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Aufgabe

RÖNTGEN-Strahlung und BRAGG (Abitur BY 1994 LK A4-3)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Eine RÖNTGEN-Röhre mit Kupferanode wird mit der Beschleunigungsspannung \(12,0\rm{kV}\) betrieben. Durch BRAGGsche Interferenz an einem NaCI-Kristall (Netzebenenabstand \({d = 2,82 \cdot {{10}^{ - 10}}{\rm{m}}}\)) soll die Intensität der Röntgenstrahlung in Abhängigkeit von der Wellenlänge bestimmt werden.

a)Entwerfen Sie aus RÖNTGEN-Röhre, Bleiblende, Kristall und Zählrohr eine geeignete Versuchsanordnung, und beschreiben Sie, wie man zur Aufnahme des Spektrums vorzugehen hat. (8 BE

b)Das Spektrum soll von der Grenzwellenlänge bis zum 4-fachen dieser Wellenlänge untersucht werden. Berechnen Sie, in welchem Ablenkwinkelbereich die Maxima 1. Ordnung für diesen Wellenlängenbereich zu finden sind. (10 BE)

Bei einem Ablenkwinkel von \(32^\circ \) bezüglich der ursprünglichen Strahlrichtung weist das Zählrohr eine besonders starke Strahlung nach.

c)Berechnen Sie die zu dieser Strahlung gehörende Wellenlänge. (3 BE)

d)Um welche Art von Strahlung der Röntgenröhre handelt es sich vermutlich? Erklären Sie ihre Entstehung, und bestätigen Sie die Vermutung durch Rechnung. (10 BE)

 

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)

 

Der Kristall wird um verschiedene Winkel \(\alpha \), das Zählrohr dazu synchron um den Winkel \({2 \cdot \alpha }\) gedreht und die Zählrate gemessen. Mit Hilfe der Braggbeziehung für das 1. Maximum
\[\lambda  = 2 \cdot d \cdot \sin \left( \alpha  \right)\]
kann bei bekanntem Netzebenenabstand \(d\) direkt das Spektrum der RÖNTGEN-Röhre gezeichnet werden.

b)Die Grenzwellenlänge besitzen Photonen, die die gesamte kinetische Energie eines durch die Spannung \(U\) beschleunigten Elektrons übernommen haben.
\[{{E_{{\rm{Ph,G}}}} = {E_{{\rm{kin}}}} \Leftrightarrow \frac{{h \cdot c}}{{{\lambda _{\rm{G}}}}} = e \cdot U \Leftrightarrow {\lambda _{\rm{G}}} = \frac{{h \cdot c}}{{e \cdot U}}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{\lambda _{\rm{G}}} = \frac{{6,63 \cdot {{10}^{ - 34}}{\rm{Js}} \cdot 3,00 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot 12 \cdot {{10}^3}{\rm{V}}}} = 1,04 \cdot {10^{ - 10}}{\rm{m}}\]
\[{\lambda  = 2 \cdot d \cdot \sin \left( \alpha  \right) \Rightarrow \sin \left( \alpha  \right) = \frac{\lambda }{{2 \cdot d}} \Rightarrow \alpha  = \arcsin \left( {\frac{\lambda }{{2 \cdot d}}} \right)}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{\alpha _1} = \arcsin \left( {\frac{{1,04 \cdot {{10}^{ - 10}}{\rm{m}}}}{{2 \cdot 2,82 \cdot {{10}^{ - 10}}{\rm{m}}}}} \right) = 10,6^\circ \;;\;{\alpha _2} = \arcsin \left( {\frac{{4 \cdot 1,04 \cdot {{10}^{ - 10}}{\rm{m}}}}{{2 \cdot 2,82 \cdot {{10}^{ - 10}}{\rm{m}}}}} \right) = 47,5^\circ \]
Der Winkelbereich, unter dem der BRAGG-Kristall zu drehen ist liegt zwischen \(10,6^\circ \) und \(47,5^\circ \), der Ablenkwinkelbereich ist doppelt so groß (siehe Skizze bei a)) und liegt zwischen \(21,2^\circ \) und \(95,0^\circ \).

c)Der Winkel \(\alpha  = 16^\circ \) ist halb so groß wie der Ablenkwinkel von \(32^\circ \).
\[\lambda  = 2 \cdot d \cdot \sin \left( \alpha  \right) \Rightarrow \lambda  = 2 \cdot 2,82 \cdot {10^{ - 10}}{\rm{m}} \cdot \sin \left( {{{16}^\circ }} \right) = 1,55 \cdot {10^{ - 10}}{\rm{m}}\]

d)Es handelt sich vermutlich um die Kα -Linie von Kupfer, die mittels MOSELEY-Gesetz berechnet werden kann. Sie entsteht, wenn Elektronen aus der K-Schale geschlagen wurden und hinterher die K-Schale wieder durch Elektronen aus der L-Schale aufgefüllt wird, wobei die Differenzenergie als Lichtquant ausgesandt wird.
\[\frac{1}{\lambda } = \frac{3}{4} \cdot R \cdot {\left( {Z - 1} \right)^2} \Leftrightarrow \lambda  = \frac{4}{{3 \cdot R \cdot {{\left( {Z - 1} \right)}^2}}} \Rightarrow \lambda  = \frac{4}{{3 \cdot 1,1 \cdot {{10}^7}\frac{1}{{\rm{m}}} \cdot {{\left( {29 - 1} \right)}^2}}} = 1,55 \cdot {10^{ - 10}}{\rm{m}}\]