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Aufgabe

Interferenz am Doppelspalt (Abitur BY 1994 GK A2-2)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Monochromatisches Licht der Wellenlänge \(\lambda \) trifft senkrecht auf einen Doppelspalt mit dem Spaltabstand \(b\). In der Entfernung \(a\) (\(a \gg b\)) vom Doppelspalt ist ein Schirm aufgestellt.

a) Zeigen Sie, dass für den Abstand \(d\) je zweier benachbarter Helligkeitsmaxima auf dem Schirm näherungsweise die Beziehung \(d = \lambda \cdot \frac{a}{b}\) gilt.

Der Doppelspalt wird nun mit Laserlicht der Wellenlänge \({\lambda _1} = 620{\rm{nm}}\) beleuchtet. Die beiden Maxima 2. Ordnung haben auf dem Schirm einen Abstand von \(5,20{\rm{cm}}\).

b) Beleuchtet man dagegen einen Doppelspalt bei gleicher Anordnung mit einem anderen Laser (Wellenlänge \({\lambda _2}\)), so haben in diesem Fall die beiden Maxima 2. Ordnung auf dem Schirm den Abstand \(4,70{\rm{cm}}\). Bestimmen Sie \({\lambda _2}\), und erläutern Sie kurz Ihr Vorgehen.

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a) Für die Maxima gilt
\[\Delta s = k \cdot \lambda \]
und für \(a \gg b\)
\[ b \cdot \sin \left( {{\alpha _k}} \right) = k \cdot \lambda  \Leftrightarrow \sin \left( {{\alpha _k}} \right) = \frac{{k \cdot \lambda }}{b}  \quad(1) \]
Für kleine Winkel kann außerdem der Sinus eines Winkels durch dessen Tangens angenähert werden:
\[sin\left( {{\alpha _k}} \right) \approx \tan \left( {{\alpha _k}} \right)\]
Es gilt (vgl. Zeichnung):
\[\tan \left( {{\alpha _k}} \right) = \frac{{{d_k}}}{a}\]
und mit der Kleinwinkelnäherung \(sin\left( {{\alpha _k}} \right) \approx \tan \left( {{\alpha _k}} \right)\) ergibt sich
\[ \sin \left( {{\alpha _k}} \right) \approx \frac{{{d_k}}}{a} \quad(2) \]
Setzt man (2) in (1) ein, so folgt:
\[ b \cdot \frac{{{d_k}}}{a} = k \cdot \lambda  \Leftrightarrow {d_k} = k \cdot \lambda  \cdot \frac{a}{b} \quad(3) \]
Für den Abstand d benachbarter Maxima gilt dann:
\[d = {d_{k + 1}} - {d_k} = \left[ {(k + 1) - k} \right] \cdot \lambda  \cdot \frac{a}{b} = \lambda  \cdot \frac{a}{b}\]

b) gegeben: \( 2 \cdot d_{2, \lambda_1} = 5,20 \rm{cm};\; 2 \cdot d_{2, \lambda_2} = 4,70 \rm{cm} \)

gesucht: \(\lambda_2\)

Setzt man in Gleichung \((3)\) von Teilaufgabe a) einmal \(d_{2, \lambda_1}\) und einmal \(d_{2, \lambda_2}\) ein, so erhält man
\[{d_{2,{\lambda _1}}} = 2 \cdot {\lambda _1} \cdot \frac{a}{b}\;{\rm{bzw}}{\rm{.}}\;{d_{2,{\lambda _2}}} = 2 \cdot {\lambda _2} \cdot \frac{a}{b}\]
Dividiert man das jeweils Doppelte (da oben das Dopppelte von \(d_{2, \lambda_1}\) bzw. \(d_{2, \lambda_2}\) gegeben ist) der dieser beiden Gleichungen durcheinander, so erhält man
\[\frac{{2 \cdot {d_{2,{\lambda _2}}}}}{{2 \cdot {d_{2,{\lambda _1}}}}} = \frac{{2 \cdot 2 \cdot {\lambda _2} \cdot \frac{a}{b}}}{{2 \cdot 2 \cdot {\lambda _1} \cdot \frac{a}{b}}} = \frac{{{\lambda _2}}}{{{\lambda _1}}} \Leftrightarrow {\lambda _2} = {\lambda _1} \cdot \frac{{2 \cdot {d_{2,{\lambda _2}}}}}{{2 \cdot {d_{2,{\lambda _1}}}}} \Rightarrow {\lambda _2} = 620{\rm{nm}} \cdot \frac{{4,70{\rm{cm}}}}{{5,20{\rm{cm}}}} = 560{\rm{nm}}\]