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Aufgabe

Gekreuzte Gitter (Abitur BY 2010 GK A2-2)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

a) Beschreiben Sie einen Versuch zur Bestimmung der Wellenlänge eines Lasers mithilfe eines optischen Gitters. Geben Sie an, welche Größen gemessen werden bzw. bekannt sein müssen, und zeigen Sie auf, wie \(\lambda \) daraus berechnet werden kann. (7 BE)

b) Welche Vorteile ergeben sich bei Verwendung eines Gitters im Vergleich zu einem Doppelspalt? (4 BE)

Zur Aufnahme der nebenstehenden Interferenzfigur wurden zwei Strichgitter verwendet, die unmittelbar hintereinander so aufgestellt wurden, dass die Gitterlinien senkrecht zueinander ausgerichtet sind. Der Abstand der Gitter zum Schirm ist deutlich größer als ein Meter.

c) Bestimmen Sie das Verhältnis der beiden Gitterkonstanten und entscheiden Sie, ob bei dem Gitter mit dem größeren Strichabstand die Gitterlinien waagrecht oder senkrecht liegen. Begründen Sie Ihre Antwort! (5 BE)

d) Bestimmen Sie die Gitterkonstante \(b\) des Gitters, dessen Linien waagrecht liegen, wenn der Abstand zwischen Gitter und Schirm \(a = 1,5{\rm{m}}\) beträgt und Licht der Wellenlänge \(\lambda  = 630{\rm{nm}}\) verwendet wird. (5 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a) Man lässt den (evtl. aufgeweiteten) Strahl eines Lasers auf das Gitter treffen und bestimmt auf dem Schirm in der Entfernung a vom Gitter den Abstand zweier symmetrisch zur optischen Achse liegenden Hauptmaxima gleicher Ordnung.
Aus den bekannten Beziehungen \(b \cdot \sin \left( \alpha  \right) = k \cdot \lambda\) und \(\tan \left( \alpha  \right) = \frac{{{d_k}}}{a}\) sowie der Kleinwinkelnäherung \({\sin \left( \alpha  \right) \approx \tan \left( \alpha  \right)}\) ergibt sich für \(k = 1\)
\[b \cdot \frac{{{d_k}}}{a} = k \cdot \lambda  \Leftrightarrow \lambda  = \frac{{b \cdot {d_k}}}{{a \cdot k}}\]

b) Gegenüber dem Doppelspalt ist das Interferenzbild des Gitters intensiver, da mehrere Spalte geöffnet sind.
Außerdem sind die Maxima beim Gitter nicht so breit wie beim Doppelspalt, so dass sich deren Entfernung zur optischen Achse genauer bestimmen lässt.

c) Die Gitterkonstanten stehen im Verhältnis 3 : 2, da die Abstände der Punktreihen im Verhältnis 2 : 3 stehen (vgl. Beziehung von Teilaufgabe a)).

Das Gitter mit den waagrecht liegenden Spalten hat den größeren Spaltabstand, da die Abstände bei den senkrechten Serien der Maxima kleiner sind.

d) Der Abbildung entnimmt man \({d_1} = 1{\rm{cm}}\); weiter gilt \(a = 1,5{\rm{m}}\) und \(\lambda  = 630{\rm{nm}}\).
Mit der Beziehung von Teilaufgabe a) ergibt sich
\[\lambda  = \frac{{b \cdot {d_k}}}{{a \cdot k}} \Leftrightarrow b = \frac{{\lambda  \cdot a \cdot k}}{{{d_k}}} \Rightarrow b = \frac{{630{\rm{nm}} \cdot 1,5{\rm{m}} \cdot {\rm{1}}}}{{1{\rm{cm}}}} \approx 0,1{\rm{mm}}\]