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Aufgabe

Glanzwinkel von NaCl

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

RÖNTGEN-Strahlung der Wellenlänge \(150{\rm{pm}}\) wird an einem \({\rm{NaCl}}\)-Kristall mit dem Netzebenenabstand \(282{\rm{pm}}\) reflektiert.

Berechne die Weiten der Glanzwinkel, unter denen eine starke Reflexion zu erwarten ist.

 
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Ausgehend von der BRAGG-Gleichung erhält man durch Umstellen\[\begin{eqnarray}n \cdot \lambda  &=& 2 \cdot d \cdot \sin \left( \vartheta_n  \right)\\2 \cdot d \cdot \sin \left( \vartheta_n  \right) &=& n \cdot \lambda \quad \quad \quad \left| {:\left( {2 \cdot d} \right)} \right.\\\sin \left( \vartheta_n  \right) &=& n \cdot \frac{\lambda }{{2 \cdot d}}\end{eqnarray}\]Daraus ergibt sich\[\vartheta_n  = \arcsin \left( {n \cdot \frac{\lambda }{{2 \cdot d}}} \right)\]Für \(n=1\) erhält man nach Einsetzen der gegebenen Werte\[\vartheta_1  = \arcsin \left( {1 \cdot \frac{{150 \cdot {{10}^{ - 12}}{\rm{m}}}}{{2 \cdot 282 \cdot {{10}^{ - 12}}{\rm{m}}}}} \right) = 15,4^\circ \]Für \(n=2\) erhält man nach Einsetzen der gegebenen Werte\[\vartheta_2  = \arcsin \left( {2 \cdot \frac{{150 \cdot {{10}^{ - 12}}{\rm{m}}}}{{2 \cdot 282 \cdot {{10}^{ - 12}}{\rm{m}}}}} \right) = 32,1^\circ \]Für \(n=3\) erhält man nach Einsetzen der gegebenen Werte\[\vartheta_3  = \arcsin \left( {3 \cdot \frac{{150 \cdot {{10}^{ - 12}}{\rm{m}}}}{{2 \cdot 282 \cdot {{10}^{ - 12}}{\rm{m}}}}} \right) = 52,9^\circ \]Für \(n=4\) ist das Argument des \(\arcsin\) größer als \(1\), es gibt also keinen weiteren Glanzwinkel.