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Aufgabe

Spaltabstand am Doppelspalt (Abitur BY 2005 GK A2-2)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Bei einem Doppelspalt für optische Versuche ist die Beschriftung nicht mehr erkennbar. Der Spaltabstand \(b\) soll nun experimentell mit Hilfe eines Lasers (Herstellerangabe: \(\lambda = 633\rm{nm} \pm 0,5\rm{nm}\) ) durch einen Schüler ermittelt werden. Der Abstand \(l\) zwischen Schirm und Doppelspalt kann auf einer optischen Bank sehr genau eingestellt werden und ist \(1700\rm{mm} \pm 0,5\rm{mm}\) . Der Schüler kann am Schirm auf beiden Seiten des 0.Maximums jeweils 4 weitere Maxima beobachten. Den Abstand \(d\) der beiden äußersten Maxima zueinander misst er zu \(26\rm{mm} \pm 0,5\rm{mm}\).

a) Skizzieren Sie den Versuchsaufbau mit den relevanten geometrischen Größen und zeigen Sie unter Verwendung der Kleinwinkelnäherung, dass die Beziehung \(b = \frac{8 \cdot \lambda \cdot l}{d}\) zur Berechnung des Spaltabstandes gilt. (8 BE)

b) Berechnen Sie den kleinstmöglichen Wert sowie den größtmöglichen Wert für den Spaltabstand. (4 BE)

Der Schüler bildet aus den Werten von Teilaufgabe b) den Mittelwert für den Spaltabstand und will den Doppelspalt mit dem Wert \(331,5{\rm{\mu m}}\) beschriften.

c) Begründen Sie, warum diese Aufschrift eine falsche Genauigkeit vortäuschen würde. (3 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)

Für den Gangunterschied beim 4. Maximum gilt:
\[ \Delta s = 4 \cdot \lambda \quad \Rightarrow \quad b \cdot \sin{\alpha} = 4 \cdot \lambda \]

Außerdem gilt:
\[ \tan{\alpha} = \frac{d_4}{l} \]

Bei der Kleinwinkelnäherung kann \( \sin{\alpha} \approx \tan{\alpha} \) gesetzt werden, so dass gilt:
\[ b \cdot \frac{d_4}{l} = 4 \cdot \lambda \quad \Rightarrow \quad b = \frac{l \cdot 4 \cdot \lambda}{d_4} \]

Da \( d_4 = \frac{d}{2} \) ist, gilt: \[ b = \frac{8 \cdot \lambda \cdot l}{d} \]

b) Berechnung des kleinstmöglichen Wertes für b: \[ b_{min} = \frac{8 \cdot \lambda_{min} \cdot l_{min}}{d_{max}} \quad b_{min} = \frac{8 \cdot 632,5 \cdot 10^{-9} \cdot 1699,5 \cdot 10^{-3}}{26,5 \cdot 10^{-3}} \rm{m} = 325 \rm{\mu m} \] Berechnung des größtmöglichen Wertes für b: \[ b_{max} = \frac{8 \cdot \lambda_{max} \cdot l_{max}}{d_{min}} \quad \Rightarrow \quad b_{max} = \frac{8 \cdot 633,5 \cdot 10^{-9} \cdot 1700,5 \cdot 10^{-3}}{25,5 \cdot 10^{-3}} \rm{m} = 338 \rm{\mu m} \]

c) Die Unsicherheit in der Spaltbreite beträgt ca. 13μm. Die Angabe 331,5μm bedeutet eine Genauigkeit von etwa 1/10 μm, was eine viel zu hohe Genauigkeit vortäuscht.