Beugung und Interferenz

Joachim Herz Stiftung

Für die Maxima gilt\[\Delta s = k \cdot \lambda \]und für \(a \gg b\)\[ b \cdot \sin \left( {{\alpha _k}} \right) = k \cdot \lambda  \Leftrightarrow \sin \left( {{\alpha _k}} \right) = \frac{{k \cdot \lambda }}{b}  \quad(1) \]Für kleine Winkel kann außerdem der Sinus eines Winkels durch dessen Tangens angenähert werden:\[\sin\left( {{\alpha _k}} \right) \approx \tan \left( {{\alpha _k}} \right)\]Es gilt (vgl. Zeichnung)\[\tan \left( {{\alpha _k}} \right) = \frac{{{d_k}}}{a}\]und mit der Kleinwinkelnäherung \(\sin\left( {{\alpha _k}} \right) \approx \tan \left( {{\alpha _k}} \right)\) ergibt sich\[ \sin \left( {{\alpha _k}} \right) \approx \frac{{{d_k}}}{a} \quad(2) \]Setzt man \((2)\) in \((1)\) ein, so folgt\[ b \cdot \frac{{{d_k}}}{a} = k \cdot \lambda  \Leftrightarrow {d_k} = k \cdot \lambda  \cdot \frac{a}{b} \quad(3) \]Für den Abstand \(d\) benachbarter Maxima gilt dann\[d = {d_{k + 1}} - {d_k} = \left[ {(k + 1) - k} \right] \cdot \lambda  \cdot \frac{a}{b} = \lambda  \cdot \frac{a}{b}\]

gegeben: \( 2 \cdot d_{2, \lambda_1} = 5{,}20\,\rm{cm};\; 2 \cdot d_{2, \lambda_2} = 4{,}70\,\rm{cm} \)

gesucht: \(\lambda_2\)

Setzt man in Gleichung \((3)\) von Teilaufgabe a) einmal \(d_{2, \lambda_1}\) und einmal \(d_{2, \lambda_2}\) ein, so erhält man\[{d_{2,{\lambda _1}}} = 2 \cdot {\lambda _1} \cdot \frac{a}{b}\;{\rm{bzw.}}\;{d_{2,{\lambda _2}}} = 2 \cdot {\lambda _2} \cdot \frac{a}{b}\]Dividiert man das jeweils Doppelte (da oben das Dopppelte von \(d_{2, \lambda_1}\) bzw. \(d_{2, \lambda_2}\) gegeben ist) der dieser beiden Gleichungen durcheinander, so erhält man\[\frac{{2 \cdot {d_{2,{\lambda _2}}}}}{{2 \cdot {d_{2,{\lambda _1}}}}} = \frac{{2 \cdot 2 \cdot {\lambda _2} \cdot \frac{a}{b}}}{{2 \cdot 2 \cdot {\lambda _1} \cdot \frac{a}{b}}} = \frac{{{\lambda _2}}}{{{\lambda _1}}} \Leftrightarrow {\lambda _2} = {\lambda _1} \cdot \frac{{2 \cdot {d_{2,{\lambda _2}}}}}{{2 \cdot {d_{2,{\lambda _1}}}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (mit drei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[\lambda_2 = 620\,\rm{nm} \cdot \frac{{4{,}70\,\rm{cm}}}{{5{,}20\,\rm{cm}}} = 560\,\rm{nm}\]