L}}}}}{{{d_{{\rm{1}}{\rm{,L}}}}}} = \frac{g}{a}\]Aus \((6)\) und \((7)\) folgt dann\[\frac{{{\lambda _{\rm{L}}}}}{{{d_{{\rm{1,L}}}}}} = \frac{{{\lambda _{{\rm{IR}}}}}}{{{d_{{\rm{1}}{\rm{,IR}}}}}} \Leftrightarrow {d_{{\rm{1,IR}}}} \cdot {\lambda _{\rm{L}}} = {d_{{\rm{1}}{\rm{,L}}}} \cdot {\lambda _{{\rm{IR}}}}\quad (8)\]

b)

Wählt man zum Beispiel \(a = 3{,}00\,\rm{m}\) und benutzt\[g = \frac{1{,}00 \cdot 10^{-2}\,\rm{m}}{800} = 1{,}25 \cdot 10^{-5}\,\rm{m}\]so erhält man mit \((5)\)\[\frac{\lambda _{\rm{L}}}{g} = \frac{d_{\rm{1,L}}}{a} \Leftrightarrow {d_{\rm{1,L}}} = \frac{\lambda _{\rm{L}} \cdot a}{g} \Rightarrow d_{\rm{1,L}} = \frac{620 \cdot 10^{-9}\,\rm{m} \cdot 3{,}00\,\rm{m}}{1{,}25 \cdot 10^{-5}\,\rm{m}} = 14{,}9\,\rm{cm}\]

c)
Abb. 3 Skizze zur Lösung von Aufgabenteil c)

Aus der Grafik ersieht man\[4 \cdot {d_{{\rm{IR}}}} = 6 \cdot {d_{\rm{L}}} \Leftrightarrow {d_{{\rm{IR}}}} = \frac{6}{4} \cdot {d_{\rm{L}}} = 1{,}5 \cdot {d_{\rm{L}}}\]Mit Gleichung \((8)\) aus Teilaufgabe a) folgt dann\[d_{{\rm{1,IR}}} \cdot \lambda _{\rm{L}} = d_{{\rm{1,L}}} \cdot \lambda _{\rm{IR}} \Leftrightarrow \lambda _{\rm{IR}} = \lambda _{\rm{L}} \cdot \frac{d_{\rm{1,IR}}}{d_{\rm{1,L}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\lambda _{\rm{IR}} = \lambda _{\rm{L}} \cdot 1{,}5 \Rightarrow \lambda _{\rm{IR}} = 620\,\rm{nm} \cdot 1{,}5 = 930\,\rm{nm}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Optik

Beugung und Interferenz